甘肃省武威第八中学2020-2021学年高二下学期期末考试理数试题（含答案）

这是一份甘肃省武威第八中学2020-2021学年高二下学期期末考试理数试题（含答案），共9页。

（满分150分 考试时间：120分钟）
第I卷（选择题）
一、单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题有且只有一个选项是正确的，请把答案涂在答题卡上)
1．已知,则（ ）
A. B. C. D.
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
3．若随机变量，则的值为（ ）
A. 2 B. 5 C. 3 D. 4
4．两个变量与的回归模型中，分别选择了个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A. 模型的相关指数为 B. 模型的相关指数为
C. 模型的相关指数为 D. 模型的相关指数为
5．已知随机变量的分布列如下（其中为常数）：
的值是（ ）
A. B. C. D.
6．现有不同的红球7个，不同的白球5个．若从中任取两个不同颜色的球，则不同的取法有（ ）
A．35种B．12种C．49种D．25种
7．在新高考改革中,一名高一学生在确定选修物理的情况下,想从政治,地理,生物,化学中再选两科学习,则所选两科中一定有地理的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知随机变量服从正态分布，且＝，则＝（ ）
A. B. C. D.
9．8名学生中有名女生，若从中抽取名作为学生代表，恰好抽到2名女的概率为（ ）
A. B. C. D.
10．在极坐标系中，点到直线的距离为（ ）
A．2B．1C．D．
11．从一口袋中有放回地每次摸出个球，摸出一个白球的概率为，摸出一个黑球的概率为，若摸球次，则恰好有次摸出白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
12．已知定义在上的函数的图象如图，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）
13．已知,则
14．已知直线参数方程：，试写出它的直角坐标方程：
15．已知函数，它的单调减区间为__ _____．
16．下列命题正确的是
（1）在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小；
（2）已知，当不变时，越大，的正态密度曲线越矮胖；
（3）函数的极值点是；
（4）曲线经过变换后，得到的新曲线的方程为
三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要分文字说明、演算步骤或证明过程，请把答案填在答题卡上）
17．（本小题10分）
已知的展开式中，第四项为常数项.
（1）求；
（2）求含的项的二项式系数；
（3）求展开式中所有项的系数和解：
18．（本小题12分）
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了次试验，得到数据如下：
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求关于的线性回归方程；
参考公式及数据：回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：
，.
19．（本小题12分）
由商务部和北京市人民政府共同举办的年中国国际服务贸易交易会（简称服贸会）于月日开幕，主题为“全球服务，互惠共享”．某高校为了调查学生对服贸会的了解情况，决定随机抽取名学生进行采访．根据统计结果，采访的学生中男女比例为，已知抽取的男生中有名不了解服贸会，抽取的女生中有名了解服贸会．请你解答下面所提出的相关问题.
完成列联表，并回答“是否有的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”．
若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动．记抽取男生的人数为 ，求出的分布列及数学期望．附：，
20.（本小题12分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
21．（本小题12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
22．（本小题12分）
在直角坐标系中，圆的圆心为，半径为1．
（1）写出圆的一个参数方程;
（2）过点作圆的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
2020-2021学年第二学期期末考试试卷
高 二 数 学 （理）
参考答案
一、单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题有且只有一个选项是正确的，请把答案涂在答题卡上)
(A)1.已知,则（ C ）
A. B. C. D.
(A)2.曲线y=2x2在点−1,2处的切线方程为（ A ）
A.4x+y+2=0B.2x−y+3=0
C.2x−y+1=0 D.x+4y+2=0
(A)3. 若随机变量X~B6,13，则EX的值为（ A ）
A.2 B.5 C.3 D.4
(A)4.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（ A ）
A.模型1的相关指数R2为0.98 B.模型2的相关指数R2为0.80
C.模型3的相关指数R2为0.50 D.模型4的相关指数R2为0.25
(A)5.已知随机变量X的分布列如下（其中m为常数）：
m的值是（ C ）
A.m=0.1 B.m=0.4 C.m=0.2 D. m=0
(A)6．现有不同的红球7个，不同的白球5个．若从中任取两个不同颜色的球，则不同的取法有（ A ）
A．35种B．12种
C．49种D．25种
(A)7.在新高考改革中,一名高一学生在确定选修物理的情况下,想从政治,地理,生物,化学中再选两科学习,则所选两科中一定有地理的概率是（ C ）
A．B．C．D．
(A)8.已知随机变量X服从正态分布N(2, σ2)，且P(0≤X≤2)＝0.2，则P(X>4)＝（ C ）
A.0.6B.0.2C.0.3
(A)9.8名学生中有3名女生，若从中抽取2名作为学生代表，恰好抽到2名女的概率为( B )
A.318 B. 328 C. 528 D. 518
(A)10．在极坐标系中，点到直线的距离为（ A ）
A．2B．1C．D．
(B)11．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为( C )
(B)12.已知定义在R上的函数f(x)的图象如图，则x⋅f'x>0的解集为（ D ）

A (0, 1)∪(2, +∞) B.(1, 2)C.(−∞, 1)D.(−∞, 0)∪(1, 2)
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）
(A)13. 已知,则 2
(A)14. 已知直线参数方程：x=1+12ty=−12−t(t为参数），试写出它的直角坐标方程： 2x+y−32=0
(A)15.已知函数f(x)=x3−3x+1，它的单调减区间为__ −1,1 _____．
(B)16.下列命题正确的是 124
（1）在独立性检验中，随机变量K2的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小；
（2）已知X∼N(μ, σ2)，当μ不变时，σ越大，X的正态密度曲线越矮胖；
（3）函数fx=x3的极值点是x=0；
（4）曲线x2+y2=1经过φ:x'=3xy'=4y变换后，得到的新曲线的方程为x29+y216=1.
三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要分文字说明、演算步骤或证明过程，请把答案填在答题卡上）
（A）17. （10分）
已知(x−1x)n的展开式中，第四项为常数项.
（1）求n；
（2）求含x2的项的二项式系数；
（3）求展开式中所有项的系数和解：
（1）∵ T4=Cn3(x)n−3(1x)3==Cn3(x)n−6
由已知n−6=0，所以n=6；
（2）∵ Tk+1=C6k(x)6−k(1x)k=C6k(x)6−2k
令6−2k=2，解得k=2，所以含x2的项的二项式系数为C62=15
（3）令x=1，得展开式中所有项的系数和为(1−1)6=0
(A)18.（本小题12分）
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程y=bx+a；
参考公式及数据：回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：
，.
解：（1）散点图如图所示：
（2）由题中表格数据得x¯=3.5，y¯=3.5，
i=14(xi−x¯)(yi−y¯)=3.5，
i=14(xi−x¯)2=5．
∴ b=i=14(xi−x¯)24=0.7，a=y¯−bx¯=1.05，
∴ 线性回归方程为y=0.7x+1.05
(A)19.(本小题12分)
由商务部和北京市人民政府共同举办的2020年中国国际服务贸易交易会（简称服贸会）于9月4日开幕，主题为“全球服务，互惠共享”．某高校为了调查学生对服贸会的了解情况，决定随机抽取100名学生进行采访．根据统计结果，采访的学生中男女比例为3:2，已知抽取的男生中有10名不了解服贸会，抽取的女生中有25名了解服贸会．请你解答下面所提出的相关问题.
(1)完成2×2列联表，并回答“是否有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”．
(2)若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动．记抽取男生的人数为ξ ，求出ξ的分布列及数学期望．附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d
解：(1)2×2列表如下：
k=100×(50×15−25×10)260×40×75×25≈5.556<6.635，
∴ 没有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关．
(2)根据题意，抽取的5人中男生有3人，女生有2人．
从这5人中随机抽取3人，
则男生人数上的所有可能取值为1，2，3，
则Pξ=1=C31C22C53=310，Pξ=2=C32C21C53=610，Pξ=3=C33C53=110．
∴ Eξ=1×310+2×610+3×110=95．
(B)20.（本小题12分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【解析】（1）由题意X的取值依次为0,20,100,
,
,
所以X的分布列为
（2）由（1）得先回答A类问题的期望
设先回答B类问题累计得分为Y,则,
,故应选择先回答B类问题.
(C)21. （本小题12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
切线方程为：,
与联立得，
化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为
解得,
，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
(A)22.（本小题12分）
在直角坐标系中，圆的圆心为，半径为1．
（1）写出圆的一个参数方程;
（2）过点作圆的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【详解】（1）由题意，圆的普通方程为，
所以圆的参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，
解得，所以切线方程或，
将，代入化简得
或
零件的个数（个）
加工的时间（小时）
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.2
m
0.3
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
100
pK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
了解情况性别
了解
不了解
合计
男生
50
10
60
女生
25
15
40
合计
75
25
100
ξ
1
2
3
P
310
610
110
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48