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2021-2022学年江苏省盐城市滨海县九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江苏省盐城市滨海县九年级（上）期末数学试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省盐城市滨海县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）函数y＝（x+1）2﹣3的最小值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
2．（3分）已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（3分）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则c﹣2b的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．﹣2 D．3
5．（3分）某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛．有同学预测“小东夺冠的可能性是80%”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ）
A．小东夺冠的可能性较大
B．如果小东和他的对手比赛10局，他一定会赢8局
C．小东夺冠的可能性较小
D．小东肯定会赢
6．（3分）由下表：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.04
0.1
可知方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）一个根（精确到0.01）的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．8 C． D．
8．（3分）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）二次函数y＝﹣3x2+2x﹣3图象的开口方向是 ．
10．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 ．
11．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别为S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，则两人射击成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
12．（3分）实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为 ．
13．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为 ．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．
15．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 m．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为 ．
17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A＝∠D，CD＝3，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）．
（1）△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的△A1O1B1；
（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1；
（3）若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的
坐标．
20．（10分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求CD的长．
21．（10分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 ，中位数为 ；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
22．（10分）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．
（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 ；
（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．
23．（10分）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为xm，隔离区面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）求隔离区面积的最大值．
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
25．（12分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）如图1，点D为AC上一点，DE∥BC交AB边于点E，若＝，求AD及DE的长；
（2）如图2，折叠△ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FH∥AC．
①求证：四边形AGHF是菱形；
②求菱形的边长；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得△CPH∽△DPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．
27．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D为OC的中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点E为直线BC上方抛物线上一点，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，EH与BC、BD分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段EF的长度；
②若EF＝FG，求此时点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使∠CPB＝90°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年江苏省盐城市滨海县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）函数y＝（x+1）2﹣3的最小值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】利用二次函数顶点式求函数的最小值即可．
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴当x＝﹣1时，y的最小值是﹣3，
故选：D．
2．（3分）已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解．
【解答】解：A、由＝可得3a＝4b，故选项正确；
B、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
C、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
D、由＝可得ab＝3×4＝12，故选项错误．
故选：A．
3．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程得：9+3k﹣6＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
4．（3分）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则c﹣2b的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．﹣2 D．3
【分析】把（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c可得﹣2b+c＝7，再将所求的式子变形，即可求出答案
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），
∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3，
整理得，﹣2b+c＝7，
即c﹣2b＝7
故选：A．
5．（3分）某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛．有同学预测“小东夺冠的可能性是80%”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ）
A．小东夺冠的可能性较大
B．如果小东和他的对手比赛10局，他一定会赢8局
C．小东夺冠的可能性较小
D．小东肯定会赢
【分析】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案．
【解答】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是80%，结合概率的意义，
A、李东夺冠的可能性较大，故本选项正确；
B、李东和他的对手比赛10局时，他可能赢8局，故本选项错误；
C、李东夺冠的可能性较大，故本选项错误；
D、李东可能会赢，故本选项错误．
故选：A．
6．（3分）由下表：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.04
0.1
可知方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）一个根（精确到0.01）的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】由表格可发现y的值﹣0.01和0.04最接近0，再看对应的x的值即可得．
【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【分析】利用直角三角形30度角的性质解决问题即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝8，
∴OA＝OB＝4，
故选：A．
8．（3分）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵OD⊥a于D，
∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）二次函数y＝﹣3x2+2x﹣3图象的开口方向是 向下 ．
【分析】由抛物线解析式可知，二次项系数a＝﹣3＜0，可知抛物线开口向下．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2+2x﹣3的二次项系数a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下．
故答案为：向下．
10．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
11．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别为S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，则两人射击成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，
∴S甲2＞S乙2，
∴两人射击成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
12．（3分）实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为 ﹣1 ．
【分析】由实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出（m+n），mn的值，再将其代入mn﹣m﹣n＝mn﹣（m+n）中即可求出结论．
【解答】解：∵实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∴m+n＝﹣＝3，mn＝＝2，
∴mn﹣m﹣n＝mn﹣（m+n）＝2﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为 y＝2（x﹣3）2+2 ．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（3，2），
所以，平移后的抛物线的解析式为y＝2（x﹣3）2+2．
故答案为：y＝2（x﹣3）2+2．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ 30 °．
【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．
【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDB＝∠BOC＝30°．
故答案为30．
15．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 8 m．
【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE＝AC：DE，
即1：5＝1.6：DE，
∴DE＝8（m），
故答案为：8．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为 1：4 ．
【分析】先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，而E是AB的中点，BE＝AB＝CD，再证明△BEF∽△DCF，然后根据相似三角形的性质可计算△BEF与△DCF的面积比．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AB＝CD；
∵BE∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴△BEF与△DCF的面积比＝，
故答案为：1：4．
17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A＝∠D，CD＝3，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：连接OC，
∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
即∠D+∠COD＝90°，
∵AO＝CO，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COD＝2∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠COD＝2∠D，
∴3∠D＝90°，
∴∠D＝30°，
∴∠COD＝60°
∵CD＝3，
∴OC＝3×＝，
∴阴影部分的面积＝×3×﹣＝，
故答案为：．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 5+1 ．
【分析】当⊙O与CB、CD相切于点E，F时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，连接OE，OF，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．
【解答】解：当⊙O与CB、CD相切于点E，F时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，连接OE，OF，
∴OE⊥BC，OF⊥CD，OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝6，OC＝OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝6﹣+1＝5+1，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为5+1，
故答案为：5+1．
三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）．
（1）△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的△A1O1B1；
（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1；
（3）若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的
坐标．
【分析】（1）将三个顶点分别向左平移3个单位，向上平移1个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）延长OA、OB到A1、B1，使OA2＝2OA，OB2＝2OB，与点O首尾顺次连接即可；
（3）直线A1A2、OO1、B1B2的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1O1B1即为所求．
（2）如图所示，△A2OB2即为所求．
（3）如图所示，点Q即为所求，其坐标为（﹣6，2）．
20．（10分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求CD的长．
【分析】（1）根据AC平分∠BAD，可得∠BAC＝∠DAC．进而可以解决问题；
（2）根据勾股定理首先求出BC＝3，再根据△ABC∽△ACD，对应边成比例即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC．
∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∵AB＝4，AC＝5，
∴，
∵△ABC∽△ACD，
∴．
∴，
∴．
21．（10分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）表格中的a＝ 4 ，b＝ 5 ；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 4 ，中位数为 4 ；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
【分析】（1）由题中的数据即可求解；
（2）根据中位数、众数的定义，即可解答；
（3）根据样本估计总体，即可解答．
【解答】解：（1）由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5，
故答案为：4，5；
（2）该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，
∵4出现的最多，有6次，
∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数＝4，
故答案为：4，4；
（3）300×＝90（人）．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．
22．（10分）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．
（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 ；
（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，
∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为＝．
23．（10分）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为xm，隔离区面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）求隔离区面积的最大值．
【分析】（1）垂直于墙的一边为xm，则隔离区的另一边为（24﹣3x）m，得S＝x（24﹣3x），化简得S＝﹣3x2+24x，根据题意，得不等式组，解不等式组即可；
（2）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，根据开口，对称轴，取值范围确定增减性，即可求解．
【解答】解：（1）垂直于墙的一边为xm，则隔离区的另一边为（24﹣3x）m，
∴S＝x（24﹣3x），化简得S＝﹣3x2+24x，
根据题意，得不等式组，
解得：≤x＜8，
∴S关于x的函数解析式S＝﹣3x2+24x，x的取值范围：≤x＜8；
（2）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵该抛物线开口向下，对称轴为直线x＝4，
∴当≤x＜8时，S随x的增大而减小，
当x＝时，S的值最大，最大值＝﹣3×（）2+24×＝46，
答：隔离区面积最大值为46m2．
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
【分析】（1）连接OD，由∠BAC是直径所对的圆周角，可知∠BAC＝90°，再由AD是∠BAC的平分线，可得∠BAD＝45°，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，可得∠BOD＝90°，再由切线DP⊥OD，可证DP∥BC；
（2）由（1）DP∥BC，得∠ACB＝∠P，再由同弧所对圆周角相等，得∠ACB＝∠ADB，进而得到∠P＝∠ADB，又由∠ODC＝45°，∠CDP＝45°，即可证明△ABD∽△DCP；
（3）由已知可求BC＝13cm，在Rt△COD中，CD＝，在Rt△BOD中，BD＝，再由△ABD∽△DCP，可得＝，即可求CP＝．
【解答】解：（1）连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴DO⊥DP，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴DP∥BC；
（2）∵DP∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，
∴BC＝13cm，
在Rt△COD中，CD＝，
在Rt△BOD中，BD＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴＝，
∴＝，
∴CP＝．
25．（12分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；
（3）代入x＝10求出y值，进而可得出点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上，将与1.8比较后即可得出顶部F不会碰到水柱．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y＝﹣×（10﹣5）2+6＝，
∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．
又∵≈1.83＞1.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）如图1，点D为AC上一点，DE∥BC交AB边于点E，若＝，求AD及DE的长；
（2）如图2，折叠△ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FH∥AC．
①求证：四边形AGHF是菱形；
②求菱形的边长；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得△CPH∽△DPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由△ADE∽△ABC，可求相似比为，即可求AD，DE的长；
（2）①根据折叠的性质和平行线的性质，证明AG＝AF＝FH＝HG，即可求解；
②由△FBH∽△ABC，可得BH：FH：BF＝3：4：5，设BH＝3a，则FH＝AF＝4a，BF＝5a，求得，在求FH即可；
（3）由△CPH∽△DPE，可求BH，CH，再由，即可求．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AD＝2，；
（2）①由翻折不变性可知：
AF＝FH，AG＝GH，
∠AFG＝∠GFH，
∵FH∥AC，
∴∠AGF＝∠GFH，
∴∠AGF＝∠AFG，
∴AG＝AF，
∴AG＝AF＝FH＝HG，
∴四边形AGHF是菱形；
②∵FH∥AC，
∴△FBH∽△ABC，
∴，
又∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BH：FH：BF＝3：4：5，
∴设BH＝3a，则FH＝AF＝4a，BF＝5a，
∴4 a+5a＝10，
∴，
∴FH＝，
即菱形的边长为；
（3）在点P使得△CPH∽△DPE，理由如下：
∵△CPH∽△DPE，
∴，
∵BH＝，
∴CH＝，
∴，
∴．
27．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D为OC的中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点E为直线BC上方抛物线上一点，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，EH与BC、BD分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段EF的长度；
②若EF＝FG，求此时点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使∠CPB＝90°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用交点式可直接求得二次函数解析式；
（2）①先求出直线BC的表达式，设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），可表达点F的坐标，上减下可表达EF的长；
②先求出直线BD的表达式，可表达点G的坐标，进而表达线段FG的长，利用等式建立方程，求解即可；
（3）先得出抛物线的对称轴为直线x＝1，取BC的中点为M，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，MB＝MP，由此建立方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）两点，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3．
（2）①由题意知：C（0，3），B（3，0），
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
∵E（m，﹣m2+2m+3），
∴F（m，﹣m+3），
∴EF＝﹣m2+3m．
②∵D为OC的中点，
∵C（0，3），
∴D（0，，
又∵B（3，0），
设BD的表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴，
∴G（m，，
FG＝，
∵EF＝FG，
∴，
∴m1＝3（舍去），，
∴E（，）．
（3）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴为：直线x＝1，
设P（1，a），
∵∠CPB＝90°，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC的中点M（，），
则MB＝MP，
∴，
∴a2﹣3a﹣2＝0，
∴，，
∴，．
2021-2022学年江苏省盐城市滨海县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）函数y＝（x+1）2﹣3的最小值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
2．（3分）已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（3分）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则c﹣2b的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．﹣2 D．3
5．（3分）某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛．有同学预测“小东夺冠的可能性是80%”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ）
A．小东夺冠的可能性较大
B．如果小东和他的对手比赛10局，他一定会赢8局
C．小东夺冠的可能性较小
D．小东肯定会赢
6．（3分）由下表：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.04
0.1
可知方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）一个根（精确到0.01）的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．8 C． D．
8．（3分）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）二次函数y＝﹣3x2+2x﹣3图象的开口方向是 ．
10．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 ．
11．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别为S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，则两人射击成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
12．（3分）实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为 ．
13．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为 ．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．
15．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 m．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为 ．
17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A＝∠D，CD＝3，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）．
（1）△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的△A1O1B1；
（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1；
（3）若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的
坐标．
20．（10分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求CD的长．
21．（10分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 ，中位数为 ；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
22．（10分）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．
（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 ；
（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．
23．（10分）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为xm，隔离区面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）求隔离区面积的最大值．
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
25．（12分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）如图1，点D为AC上一点，DE∥BC交AB边于点E，若＝，求AD及DE的长；
（2）如图2，折叠△ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FH∥AC．
①求证：四边形AGHF是菱形；
②求菱形的边长；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得△CPH∽△DPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．
27．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D为OC的中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点E为直线BC上方抛物线上一点，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，EH与BC、BD分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段EF的长度；
②若EF＝FG，求此时点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使∠CPB＝90°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年江苏省盐城市滨海县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）函数y＝（x+1）2﹣3的最小值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】利用二次函数顶点式求函数的最小值即可．
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴当x＝﹣1时，y的最小值是﹣3，
故选：D．
2．（3分）已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解．
【解答】解：A、由＝可得3a＝4b，故选项正确；
B、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
C、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
D、由＝可得ab＝3×4＝12，故选项错误．
故选：A．
3．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程得：9+3k﹣6＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
4．（3分）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则c﹣2b的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．﹣2 D．3
【分析】把（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c可得﹣2b+c＝7，再将所求的式子变形，即可求出答案
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），
∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3，
整理得，﹣2b+c＝7，
即c﹣2b＝7
故选：A．
5．（3分）某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛．有同学预测“小东夺冠的可能性是80%”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ）
A．小东夺冠的可能性较大
B．如果小东和他的对手比赛10局，他一定会赢8局
C．小东夺冠的可能性较小
D．小东肯定会赢
【分析】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案．
【解答】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是80%，结合概率的意义，
A、李东夺冠的可能性较大，故本选项正确；
B、李东和他的对手比赛10局时，他可能赢8局，故本选项错误；
C、李东夺冠的可能性较大，故本选项错误；
D、李东可能会赢，故本选项错误．
故选：A．
6．（3分）由下表：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.04
0.1
可知方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）一个根（精确到0.01）的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】由表格可发现y的值﹣0.01和0.04最接近0，再看对应的x的值即可得．
【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【分析】利用直角三角形30度角的性质解决问题即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝8，
∴OA＝OB＝4，
故选：A．
8．（3分）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵OD⊥a于D，
∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）二次函数y＝﹣3x2+2x﹣3图象的开口方向是 向下 ．
【分析】由抛物线解析式可知，二次项系数a＝﹣3＜0，可知抛物线开口向下．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2+2x﹣3的二次项系数a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下．
故答案为：向下．
10．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
11．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别为S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，则两人射击成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，
∴S甲2＞S乙2，
∴两人射击成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
12．（3分）实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为 ﹣1 ．
【分析】由实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出（m+n），mn的值，再将其代入mn﹣m﹣n＝mn﹣（m+n）中即可求出结论．
【解答】解：∵实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∴m+n＝﹣＝3，mn＝＝2，
∴mn﹣m﹣n＝mn﹣（m+n）＝2﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为 y＝2（x﹣3）2+2 ．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（3，2），
所以，平移后的抛物线的解析式为y＝2（x﹣3）2+2．
故答案为：y＝2（x﹣3）2+2．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ 30 °．
【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．
【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDB＝∠BOC＝30°．
故答案为30．
15．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是 8 m．
【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE＝AC：DE，
即1：5＝1.6：DE，
∴DE＝8（m），
故答案为：8．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为 1：4 ．
【分析】先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，而E是AB的中点，BE＝AB＝CD，再证明△BEF∽△DCF，然后根据相似三角形的性质可计算△BEF与△DCF的面积比．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AB＝CD；
∵BE∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴△BEF与△DCF的面积比＝，
故答案为：1：4．
17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A＝∠D，CD＝3，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：连接OC，
∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
即∠D+∠COD＝90°，
∵AO＝CO，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COD＝2∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠COD＝2∠D，
∴3∠D＝90°，
∴∠D＝30°，
∴∠COD＝60°
∵CD＝3，
∴OC＝3×＝，
∴阴影部分的面积＝×3×﹣＝，
故答案为：．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 5+1 ．
【分析】当⊙O与CB、CD相切于点E，F时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，连接OE，OF，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．
【解答】解：当⊙O与CB、CD相切于点E，F时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，连接OE，OF，
∴OE⊥BC，OF⊥CD，OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝6，OC＝OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝6﹣+1＝5+1，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为5+1，
故答案为：5+1．
三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）．
（1）△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的△A1O1B1；
（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1；
（3）若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的
坐标．
【分析】（1）将三个顶点分别向左平移3个单位，向上平移1个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）延长OA、OB到A1、B1，使OA2＝2OA，OB2＝2OB，与点O首尾顺次连接即可；
（3）直线A1A2、OO1、B1B2的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1O1B1即为所求．
（2）如图所示，△A2OB2即为所求．
（3）如图所示，点Q即为所求，其坐标为（﹣6，2）．
20．（10分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求CD的长．
【分析】（1）根据AC平分∠BAD，可得∠BAC＝∠DAC．进而可以解决问题；
（2）根据勾股定理首先求出BC＝3，再根据△ABC∽△ACD，对应边成比例即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC．
∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∵AB＝4，AC＝5，
∴，
∵△ABC∽△ACD，
∴．
∴，
∴．
21．（10分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）表格中的a＝ 4 ，b＝ 5 ；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 4 ，中位数为 4 ；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
【分析】（1）由题中的数据即可求解；
（2）根据中位数、众数的定义，即可解答；
（3）根据样本估计总体，即可解答．
【解答】解：（1）由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5，
故答案为：4，5；
（2）该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，
∵4出现的最多，有6次，
∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数＝4，
故答案为：4，4；
（3）300×＝90（人）．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．
22．（10分）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．
（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 ；
（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，
∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为＝．
23．（10分）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为xm，隔离区面积为Sm2．
（1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）求隔离区面积的最大值．
【分析】（1）垂直于墙的一边为xm，则隔离区的另一边为（24﹣3x）m，得S＝x（24﹣3x），化简得S＝﹣3x2+24x，根据题意，得不等式组，解不等式组即可；
（2）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，根据开口，对称轴，取值范围确定增减性，即可求解．
【解答】解：（1）垂直于墙的一边为xm，则隔离区的另一边为（24﹣3x）m，
∴S＝x（24﹣3x），化简得S＝﹣3x2+24x，
根据题意，得不等式组，
解得：≤x＜8，
∴S关于x的函数解析式S＝﹣3x2+24x，x的取值范围：≤x＜8；
（2）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵该抛物线开口向下，对称轴为直线x＝4，
∴当≤x＜8时，S随x的增大而减小，
当x＝时，S的值最大，最大值＝﹣3×（）2+24×＝46，
答：隔离区面积最大值为46m2．
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
【分析】（1）连接OD，由∠BAC是直径所对的圆周角，可知∠BAC＝90°，再由AD是∠BAC的平分线，可得∠BAD＝45°，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，可得∠BOD＝90°，再由切线DP⊥OD，可证DP∥BC；
（2）由（1）DP∥BC，得∠ACB＝∠P，再由同弧所对圆周角相等，得∠ACB＝∠ADB，进而得到∠P＝∠ADB，又由∠ODC＝45°，∠CDP＝45°，即可证明△ABD∽△DCP；
（3）由已知可求BC＝13cm，在Rt△COD中，CD＝，在Rt△BOD中，BD＝，再由△ABD∽△DCP，可得＝，即可求CP＝．
【解答】解：（1）连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴DO⊥DP，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴DP∥BC；
（2）∵DP∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，
∴BC＝13cm，
在Rt△COD中，CD＝，
在Rt△BOD中，BD＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴＝，
∴＝，
∴CP＝．
25．（12分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；
（3）代入x＝10求出y值，进而可得出点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上，将与1.8比较后即可得出顶部F不会碰到水柱．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y＝﹣×（10﹣5）2+6＝，
∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．
又∵≈1.83＞1.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）如图1，点D为AC上一点，DE∥BC交AB边于点E，若＝，求AD及DE的长；
（2）如图2，折叠△ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FH∥AC．
①求证：四边形AGHF是菱形；
②求菱形的边长；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得△CPH∽△DPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由△ADE∽△ABC，可求相似比为，即可求AD，DE的长；
（2）①根据折叠的性质和平行线的性质，证明AG＝AF＝FH＝HG，即可求解；
②由△FBH∽△ABC，可得BH：FH：BF＝3：4：5，设BH＝3a，则FH＝AF＝4a，BF＝5a，求得，在求FH即可；
（3）由△CPH∽△DPE，可求BH，CH，再由，即可求．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AD＝2，；
（2）①由翻折不变性可知：
AF＝FH，AG＝GH，
∠AFG＝∠GFH，
∵FH∥AC，
∴∠AGF＝∠GFH，
∴∠AGF＝∠AFG，
∴AG＝AF，
∴AG＝AF＝FH＝HG，
∴四边形AGHF是菱形；
②∵FH∥AC，
∴△FBH∽△ABC，
∴，
又∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BH：FH：BF＝3：4：5，
∴设BH＝3a，则FH＝AF＝4a，BF＝5a，
∴4 a+5a＝10，
∴，
∴FH＝，
即菱形的边长为；
（3）在点P使得△CPH∽△DPE，理由如下：
∵△CPH∽△DPE，
∴，
∵BH＝，
∴CH＝，
∴，
∴．
27．（14分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D为OC的中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点E为直线BC上方抛物线上一点，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，EH与BC、BD分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段EF的长度；
②若EF＝FG，求此时点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使∠CPB＝90°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用交点式可直接求得二次函数解析式；
（2）①先求出直线BC的表达式，设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），可表达点F的坐标，上减下可表达EF的长；
②先求出直线BD的表达式，可表达点G的坐标，进而表达线段FG的长，利用等式建立方程，求解即可；
（3）先得出抛物线的对称轴为直线x＝1，取BC的中点为M，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，MB＝MP，由此建立方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）两点，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3．
（2）①由题意知：C（0，3），B（3，0），
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
∵E（m，﹣m2+2m+3），
∴F（m，﹣m+3），
∴EF＝﹣m2+3m．
②∵D为OC的中点，
∵C（0，3），
∴D（0，，
又∵B（3，0），
设BD的表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴，
∴G（m，，
FG＝，
∵EF＝FG，
∴，
∴m1＝3（舍去），，
∴E（，）．
（3）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴为：直线x＝1，
设P（1，a），
∵∠CPB＝90°，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC的中点M（，），
则MB＝MP，
∴，
∴a2﹣3a﹣2＝0，
∴，，
∴，．
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