江西省吉安市2020-2021学年高二下学期期末考试文科数学试题（含答案）

吉安市高二下学期期末教学质量检测2021.6

数学(文科)试题

(测试时间：120分钟 卷面总分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后､将答题卡交回.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.不等式的解集为（    ）

A.    B.

C.或．    D.或

2.已知复数满足，则（    ）

A.1    B.    C.2    D.

3.用反证法证明“若函数在区间上是减函数，那么方程在区间上至多有一个实数根(不考虑重根)”的假设是（    ）

.方程在区间上至少有一个实数根

B.方程在区间上至多有两个实数根

C.方程在区间上至少有两个实数根

D.方程在区间上没有实数根

4.在极坐标系下，方程表示的是（    ）

.平行于轴的直线    B.平行于轴的直线

C.不平行于坐标轴的直线    D.圆

5.若是方程的根，则的值为（    ）

A.    B.    C.    D.60
6.“指数函数是增函数(大前提)，而是指数函数(小前提)，是增函数”.上面推理的错误是（    ）

A.大前提错导致结论错    B.小前提错导致结论错

C.推理形式错导致结论错    D.大前提和小前提都错导致结论错

7.曲线的参数方程为为参数，为常数，则曲线表示的曲线是（    ）

A.直线    B.圆    C.椭圆    D.双曲线

8.若，则下列不等式成立的是（    ）

A.    B.

C.    D.

9.在平面直角坐标系中，经讨伸缩变换后，因变成曲线（    ）

A.    B.

C.    D.

10.已知，若不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A.    B.

C.    D.

11.设公差不为0的等差数列的前项和为，则有成等差数列.类比上述性质，若公比不为1的等比数列的前项积为，则有（    ）

A.成等比数列

B.成等比数列

C.成等比数列

D.成等比数列

12.分形理论是一门新的学科，其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当时，该黑色三角形内共去掉小三角形的个数为（    ）

A.40    B.81    C.121    D.364

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.__________.

14.若函数的图象关于对称，则的值为__________.

15.曲线的参数方程为为参数，则曲线的普通方程为__________.

16.观察下列三角形数表，设第行的第二个数为，则__________.

三､解答题：共70分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答､第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(本小题满分12分)

实数取何值时，复数.

（1）为纯虚数；

（2）在复平面内表示的点位于第二象限；

（3）在复平面内表示的点在直线上.

18.(本小题满分12分)

已知三角形的三边长分别为，内切圆半径为，面积为，则对于四面体的四个面的面积分别为，内切球半径为，体积为.

（1）通过类比，你能得出怎样的结论？

（2）证明你得到的结论.

19.(本小题满分12分)

某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数.

①；

②；

③；

④

（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

20.(本小题满分12分)

已知数列的前项和为.

（1）求出；

（2）猜想前项和，并证明.

21.(本小题满分12分)

已知证明.(请用两种不同的方法证明，其中必须有分析法)

(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）设射线与直线交于点，点在曲线上，且，求.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围.

吉安市高二下学期期末教学质量检测2021.6

数学(文科)试题参考答案

1.【答案】B

【解析】，等价于，

即.

故选.

2.【答案】D

【解析】

故选D.

3.【答案】C

【解析】“至多有一个”的否定是“至少有两个”，

故选C

4.【答案】B

【解析】方程，即，表示平行于轴的直线.故选B.

5.【答案】A

【解析】是的根，

也是的根，则

即.

故选A.

6.【答案】A

【解析】当时，指数函数是增函数，当时，

指数函数是减函数，大前提错.故选A.

7.【答案】A

【解析】为参数，为常数，消去参数，得

不同时为方程表示一条直线.故

选A.

8.【答案】D

【解析】

，由于不知道是正数还是负数，不能确定其正负号.

故选D.

9.【答案】C

【解析】依题意，将代入圆方程，得

故选.

10.【答案】B

【解析】恒成立，等价于

又.

故选B.

11.【答案】D

【解析】等差数列的前n项和可以类比到等比数列的前n项积，故选D.

12.【答案】C

【解析】由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加时，时，时，

时，时，

.故选C.

13.【答案】

【解析】

14.【答案】

【解析】函数的图象的对称轴为，

由.

15.【答案】

【解析】消去，得.

16.【答案】

【解析】

17.【解析】（1）复数为纯虚数，

则解得

故当时，复数为纯虚数.

（2）在复平面内表示的点位于第二象限，

则解得.

故当时，复平面内表示的点位于第二象限.

（3）在复平面内表示的点在直线上，

则，

解得，或10

故当，或时，

在复平面内表示的点位于直线上.

18.【解析】（1）结论：

（2）证明：设四面体内切球的球心为，连接，

则

19.【解析】（1）选择③，计算如下：

.

（2）三角恒等式.

证明

20.【解析】（1）

（2）猜想前项和，

证明：

21.【解析】证法1(分析法)：

，要证，

只要证，

即证.

，只要证.，当且仅当1时取等号.故原不等式成立.

证法2

，

，

当且仅当，即时取等号.

证法3

，当且仅当时取等号；

，当且仅当时取等号；

，

当且仅当时取等号.

22.【解析】

（1）曲线的普通方程，

极坐标方程为.

直线的直角坐标方程为.

（2）由得

射线的极坐标方程为，即.

由得，

为等边三角形，

23.【解析】（1），即

①当时，不等式化为，无解；

③当时，不等式化为，解得

③当时，不等式化为，解得.综上，不等式的解集为.

（2）当时，.不等式在上恒成立，

等价于当时，，

即恒成立，

令，要使在上恒成立，

只要

故的取值范围为.