高考数学(文数)一轮复习考点测试34《二元一次不等式组与简单的线性规划》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试34《二元一次不等式组与简单的线性规划》（教师版），共14页。试卷主要包含了故选B，故选C等内容，欢迎下载使用。

eq \a\vs4\al(本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度)
考纲研读
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决
一、基础小题
1．不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )
答案 C
解析 由y(x＋y－2)≥0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥0，,x＋y－2≥0))或
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤0，,x＋y－2≤0，))所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项．
2.已知点A(－3，－1)与点B(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围是( )
A．(－24，7) B．(－7，24)
C．(－∞，－24)∪(7，＋∞) D．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
答案 B
解析 (－9＋2－a)(12＋12－a)＜0，所以－7＜a＜24.故选B.
3．若实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥－1，,x＋y≥1，,3x－y≤3，))则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )
A．3 B.eq \f(\r(5),2) C．2 D．2eq \r(2)
答案 C
解析 因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，
易得A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)，故|AB|＝eq \r(2)，|AC|＝2eq \r(2)，
所以其面积为eq \f(1,2)×|AB|×|AC|＝2.
4．若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥0，,x－y≥0，,3x＋y－4≤0，))则3x＋2y的最大值是( )
A．0 B．2 C．5 D．6
答案 C
解析 作不等式组的可行域，如图：
令z＝3x＋2y，则y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(z,2)表示一系列平行于y＝－eq \f(3,2)x的直线，并且eq \f(z,2)表示该直线的纵截距．显然，把直线y＝－eq \f(3,2)x平移至点A处，z最大．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,3x＋y－4＝0))得A(1，1)．所以zmax＝3x＋2y＝3＋2＝5.故选C.
5．已知点(a，b)是平面区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x≥0，,y≥－1))内的任意一点，则3a－b的最小值为( )
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
答案 B
解析 根据题意可知(a，b)在如图阴影中，设z＝3a－b.则b＝3a－z，
所以－z可以理解为y＝3x＋t中的纵截距t.因而当y＝3x＋t过点(0，2)时，
t最大为2.即－z最大为2，所以z最小为－2.
6．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x－y≤0，,x＋y－1≥0，))则z＝x＋3y的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，3] C．[3，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 D
解析 作不等式组表示的平面区域，如图．
平移直线x＋3y＝0到点A时，z取得最小值，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,x＋y－1＝0，))解得点Aeq \f(1,2)，eq \f(1,2)，所以zmin＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)＝2，无最大值．故选D.
7．在如图所示的平面区域内有A(5，3)，B(1，1)，C(1，5)三点，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的值是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C．2 D.eq \f(3,2)
答案 B
解析 由题意知，当z＝ax＋y与直线AC重合时最优解有无穷多个．
因为kAC＝－eq \f(1,2)，所以－a＝－eq \f(1,2)，即a＝eq \f(1,2).故选B.
8．已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y－7≤0，,x≥1，,y≥1，))则|y－x|的最大值是( )
A．2eq \r(2) B.eq \f(3\r(2),2) C．4 D．3
答案 D
解析 画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A(1，2)，B(4，1)，
当直线z＝x－y过点A时zmin＝－1，过点B时zmax＝3，则－1≤x－y≤3，则|y－x|≤3.
9．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0，,2x＋y<6))所表示的平面区域内的整点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 由不等式2x＋y<6，得y<6－2x，且x>0，y>0，则当x＝1时，010．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )
A．11280元 B．12480元 C．10280元 D．11480元
答案 B
解析 设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，运完全部黄瓜支出的运费为z元，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤10，,0≤y≤20，,8x＋2.5y≥100，,x∈N*，,y∈N*，))目标函数z＝960x＋360y，
此不等式组表示的可行域是△ABC(其中A(10，8)，B(10，20)，C(6.25，20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．当直线l：z＝960x＋360y经过点A(10，8)时，运费最低，且其最低运费zmin＝960×10＋360×8＝12480(元)，选B.
11．设不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y≥10，,x＋3y≤6))表示的平面区域为D，若在区域D上存在函数y＝lgax(a>1)的图象上的点，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(1，3) C．[3，＋∞) D．(1，3]
答案 C
解析 作不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y≥10，,x＋3y≤6))表示的平面区域D，如图中阴影部分所示．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y＝10，,x＋3y＝6，))解得点A(3，1)．由a>1，对数函数的图象经过可行域，
此时满足lga3≤1，解得a≥3，所以实数a的取值范围是[3，＋∞)，故选C.
12．已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1≤0，,x－y＋1≥0，,y≥－1，))则w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为________．
答案 eq \f(9,2)
解析 目标函数w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其几何意义是点(2，2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x，y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，
由图可知，点(2，2)到直线x＋y－1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又eq \f(|2＋2－1|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，所以wmin＝eq \f(9,2).
二、高考小题
13．设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤5，,2x－y≤4，,－x＋y≤1，,y≥0，))则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )
A．6 B．19 C．21 D．45
答案 C
解析 由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．
作出基本直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当直线经过点A(2，3)时，z取最大值，
即zmax＝3×2＋5×3＝21.故选C.
14．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－5≥0，,x－2y＋3≥0，,x－5≤0，))则z＝x＋y的最大值为________．
答案 9
解析 不等式组表示的可行域是以A(5，4)，B(1，2)，C(5，0)为顶点的三角形区域，
如图所示，由图可知目标函数z＝x＋y的最大值在顶点A处取得，即当x＝5，y＝4时，zmax＝9.
15．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y－2≤0，,x－y＋1≥0，,y≤0，))则z＝3x＋2y的最大值为________．
答案 6
解析 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由z＝3x＋2y可得y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(1,2)z，画出直线y＝－eq \f(3,2)x，将其上下移动，结合eq \f(z,2)的几何意义，
可知当直线过点B时，z取得最大值，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y－2＝0，,y＝0，))解得B(2，0)，此时zmax＝3×2＋0＝6.
16．若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3≥0，,x－2y＋4≥0，,x－2≤0，))则z＝x＋eq \f(1,3)y的最大值是________．
答案 3
解析 作出可行域如图阴影部分．
由图可知目标函数在直线x－2y＋4＝0与x＝2的交点(2，3)处取得最大值3.
17．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,2x＋y≤6，,x＋y≥2，))则z＝x＋3y的最小值是______，最大值是______．
答案 －2 8
解析 由约束条件得可行域是以A(1，1)，B(2，2)，C(4，－2)为顶点的三角形区域(含边界)，如图．
当直线y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(z,3)过点C(4，－2)时，z＝x＋3y取得最小值－2，过点B(2，2)时，
z＝x＋3y取得最大值8.
18．若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
答案 3
解析 由x＋1≤y≤2x作出可行域，如图中阴影部分所示．
设z＝2y－x，则y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)z，当直线y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)z过A(1，2)时，z取得最小值3.
三、模拟小题
19．已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1≥0，,x<2，,x＋y－1≥0，))则z＝2x－2y－1的取值范围是( )
A.eq \f(5,3)，5 B．[0，5] C.eq \f(5,3)，5 D．－eq \f(5,3)，5
答案 D
解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，
可知2×eq \f(1,3)－2×eq \f(2,3)－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是－eq \f(5,3)，5.
20．设不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≥0，,x－y＋1≥0，,3x－y－5≤0))表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为( )
A.eq \f(1,2)，2 B.eq \f(1,2)，eq \f(4,3) C.eq \f(1,2)，2 D.eq \f(4,3)，2
答案 C
解析 作不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3＝0，,x－y＋1＝0))得A(1，2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3＝0，,3x－y－5＝0))得B(2，1)，
平面区域M即为图中阴影部分△ABC，直线y＝kx经过区域M内的点A时，k＝2，
直线y＝kx经过区域M内的点B时，k＝eq \f(1,2)，故eq \f(1,2)≤k≤2，故选C.
21．已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,2x＋3y≤4，,y≥0，))若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－2 D．－eq \f(1,2)
答案 A
解析 作不等式组表示的平面区域如图．当直线l：y＝－ax＋z经过△AOB区域时，
l在y轴上的最大截距为4，则点B(2，0)为最优解，所以z＝2a＝4，即a＝2，故选A.
22．已知不等式ax－2by≤2在平面区域{(x，y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立，则动点P(a，b)所形成平面区域的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 A
解析 作平面区域{(x，y)||x|≤1且|y|≤1}，如图1所示．
该平面区域表示正方形ABCD内部(含边界)．令z＝ax－2by，因为ax－2by≤2恒成立，
则函数z＝ax－2by在该平面区域要求的条件下，zmax＝2恒成立．
当直线ax－2by－z＝0过点A(－1，1)或B(1，1)或C(1，－1)或D(－1，－1)时，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a－2b≤2，,a－2b≤2，,a＋2b≤2，,－a＋2b≤2，))再作该不等式组表示的可行域，即菱形EFGH内部(含边界)．
如图2所示．
其中H(－2，0)，F(2，0)，E(0，1)，G(0，－1)，
所以动点P(a，b)所形成平面区域的面积为eq \f(1,2)×4×2＝4.故选A.
23．已知x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥x，,x＋y≤2，,2x－y≥m.))若z＝x＋2y有最大值4，则实数m的值为( )
A．－4 B．－2 C．－1 D．1
答案 B
解析 可行域所表示区域为三条直线所封闭的三角形区域(含边界)，如图阴影部分所示．
依题意，有直线y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(z,2)的纵截距eq \f(z,2)有最大值2，
则结合图形可知需满足直线2x－y＝m过点(0，2)，从而m＝2×0－2＝－2，故选B.
24．在平面直角坐标系中，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤0，,x－y≤0，,x2＋y2≤r2))(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝eq \f(x＋y＋1,x＋3)的最小值为( )
A．－1 B．－eq \f(5\r(2)＋1,7) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(7,5)
答案 D
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意知eq \f(1,4)πr2＝π，解得r＝2.
z＝eq \f(x＋y＋1,x＋3)＝1＋eq \f(y－2,x＋3)，易知eq \f(y－2,x＋3)表示可行域内的点(x，y)与点P(－3，2)的连线的斜率，由图可知当点(x，y)与点P的连线与圆x2＋y2＝r2相切时斜率最小．
设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，
则有eq \f(|3k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq \f(12,5)或k＝0(舍)，所以zmin＝1－eq \f(12,5)＝－eq \f(7,5).故选D.
25．设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3≤0，,x＋y≥3，,y－2≤0，))则eq \f(y＋1,x)的最大值为________．
答案 3
解析 题设中的约束条件如图中阴影部分所表示的区域，
则eq \f(y＋1,x)表示可行域内点P(x，y)与B(0，－1)的连线的斜率，
由图知，当P位于A(1，2)时，eq \f(y＋1,x)取得最大值eq \f(2＋1,1)＝3.
26．某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两个工种，已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元，该厂每个月木工最多完成8000个工作时，漆工最多完成1300个工作时，根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．
答案 2100000
解析 依题意，设每个月生产x把椅子、y张桌子，那么利润t＝1500x＋2000y.
其中x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，y≥0，,x，y∈N*，,4x＋8y≤8000，,2x＋y≤1300，))可行域如图中阴影部分所示，
对于不同的t值，t＝1500x＋2000y表示一组斜率为－eq \f(3,4)的平行线，且t越大，相应的直线位置越高；t越小，相应的直线位置越低．依题意，要求t的最大值，需把直线t＝1500x＋2000y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围，显然当直线通过点B时，处在这组平行线的最高位置，此时t取最大值．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋8y＝8000，,2x＋y＝1300，))得点B(200，900)，从而tmax＝1500×200＋2000×900＝2100000(元)，即生产200把椅子、900张桌子可获得最大利润2100000元．
一、高考大题
1．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(70x＋60y≤600，,5x＋5y≥30，,x≤2y，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7x＋6y≤60，,x＋y≥6，,x－2y≤0，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N，))
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－eq \f(12,5)x＋eq \f(z,25)，这是斜率为－eq \f(12,5)，随z变化的一族平行直线.
eq \f(z,25)为直线在y轴上的截距，当eq \f(z,25)取得最大值时，z的值就最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距eq \f(z,25)最大，即z最大．解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7x＋6y＝60，,x－2y＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝3，))则点M的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
二、模拟大题
2．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))
(1)求目标函数z＝eq \f(1,2)x－y＋eq \f(1,2)的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．
解 (1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．
平移初始直线eq \f(1,2)x－y＝0，过A(3，4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－eq \f(a,2)<2，解得－4故所求a的取值范围是(－4，2)．
3．画出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
解 (1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合．
x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．
所以，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，3))，y∈[－3，8]．
(2)由图形及不等式组知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x≤y≤x＋5，,－2≤x≤3，且x∈Z.))
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点．
所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25