2021-2022学年山东省潍坊市寿光市八年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年山东省潍坊市寿光市八年级（上）期末数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省潍坊市寿光市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（体题共8小题，每小题4分，共32分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）若分式的值为零，则x的值为（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．±2
2．（4分）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
3．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是S甲2＝0.65，S乙2＝0.55，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，则射箭成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（　　）
A．（5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣5，1） D．（﹣5，﹣1）
6．（4分）如图，在▱ABCD中，∠D＝56°，点E在边BC的延长线上，且BE＝CD，则∠E的度数为（　　）

A．56° B．62° C．68° D．72°
7．（4分）某公司计划招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，成绩如表：
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩（百分制）
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
公司决定将面试与笔试成绩按6：4的比例计算个人总分，总分最高者将被录用，则公司将录用（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（4分）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9．（5分）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中能证明“三角形内角和是180°”的是 　 　．
A．如图①，过C作EF∥AB
B．如图②，过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC
C．如图③，延长AC到F，过C作CE∥AB
D．如图④，作CD⊥AB于点D

10．（5分）下列说法正确的是 　 　．
A．对角线相等的菱形是正方形
B．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是菱形
C．成轴对称的两个图形全等
D．有三个角相等的四边形是矩形
11．（5分）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，能判定平行四边形ABCD为菱形的是 　 　．
A．AC⊥BD
B．∠ABD＝∠CBD
C．AB＝BC
D．AC＝BD
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以每秒1个单位的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，若以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，则t等于 　 　．
A.1
B.3
C.9
D.13

三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13．（5分）若关于x的分式方程＝﹣3有增根，则实数m的值是 　 　．
14．（5分）有一个密码箱，密码由三个数字组成，甲、乙、丙三个人都开过，但都记不清了．甲记得：这三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7；乙记得：1和2的位置相邻；丙记得：中间的数字不是1．根据以上信息，可以确定密码是 　 　．
15．（5分）如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若PE+PF＝8，则菱形ABCD的面积为 　 　．

16．（5分）如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是 　 　（请将所有正确结论的序号都填上）．

四、解答题（本大题共7小题，共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）已知﹣＝4，求的值．
18．（8分）如图，在△NMB中，BM＝8，点A，C，D分别在边MB，BN，MN上，DA∥NB，DC∥MB，∠NDC＝∠MDA．求四边形ABCD的周长．

19．（10分）甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海．已知北京到上海的距离约为1320千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的倍，全程运行时间比列车乙少1.5小时，求列车甲从北京到上海运行的时间．
20．（12分）如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE．
（1）求证：△CBD≌△CAE．
（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．

21．（12分）青年歌手大奖赛的决赛在甲、乙两名歌手之间进行，9位评委的评分（10分为满分）情况如下表所示（单位：分）：
评委编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
甲的得分
8.8
9.5
8.6
9.6
7.2
8.9
8.8
8.8
8.8
乙的得分
8.5
9.1
8.5
9.1
9.9
8.5
9.2
8.6
8.3
（1）分别求出甲、乙两名歌手得分的平均数（精确到0.01）、中位数和众数；
（2）由（1）的结果，分析甲、乙两名歌手中谁的演唱水平较高；
（3）如果以平均分为标准区分比赛的名次，那么制定怎样的计分规则比较合理？
22．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

23．（12分）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．


2021-2022学年山东省潍坊市寿光市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（体题共8小题，每小题4分，共32分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）若分式的值为零，则x的值为（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．±2
【分析】根据分式为0的条件是：分子为0、分母不为0计算即可．
【解答】解：由题意得，
x2﹣4＝0，x＝±2，
x+2≠0，x≠﹣2，
∴x＝2，
故选：B．
2．（4分）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
【解答】解：连接AB，
根据题意得：OB＝OA＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故选：B．

3．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是S甲2＝0.65，S乙2＝0.55，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，则射箭成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的成绩最稳定．
【解答】解：∵＝0.65，＝0.55，＝0.50，＝0.45，
丁的方差最小，
∴射箭成绩最稳定的是：丁．
故选：D．
4．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】延长AF交BC于H，由三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，再证△BFA≌△BFH（AAS），得BH＝AB＝8，然后由三角形中位线定理得DF＝4，求解即可．
【解答】解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：

∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝8，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF是△ABH的中位线，
∴DF＝BH＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故选：C．
5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（　　）
A．（5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣5，1） D．（﹣5，﹣1）
【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P1的坐标，再根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．
【解答】解：∵将点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，
∴点P1的坐标是（5，1），
∴点P1关于x轴的对称点P2的坐标是（5，﹣1）．
故选：B．
6．（4分）如图，在▱ABCD中，∠D＝56°，点E在边BC的延长线上，且BE＝CD，则∠E的度数为（　　）

A．56° B．62° C．68° D．72°
【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，进而利用等腰三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝56°，
∵BE＝CD，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠E＝，
故选：B．
7．（4分）某公司计划招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，成绩如表：
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩（百分制）
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
公司决定将面试与笔试成绩按6：4的比例计算个人总分，总分最高者将被录用，则公司将录用（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据题意先算出甲、乙、丙、丁四位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，
甲的成绩为：＝87.6（分），
乙的成绩为：＝88.4（分），
丙的成绩为：＝87.2（分），
丁的成绩为：＝86.6（分），
∵86.6＜87.2＜87.6＜88.4，
∴公司将录用乙，
故选：B．
8．（4分）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．
故选：C．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9．（5分）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中能证明“三角形内角和是180°”的是 　A、B、C　．
A．如图①，过C作EF∥AB
B．如图②，过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC
C．如图③，延长AC到F，过C作CE∥AB
D．如图④，作CD⊥AB于点D

【分析】运用转化的思想以及平角的定义解决此题．
【解答】解：A、由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A能证明“三角形内角和是180°”；
B、由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故B能证明“三角形内角和是180°”；
C、由CE∥AB，则∠A＝∠FCE，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故C能证明“三角形内角和是180°”；
D、由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故D不能证明“三角形内角和是180°”；
故答案为：A、B、C．
10．（5分）下列说法正确的是 　A、C　．
A．对角线相等的菱形是正方形
B．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是菱形
C．成轴对称的两个图形全等
D．有三个角相等的四边形是矩形
【分析】利用正方形的判定方法、菱形的判定方法、矩形的判定方法及全等图形的定义分别判断后即可确定正确的答案．
【解答】解：A、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；
B、顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、成轴对称的两个图形全等，正确，符合题意；
D、有四个角相等的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意．
故答案为：A、C．
11．（5分）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，能判定平行四边形ABCD为菱形的是 　A、B、C　．
A．AC⊥BD
B．∠ABD＝∠CBD
C．AB＝BC
D．AC＝BD
【分析】由菱形的判定可直接求解．
【解答】解：当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当∠ABD＝∠CBD时，平行四边形ABCD是菱形
故选A、B、C．
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以每秒1个单位的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，若以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，则t等于 　A、B、D　．
A.1
B.3
C.9
D.13

【分析】由题意得OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，再由平行四边形的判定可知，当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论：若0＜t＜时，3﹣2t＝t；若＜t≤4时，2t﹣3＝t；若4＜t＜时，2t﹣3＝4﹣3（t﹣4）；若t＞时，2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，分别解方程求出满足条件的t的值即可．
【解答】解：∵A（4，0），B（﹣3，2），C（0，2），
∴OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，
∵PC∥AQ，
∴当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
若0＜t＜时，BP＝2t，PC＝3﹣2t，AQ＝t，
此时3﹣2t＝t，
解得：t＝1；
若＜t≤4时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，AQ＝t，
此时2t﹣3＝t，
解得：t＝3；
若4＜t＜时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝4﹣3（t﹣4），
此时2t﹣3＝4﹣3（t﹣4），
解得：t＝（舍去）；
若t＞时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝3（t﹣4）﹣4，
此时2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，
解得：t＝13；
综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为：A、B、D．
三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13．（5分）若关于x的分式方程＝﹣3有增根，则实数m的值是 　1　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：m＝x﹣1﹣3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程可得：m＝1，
故答案为：1．
14．（5分）有一个密码箱，密码由三个数字组成，甲、乙、丙三个人都开过，但都记不清了．甲记得：这三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7；乙记得：1和2的位置相邻；丙记得：中间的数字不是1．根据以上信息，可以确定密码是 　127　．
【分析】先根据第一个数字不是7，得出第一个数字是1或2，再根据1和2相邻，进而得出第三个是7，即可得出结论．
【解答】解：∵三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7，
∴第一个数为1或2，
∵1和2的位置相邻，
∴前两个数字是1，2或2，1，第三位是数字7，
∵中间的数字不是1，
∴第一个数字只能是1，第二个数字为2，
即密码为127，
故答案为127．
15．（5分）如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若PE+PF＝8，则菱形ABCD的面积为 　80　．

【分析】根据菱形的性质得到AB＝AD＝10，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接AP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵菱形ABCD的周长为40，
∴AB＝AD＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴菱形ABCD的面积＝2S△ABD＝2×（S△ABP+S△ADP）＝2（×10PE+×10PF）＝10（PE+PF）＝10×8＝80，
故答案为：80．

16．（5分）如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是 　①②④　（请将所有正确结论的序号都填上）．

【分析】根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR＝AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP＝∠QPA，推出∠QPA＝∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS．无法判断△BRP≌△QSP；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，则RD＝SD，∠ADR＝∠ADS＝90°．
【解答】解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，
∴∠SAP＝∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2＝AP2﹣PR2，AS2＝AP2﹣PS2，
∵AD＝AD，PR＝PS，
∴AR＝AS，∴①正确；
②∵AQ＝QP，
∴∠QAP＝∠QPA，
∵∠QAP＝∠BAP，
∴∠QPA＝∠BAP，
∴QP∥AR，∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS，
不满足三角形全等的条件，故③错误；
④如图，连接RS，与AP交于点D．
在△ARD和△ASD中，
，
所以△ARD≌△ASD．
∴RD＝SD，∠ADR＝∠ADS＝90°．
所以AP垂直平分RS，故④正确．
故答案为：①②④．

四、解答题（本大题共7小题，共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）已知﹣＝4，求的值．
【分析】（1）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
（2）将原式进行整理，然后将y﹣x＝4xy代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝1+÷
＝1+•
＝1+1
＝2．
（2）由题意可知：y﹣x＝4xy，
原式＝
＝
＝
＝6．
18．（8分）如图，在△NMB中，BM＝8，点A，C，D分别在边MB，BN，MN上，DA∥NB，DC∥MB，∠NDC＝∠MDA．求四边形ABCD的周长．

【分析】先证明四边形ABCD为平行四边形，则DC＝AB，AD＝BC，再证明∠NDC＝∠MDA得到AD＝AM，然后利用等线段代换得到四边形ABCD的周长＝2BM．
【解答】解：∵DA∥NB，DC∥MB，
∴∠NDC＝∠M，四边形ABCD为平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，
∵∠NDC＝∠MDA．
∴AD＝AM，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝2AM+2AB＝2BM＝2×8＝16．
19．（10分）甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海．已知北京到上海的距离约为1320千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的倍，全程运行时间比列车乙少1.5小时，求列车甲从北京到上海运行的时间．
【分析】设列车甲从北京到上海运行的时间为x小时，则列车乙从北京到上海运行的时间为（x+1.5）小时，利用平均速度＝路程÷时间，结合列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设列车甲从北京到上海运行的时间为x小时，则列车乙从北京到上海运行的时间为（x+1.5）小时，
依题意得：＝×，
解得：x＝4.5，
答：列车甲从北京到上海运行的时间为4.5小时．
20．（12分）如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE．
（1）求证：△CBD≌△CAE．
（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据等边三角形各内角为60°和各边长相等的性质可证∠ECA＝∠DCB，AC＝BC，EC＝DC，即可证明△ECA≌△DCB；
（2）根据△ECA≌△DCB可得∠EAC＝60°，根据内错角相等，平行线平行即可解题．
【解答】证明：（1）∵△ABC、△DCE为等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝∠DBC＝60°，
∵∠ACD+∠ACB＝∠DCB，∠ECD+∠ACD＝∠ECA，
∴∠ECA＝∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
，
∴△ECA≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ECA≌△DCB，
∴∠EAC＝∠DBC＝60°，
又∵∠ACB＝∠DBC＝60°，
∴∠EAC＝∠ACB＝60°，
∴AE∥BC．
21．（12分）青年歌手大奖赛的决赛在甲、乙两名歌手之间进行，9位评委的评分（10分为满分）情况如下表所示（单位：分）：
评委编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
甲的得分
8.8
9.5
8.6
9.6
7.2
8.9
8.8
8.8
8.8
乙的得分
8.5
9.1
8.5
9.1
9.9
8.5
9.2
8.6
8.3
（1）分别求出甲、乙两名歌手得分的平均数（精确到0.01）、中位数和众数；
（2）由（1）的结果，分析甲、乙两名歌手中谁的演唱水平较高；
（3）如果以平均分为标准区分比赛的名次，那么制定怎样的计分规则比较合理？
【分析】（1）根据算术平均数、中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据算术平均数、中位数和众数的意义求解即可；
（3）由于平均数与每一个数据有关，受极端值的影响较大，所以比赛规则为9位评委打分，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据取平均数，即为选手的最后得分，这样的计分规则比较合理．
【解答】解：（1）将甲歌手的评分按从小到大的顺序排列为：7.2，8.6，8.8，8.8，8.8，8.8，8.9，9.5，9.6，
甲歌手得分的平均数为：（7.2+8.6+8.8×4+8.9+9.5+9.6）÷9≈8.78（分），
中位数是8.8分，众数是8.8分；
将乙歌手的评分按从小到大的顺序排列为：8.3，8.5，8.5，8.5，8.6，9.1，9.1，9.2，9.9，
乙歌手得分的平均数为：（8.3+8.5×3+8.6+9.1×2+9.2+9.9）÷9≈8.86（分），
中位数是8.6分，众数是8.5分；

（2）由（1）的结果可知，甲、乙两名歌手中甲的演唱水平较高．理由如下：
虽然甲歌手得分的平均数比乙低，但是甲的中位数、众数均比乙的高，所以甲的演唱水平较高；

（3）比赛规则为9位评委打分，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据取平均数，即为选手的最后得分，这样的计分规则比较合理．
22．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE＝90°，可以证明四边形ADCE为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD＝BC，由已知可得，DC＝BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝180°＝90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．

（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
23．（12分）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．

【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证出OE是△BDF的中位线，得OE∥DF即可；
（2）先证△DFG≌△CEG（AAS），得FG＝EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证CD＝EF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：

由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形．