高考数学(文数)一轮复习考点测试37《复数》（教师版）

考点测试37　复数

高考概览

考纲研读

1.理解复数的基本概念

2．理解复数相等的充要条件

3．了解复数的代数表示法及其几何意义

4．会进行复数代数形式的四则运算

5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义

一、基础小题

1．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi＝(　　)

A．1＋i  B．2＋i  C．3  D．－2－i

答案　D

解析　∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，

∴∴∴a＋bi＝－2－i，故选D.

2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　)

A．3，－2  B．3，2  C．3，－3  D．－1，4

答案　A

解析　由于(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i，所以3－2i＝a＋bi(a，b∈R)，

由复数相等定义，a＝3，且b＝－2，故选A.

3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)

A．－2  B．4  C．3  D．－4

答案　B

解析　z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，所以z的虚部是4，故选B.

4．如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是(　　)

A．A  B．B      C．C  D．D

答案　B

解析　表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示.选B.

5．已知复数z＝1－i，则＝(　　)

A．2  B．－2  C．2i  D．－2i

答案　A

解析　＝＝2，故选A.

6．已知z＝(i是虚数单位)，则复数z的实部是(　　)

A．0  B．－1  C．1  D．2

答案　A

解析　因为z＝＝＝i，所以复数z的实部为0，故选A.

7．复数＝(　　)

A．－－i  B．－＋i     C.－i  D.＋i

答案　C

解析　＝＝＝＝＝－i.

8．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)

A．2  B．－2  C．－  D.

答案　A

解析　解法一：因为＝＝为纯虚数，

所以2－a＝0，a＝2.

解法二：令＝mi(m≠0)，∴1＋ai＝(2－i)mi＝m＋2mi.∴∴a＝2.

9．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为(　　)

A．1－2i  B．－1＋2i       C．3＋4i  D．－3－4i

答案　D

解析　＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.

10．设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)

A．若z2≥0，则z是实数  B．若z2<0，则z是虚数

C．若z是虚数，则z2≥0  D．若z是纯虚数，则z2<0

答案　C

解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，

得即或所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R.故z是实数，所以A为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z2<0时，z一定是虚数，且为纯虚数，故B为真命题；由于i2＝－1<0，故C为假命题，D为真命题．

11．已知是复数z的共轭复数，若z·＝2(＋i)，则z＝(　　)

A．－1－i  B．－1＋i  C．1＋i  D．1－i

答案　C

解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·＝2(＋i)，有(a＋bi)(a－bi)＝2(a－bi＋i)，解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故选C.

12．在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数＝________.

答案　1＋2i

解析　由复数z在复平面内的坐标有z＝1－2i，所以共轭复数＝1＋2i.

二、高考小题

13．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　　)

A.  B.  C.  D．2

答案　C

解析　解法一：∵(1＋i)z＝2i，∴z＝＝＝＝1＋i.

∴|z|＝＝.

解法二：∵(1＋i)z＝2i，∴|1＋i|·|z|＝|2i|，即·|z|＝2，∴|z|＝.

14．设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0  B.  C．1  D.

答案　C

解析　因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1，故选C.

15．＝(　　)

A．－－i  B．－＋i      C．－－i  D．－＋i

答案　D

解析　∵＝＝，∴选D.

16．(1＋i)(2－i)＝(　　)

A．－3－i  B．－3＋i      C．3－i  D．3＋i

答案　D

解析　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，故选D.

17．复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A．1＋i  B．1－i  C．－1＋i  D．－1－i

答案　B

解析　∵＝＝1＋i，∴的共轭复数为1－i.

18．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限       C．第三象限  D．第四象限

答案　D

解析　∵＝＝＋i，∴其共轭复数为－i，又－i在复平面内对应的点，－在第四象限，故选D.

19．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)  B．(－∞，－1)      C．(1，＋∞)  D．(－1，＋∞)

答案　B

解析　∵复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，

∴∴a＜－1.故选B.

20．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)

A．1或－1  B.或－        C．－  D.

答案　A

解析　∵z＝a＋i，∴＝a－i.又∵z·＝4，∴(a＋i)(a－i)＝4，

∴a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1.故选A.

21．设有下面四个命题：

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；

p4：若复数z∈R，则∈R.

其中的真命题为(　　)

A．p1，p3  B．p1，p4  C．p2，p3  D．p2，p4

答案　B

解析　对于命题p1，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝＝∈R，得b＝0，则z∈R成立，故正确；对于命题p2，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z2＝(a2－b2)＋2abi∈R，得a·b＝0，则a＝0或b＝0，复数z为实数或纯虚数，故错误；对于命题p3，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝2，故错误；对于命题p4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z∈R，得b＝0，所以＝a∈R成立，故正确．故选B.

22．i是虚数单位，复数＝________.

答案　4－i

解析　＝＝＝4－i.

23．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)·(1－bi)＝a，则的值为________．

答案　2

解析　由(1＋i)(1－bi)＝a，得1＋b＋(1－b)i＝a，

则解得所以＝2.

24．已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.

答案　5　2

解析　解法一：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，a，b∈R，

∴⇒⇒∴a2＋b2＝2a2－3＝5，ab＝2.

解法二：由解法一知ab＝2，又|(a＋bi)2|＝|3＋4i|＝5，∴a2＋b2＝5.

三、模拟小题

25．复数(i为虚数单位)的值为(　　)

A．－1－3i  B．－1＋3i       C．1＋3i  D．1－3i

答案　A

解析　＝＝－1－3i，故选A.

26．复数z＝的共轭复数为(　　)

A．1＋2i  B．1－2i  C．2－2i  D．－1＋2i

答案　B

解析　因为z＝＝＝1＋2i，所以＝1－2i.

27．已知i为虚数单位，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限     C．第三象限  D．第四象限

答案　B

解析　因为＝＝－－i，所以其共轭复数为－＋i，在复平面内所对应的点为－，，在第二象限，故选B.

28．已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2＋z＝(　　)

A．1－2i  B．1＋3i  C．1－3i  D．1＋2i

答案　B

解析　z2＋z＝(1＋i)2＋1＋i＝1＋2i＋i2＋1＋i＝1＋3i.故选B.

29．设复数z＝(i为虚数单位)，则下列命题错误的是(　　)

A．|z|＝         B.＝1－i

C．z的虚部为i       D．z在复平面内对应的点位于第一象限

答案　C

解析　依题意，有z＝＝1＋i，则其虚部为1，故选C.

30．已知复数z满足zi＝i＋m(i为虚数单位，m∈R)，若z的虚部为1，则复数z在复平面内对应的点在(　　)

A．第一象限  B．第二象限       C．第三象限  D．第四象限

答案　A

解析　依题意，设z＝a＋i(a∈R)，则由zi＝i＋m，得ai－1＝i＋m，

从而故z＝1＋i，在复平面内对应的点为(1，1)，在第一象限，故选A.

31．设复数z满足＝i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)

A．i  B．－i  C．2i  D．－2i

答案　A

解析　由＝i，整理得(1＋i)z＝1－i，z＝＝＝－i，

所以z的共轭复数为i.故选A.

32．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ei表示的复数位于复平面内的(　　)

A．第一象限  B．第二象限    C．第三象限  D．第四象限

答案　A

解析　由欧拉公式ei＝cos＋isin＝＋i，

所以ei表示的复数位于复平面内的第一象限．选A.

33．若复数z满足z＋i＝(i为虚数单位)，则复数z的虚部为(　　)

A．2  B．2i  C．－2  D．－2i

答案　C

解析　由z＋i＝，得z＋i＝－i，z＝－2i，故复数z的虚部为－2，故选C.

34．在复平面内，设复数z1，z2对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i(i是虚数单位)，则z1z2＝(　　)

A．5  B．－5  C．－1－4i  D．－1＋4i

答案　B

解析　由题意z2＝－1＋2i，所以z1z2＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－1＋4i2＝－5.故选B.

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型．

二、模拟大题

1．已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．

(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；

(2)求方程的实根的取值范围．

解　(1)设实根为m，

则m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0，

即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0.

根据复数相等的充要条件得

由②得m＝y－x，

代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝2　③.

故点(x，y)的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

(2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，－1)，半径r＝，

设方程的实根为m，

则直线m＋x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2有公共点，

所以≤，即|m＋2|≤2，即－4≤m≤0.

故方程的实根的取值范围是[－4，0]．

2．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．

解　∵M∪P＝P，∴M⊆P.

即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.

当(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1时，

有解得m＝1；

当(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i时，

有

解得m＝2.

综上可知m＝1或m＝2.