高考数学(文数)一轮复习考点测试44《两条直线的位置关系与距离公式》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试44《两条直线的位置关系与距离公式》（教师版），共9页。试卷主要包含了故选A，故选B，若直线l1，若动点A，B分别在直线l1等内容，欢迎下载使用。

eq \a\vs4\al(高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度)
考纲研读
1．能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
一、基础小题
1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
答案 A
解析 设直线方程为x－2y＋c＝0(c≠－2)，又该直线经过点(1,0)，故c＝－1，
所求直线方程为x－2y－1＝0．故选A．
2．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角α为( )
A．135° B．45° C．30° D．60°
答案 B
解析 由题意知，PQ⊥l，∵kPQ＝eq \f(a＋1－b,b－1－a)＝－1，
∴kl＝1，即tanα＝1，∴α＝45°．故选B．
3．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7 C．3 D．1
答案 C
解析 因为线段AB的中点eq \f(1＋m,2)，0在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3．
4．已知直线eq \r(3)x＋y－1＝0与直线2eq \r(3)x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B．eq \f(5,4) C．3 D．4
答案 B
解析 ∵eq \f(\r(3),2\r(3))＝eq \f(1,m)≠eq \f(－1,3)，∴m＝2，两平行线之间的距离d＝eq \f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1－\f(3,2)))),\r(3＋1))＝eq \f(5,4)．故选B．
5．已知点M是直线x＋eq \r(3)y＝2上的一个动点，若点P的坐标为(eq \r(3)，－1)，则|PM|的最小值为( )
A．eq \f(1,2) B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 |PM|的最小值即点P(eq \r(3)，－1)到直线x＋eq \r(3)y＝2的距离，
又eq \f(|\r(3)－\r(3)－2|,\r(1＋3))＝1，故|PM|的最小值为1．选B．
6．若直线l1：ax＋2y－8＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行，则实数a的值为( )
A．1 B．1或2 C．－2 D．1或－2
答案 A
解析 直线l1的方程为y＝－eq \f(a,2)x＋4．若a＝－1，显然两直线不平行，所以a≠－1；
要使两直线平行，则有eq \f(a,1)＝eq \f(2,a＋1)，解得a＝1或a＝－2．
当a＝－2时，两直线重合，所以不满足条件，所以a＝1．故选A．
7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )
A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)
答案 B
解析 直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)的对称点为(0,2)．
又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．
8．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3 B．eq \r(2) C．3eq \r(2) D．2eq \r(3)
答案 C
解析 点M在直线x＋y－6＝0上，到原点的最小距离等价于原点O(0,0)到直线x＋y－6＝0的距离，即d＝eq \f(|0＋0－6|,\r(12＋12))＝eq \f(6,\r(2))＝3eq \r(2)．故选C．
9．已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(2,5) C．eq \f(2\r(5),5) D．eq \f(\r(10),5)
答案 A
解析 (x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d＝eq \f(|1＋2×1－5|,\r(1＋22))＝eq \f(2\r(5),5)，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝eq \f(4,5)．故选A．
10．已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为( )
A．2x＋y－11＝0 B．6x－5y－10＝0 C．5x－6y－9＝0 D．6x－5y－9＝0
答案 D
解析 依题意知kAC＝－2，点A(5,1)，则直线AC的方程为2x＋y－11＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))可得点C(4,3)．设B(x0，y0)，则AB的中点M为eq \f(x0＋5,2)，eq \f(y0＋1,2)，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0，))解得点B(－1，－3)，故kBC＝eq \f(6,5)，
则直线BC的方程为y－3＝eq \f(6,5)(x－4)，即6x－5y－9＝0．故选D．
11．已知A(－2,1)，B(1,2)，点C为直线y＝eq \f(1,3)x上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3) C．2eq \r(5) D．2eq \r(7)
答案 C
解析 设B关于直线y＝eq \f(1,3)x的对称点为B′(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－2,x0－1)＝－3，,\f(y0＋2,2)＝\f(1,3)×\f(x0＋1,2)，))解得B′(2，－1)．
由平面几何知识得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝eq \r(2＋22＋－1－12)＝2eq \r(5)．故选C．
12．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
答案 －eq \f(1,3)或－eq \f(7,9)
解析 由题意及点到直线的距离公式得eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9)．
二、高考小题
13．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(3,4) C．eq \r(3) D．2
答案 A
解析 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，
圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为eq \f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq \f(4,3)．故选A．
14．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－eq \f(5,3)或－eq \f(3,5) B．－eq \f(3,2)或－eq \f(2,3) C．－eq \f(5,4)或－eq \f(4,5) D．－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
答案 D
解析 如图，作出点P(－2，－3)关于y轴的对称点P0(2，－3)．
由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P0．
故设反射光线为y＝k(x－2)－3，即kx－y－2k－3＝0．
∴圆心到直线的距离d＝eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4)．故选D．
15．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
答案 A
解析 设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋m＝0(m≠1)，
因为直线2x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝5相切，即点(0,0)到直线2x＋y＋m＝0的距离为eq \r(5)，所以eq \f(|m|,\r(5))＝eq \r(5)，|m|＝5．故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0．故选A．
16．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
答案 4±eq \r(15)
解析 由△ABC为等边三角形可得，C到AB的距离为eq \r(3)，即(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离d＝eq \f(|a＋a－2|,\r(1＋a2))＝eq \r(3)，即a2－8a＋1＝0，可求得a＝4±eq \r(15)．
三、模拟小题
17．“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直”是“m＝eq \f(1,2)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直，则(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或m＝eq \f(1,2)，即“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直”是“m＝eq \f(1,2)”的必要不充分条件．
18．已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为( )
A．0或3或－1 B．0或3 C．3或－1 D．0或－1
答案 D
解析 由题意知1×3a－a2(a－2)＝0，即a(a2－2a－3)＝0，
∴a＝0，a＝－1或a＝3，经验证当a＝3时，两直线重合．故选D．
19．光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有( )
A．a＝eq \f(1,3)，b＝6 B．a＝－eq \f(1,3)，b＝－6 C．a＝3，b＝－eq \f(1,6) D．a＝－3，b＝eq \f(1,6)
答案 B
解析 由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，故直线y＝ax＋2上点(0,2)关于y＝－x的对称点(－2,0)在直线y＝－3x＋b上，∴b＝－6，y＝－3x－6上的点(0，－6)，关于直线y＝－x对称点(6,0)在直线y＝ax＋2上，∴a＝－eq \f(1,3)，故选B．
20．已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1x＋b1y＝1，,a2x＋b2y＝1))的解的情况是( )
A．无论k，P1，P2如何，总是无解
B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C．存在k，P1，P2，使之恰有两解
D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解
答案 B
解析 由题意，直线y＝kx＋1一定不过原点O，P1，P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，则eq \(OP1,\s\up6(→))与eq \(OP2,\s\up6(→))不平行，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1x＋b1y＝1，,a2x＋b2y＝1))一定有唯一解．故选B．
21．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－2，－4) C．(2,4) D．(2，－4)
答案 C
解析 设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))
∴BC所在直线方程为y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,3x＋y－10＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2,4)．故选C．
22．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( )
A．x＋(eq \r(2)－1)y－eq \r(2)＝0 B．(1－eq \r(2))x－y＋eq \r(2)＝0
C．x－(eq \r(2)＋1)y＋eq \r(2)＝0 D．(eq \r(2)－1)x－y＋eq \r(2)＝0
答案 C
解析 如图所示，可知A(eq \r(2)，0)，B(1,1)，C(0，eq \r(2))，D(－1,1)，
所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝eq \f(1－0,1－\r(2))(x－eq \r(2))，y＝(1－eq \r(2))x＋eq \r(2)，y＝(eq \r(2)－1)x＋eq \r(2)，整理成一般式为x＋(eq \r(2)－1)y－eq \r(2)＝0，(1－eq \r(2))x－y＋eq \r(2)＝0，(eq \r(2)－1)x－y＋eq \r(2)＝0，分别对应题中的A，B，D选项．故选C．
23．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________．
答案 x＋2y－3＝0
解析 当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，
所以kAB＝eq \f(－1－1,0－1)＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－eq \f(1,2)，
所以直线l1的方程是y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0．
24．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：
eq \r(x－a2＋y－b2)可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝eq \r(x2＋4x＋20)＋eq \r(x2＋2x＋10)的最小值为________．
答案 5eq \r(2)
解析 ∵f(x)＝eq \r(x2＋4x＋20)＋eq \r(x2＋2x＋10)＝
eq \r(x＋22＋0－42)＋eq \r(x＋12＋0－32)，∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝eq \r(－1＋22＋3＋42)＝5eq \r(2)，即f(x)＝eq \r(x2＋4x＋20)＋eq \r(x2＋2x＋10)的最小值为5eq \r(2)．
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
解 (1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)，
因为a2≥0，所以b≤0．
又因为a2＋1≠3，所以b≠－6．
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，
所以ab＝a＋eq \f(1,a)，|ab|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，
因此|ab|的最小值为2．
2．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：4x－2y－1＝0和l3：x＋y－1＝0，且两平行直线l1与l2间的距离是eq \f(7\r(5),10)．
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的eq \f(1,2)；
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是eq \r(2)∶eq \r(5)．
若能，求P点坐标；若不能，说明理由．
解 (1)l2的方程可化为2x－y－eq \f(1,2)＝0，
∴l1与l2间的距离d＝eq \f(a－－\f(1,2),\r(22＋－12))＝eq \f(7\r(5),10)，
∴eq \f(a＋\f(1,2),\r(5))＝eq \f(7\r(5),10)，∴a＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2)，∵a>0，∴a＝3．
(2)能．假设存在满足题意的P点．
设点P(x0，y0)，因为P点满足条件②，
所以P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，
其中C满足eq \f(|C－3|,\r(5))＝eq \f(1,2)×eq \f(C＋\f(1,2),\r(5))，C≠3且C≠－eq \f(1,2)，则C＝eq \f(13,2)或C＝eq \f(11,6)，
∴2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0．因为P点满足条件③，
所以由点到直线的距离公式得eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(\r(2),\r(5))×eq \f(|x0＋y0－1|,\r(2))，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0．
∵P点在第一象限，∴3x0＋2＝0不满足题意．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(13,2)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)))(舍去)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(11,6)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18)，))
∴存在满足题意的P点，且P点的坐标为eq \f(1,9)，eq \f(37,18)．