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高考数学(文数)一轮复习考点测试33《一元二次不等式及其解法》（教师版）
展开这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试33《一元二次不等式及其解法》（教师版），共9页。试卷主要包含了会解一元二次不等式，故选D，不等式|x2－x|<2的解集为等内容，欢迎下载使用。
eq \a\vs4\al(高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度)
考纲研读
1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系
3．会解一元二次不等式
一、基础小题
1．不等式2x2－x－3＞0的解集是( )
A．－eq \f(3,2)，1 B．(－∞，－1)∪eq \f(3,2)，＋∞ C．－1，eq \f(3,2) D．－∞，－eq \f(3,2)∪(1，＋∞)
答案 B
解析 2x2－x－3＞0可因式分解为(x＋1)(2x－3)＞0，解得x＞eq \f(3,2)或x＜－1，
∴不等式2x2－x－3＞0的解集是(－∞，－1)∪eq \f(3,2)，＋∞．故选B．
2．若不等式ax2＋bx－2<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x－2
答案 C
解析 ∵－2，eq \f(1,4)是方程ax2＋bx－2＝0的两根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－2,a)＝－2×\f(1,4)＝－\f(1,2)，,－\f(b,a)＝－\f(7,4)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝7，))∴ab＝28．
3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．[－4,4] B．(－4,4) C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4．故选D．
4．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A．eq \f(5,2) B．eq \f(7,2) C．eq \f(15,4) D．eq \f(15,2)
答案 A
解析 由x2－2ax－8a2＝0的两个根为x1＝－2a，x2＝4a，得6a＝15，所以a＝eq \f(5,2)．
5．若函数f(x)＝eq \r(kx2－6kx＋k＋8)的定义域为R，则实数k的取值范围是( )
A．{k|0＜k≤1} B．{k|k＜0或k＞1} C．{k|0≤k≤1} D．{k|k＞1}
答案 C
解析 当k＝0时，8＞0恒成立；当k≠0时，
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＞0，,Δ≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＞0，,36k2－4kk＋8≤0，))则0＜k≤1．综上，0≤k≤1．
6．不等式|x2－x|<2的解集为( )
A．(－1,2) B．(－1,1) C．(－2,1) D．(－2,2)
答案 A
解析 由|x2－x|<2，得－2
7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
A．12元B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
答案 C
解析 设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，即x2－28x＋192<0，解得12
A．(－∞，－2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2] D．[2，＋∞)
答案 C
解析 ∵二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上是减函数，
∴－eq \f(2a－1,2×3)≥1，解得a≤－2．故选C．
9．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2，x>0，,x2＋bx＋c，x≤0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( )
A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B．[－3，－1]
C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞)
答案 C
解析 当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故其对称轴为x＝－eq \f(b,2)＝－2，
∴b＝4．又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4．当x≤0时，令x2＋4x＋4≤1，
有－3≤x≤－1；当x>0时，f(x)＝－2≤1显然成立，
故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)．
10．设a∈R，关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0的解集有下列四个命题：
①原不等式的解集不可能为∅；
②若a＝0，则原不等式的解集为(2，＋∞)；
③若a<－eq \f(1,2)，则原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，2))；
④若a>0，则原不等式的解集为－∞，－eq \f(1,a)∪(2，＋∞)．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 原不等式等价于(ax＋1)(x－2)>0．当a＝0时，不等式化为x－2>0，得x>2．当a≠0时，方程(ax＋1)·(x－2)＝0的两根分别是2和－eq \f(1,a)，若a<－eq \f(1,2)，解不等式得－eq \f(1,a)
11．若不等式－3≤x2－2ax＋a≤－2有唯一解，则a的值是( )
A．2或－1 B．eq \f(－1±\r(5),2) C．eq \f(1±\r(5),2) D．2
答案 A
解析 令f(x)＝x2－2ax＋a，即f(x)＝(x－a)2＋a－a2，因为－3≤x2－2ax＋a≤－2有唯一解，所以a－a2＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1．故选A．
12．已知三个不等式：①x2－4x＋3<0，②x2－6x＋8<0，③2x2－9x＋m<0．要使同时满足①②的所有x的值满足③，则m的取值范围为________．
答案 m≤9
解析 由①②得2
13．(经典浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0
答案 C
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＝f－2，,f－1＝f－3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－b＝7，,4a－b＝13，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝11.))则有f(－1)＝c－6，由0
答案 (－4,1)
解析 不等式－x2－3x＋4>0等价于x2＋3x－4<0，解得－4
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0))
解析 由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，
等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm＝2m2－1<0，,fm＋1＝2m2＋3m<0，))解得－eq \f(\r(2),2)
答案 (－7,3)
解析 当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)．所以f(x＋2)<5的解集为(－7,3)．
三、模拟小题
17．已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3
A．x－eq \f(1,2)＜x＜－eq \f(1,3) B．x＞－eq \f(1,3)或x＜－eq \f(1,2)
C．{x|－3＜x＜2} D．{x|x＜－3或x＞2}
答案 A
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5,a)＝－3－2，,\f(b,a)＝－3×－2，))解得a＝－1，b＝－6，
所以不等式bx2－5x＋a＞0为－6x2－5x－1＞0，即(3x＋1)(2x＋1)＜0，
所以解集为x－eq \f(1,2)＜x＜－eq \f(1,3)．故选A．
18．已知函数f(x)＝ln (x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)
答案 D
解析 依题意得函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，则函数g(x)的值域取遍一切正实数，因此对方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4．故选D．
19．若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．－∞，－eq \f(13,11) D．－∞，－eq \f(13,11)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 ①当m＝－1时，不等式化为2x－6<0，即x<3，显然不对任意实数x恒成立．
②当m≠－1时，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1<0，,Δ<0，))所以m<－eq \f(13,11)．故选C．
20．在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
答案 B
解析 根据定义得x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2
21．已知函数f(x)＝mx2－mx－1．若对于任意的x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．－∞，eq \f(6,7) B．(－∞，1) C．(1,5) D．(1，＋∞)
答案 A
解析 因为f(x)<－m＋5⇔m(x2－x＋1)<6，而x2－x＋1>0，所以将不等式变形为m
A．－∞，－eq \f(4,3)∪(2，＋∞) B．－eq \f(4,3)，2
C．－∞，eq \f(4,3)∪(2，＋∞) D．eq \f(4,3)，2
答案 D
解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称．又∵f(x)在(2，＋∞)上单调递减，∴由f(2x－1)－f(x＋1)>0得f(2x－1)>f(x＋1)，∴|2x－1－2|<|x＋1－2|，∴(2x－3)2<(x－1)2，即3x2－10x＋8<0，(x－2)(3x－4)<0，解得eq \f(4,3)
参考上述解法，若关于x的不等式eq \f(k,x＋a)＋eq \f(x＋b,x＋c)＜0的解集为－2，－eq \f(1,3)∪eq \f(1,2)，1，则关于x的不等式eq \f(kx,ax＋1)＋eq \f(bx＋1,cx＋1)＜0的解集为________．
答案 －3，－eq \f(1,2)∪(1,2)
解析 由eq \f(k,x＋a)＋eq \f(x＋b,x＋c)＜0的解集为－2，－eq \f(1,3)∪eq \f(1,2)，1，且eq \f(k,\f(1,x)＋a)＋eq \f(\f(1,x)＋b,\f(1,x)＋c)＜0，
即eq \f(kx,ax＋1)＋eq \f(bx＋1,cx＋1)＜0，得－2＜eq \f(1,x)＜－eq \f(1,3)或eq \f(1,2)＜eq \f(1,x)＜1，即－3＜x＜－eq \f(1,2)或1＜x＜2，
故不等式eq \f(kx,ax＋1)＋eq \f(bx＋1,cx＋1)＜0的解集为－3，－eq \f(1,2)∪(1,2)．
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．)已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，
∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－eq \f(b,2)＝5，eq \f(c,2)＝0，
∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.
(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，
∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0.
设g(x)＝2x2－10x＋t－2，则由二次函数的图象可知
g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1，1]上为减函数，
∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t，∴10＋t≤0，即t≤－10.
∴t的取值范围为(－∞，－10]．
2．已知抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)．
(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．
解 (1)根据题意，m≠1且Δ>0，即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得m2>0，
所以m≠1且m≠0.
(2)在m≠0且m≠1的条件下，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(m－2,1－m)，,x1·x2＝\f(1,1－m)，))
因为eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝m－2，
所以eq \f(1,x\\al(2,1))＋eq \f(1,x\\al(2,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))2－eq \f(2,x1x2)＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.
所以m的取值范围是{m|0
(1)求f(2)的值；
(2)求f(x)的解析式．
解 (1)∵2x≤f(x)≤eq \f(x2＋4,2)对一切实数x都成立，
∴4≤f(2)≤4，∴f(2)＝4.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(－2)＝0，f(2)＝4，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝4，,4a－2b＋c＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝1，,c＝2－4a.))
∵ax2＋bx＋c≥2x，即ax2－x＋2－4a≥0，
∴Δ＝1－4a(2－4a)≤0，即(4a－1)2≤0，得a＝eq \f(1,4)，
同理f(x)≤eq \f(x2＋4,2)对一切实数x都成立，也解得a＝eq \f(1,4)，
∴当a＝eq \f(1,4)，满足2x≤f(x)≤eq \f(x2＋4,2)，
∴a＝eq \f(1,4)，c＝2－4a＝1，故f(x)＝eq \f(x2,4)＋x＋1.
4．已知二次函数f(x)＝mx2－2x－3，关于实数x的不等式f(x)≤0的解集为[－1，n]．
(1)当a>0时，解关于x的不等式：ax2＋n＋1>(m＋1)x＋2ax；
(2)是否存在实数a∈(0，1)，使得关于x的函数y＝f(ax)－3ax＋1(x∈[1，2])的最小值为－5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．
解 (1)由不等式mx2－2x－3≤0的解集为[－1，n]知关于x的方程mx2－2x－3＝0的两根为－1和n，
且m>0，由根与系数关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋n＝\f(2,m)，,－1×n＝－\f(3,m)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝3，))所以原不等式化为(x－2)(ax－2)>0.
①当0
②当a＝1时，原不等式化为(x－2)2>0，解得x∈R且x≠2；
③当a>1时，原不等式化为(x－2)x－eq \f(2,a)>0且2>eq \f(2,a)，解得x
综上所述，当0
当a>1时，原不等式的解集为xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(2,a)或x>2)).
(2)假设存在满足条件的实数a，由(1)得m＝1，
f(x)＝x2－2x－3，y＝f(ax)－3ax＋1＝a2x－(3a＋2)ax－3，
令ax＝t(a2≤t≤a)，则y＝t2－(3a＋2)t－3(a2≤t≤a)，
对称轴为t＝eq \f(3a＋2,2)，因为a∈(0，1)，
所以a2
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