高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第2章　函数、导数及其应用2.7(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第2章　函数、导数及其应用2.7(教师版)，共10页。

一、选择题
1．为了得到函数y＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x的图象，可以把函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x的图象( )
A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
答案 D
解析 y＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－1，故它的图象是把函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.
2．函数f(x)＝eq \f(ln |x－1|,|1－x|)的图象大致为( )
答案 D
解析 函数f(x)＝eq \f(ln |x－1|,|1－x|)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x＝1对称，排除B、C；取特殊值，当x＝eq \f(1,2)时，f(x)＝2ln eq \f(1,2)<0，故选D.
3．函数f(x)＝ln (x2＋1)的图象大致是( )
答案 A
解析 依题意，得f(－x)＝ln (x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C；因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A.
4．函数f(x)＝eq \f(A,sinωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则f(π)＝( )
A．4 B．2eq \r(3) C．2 D.eq \r(3)
答案 A
解析 由函数的图象可得A＝2，根据半个周期eq \f(T,2)＝eq \f(1,2)·eq \f(2π,ω)＝eq \f(5π,12)＋eq \f(π,12)，解得ω＝2.
由图象可得当x＝－eq \f(π,12)时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＋φ))＝0.
再由|φ|故函数f(x)＝eq \f(2,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))))，∴f(π)＝4，故选A.
5．已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0,1]
答案 D
解析 作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：
由图可知k∈(0,1]，故选D.
6．现有四个函数①y＝xsinx，②y＝xcsx，③y＝x|csx|，④y＝x2x的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )
A．①④②③ B．①④③②
C．④①②③ D．③④②①
答案 A
解析 ①y＝xsinx在定义域上是偶函数，其图象关于y轴对称；②y＝xcsx在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y＝x|csx|在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x>0时，其函数值y≥0；④y＝x2x在定义域上为非奇非偶函数，且当x>0时，其函数值y>0，且当x<0时，其函数值y<0.故选A.
7．)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))csx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
答案 D
解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．
函数y＝x－eq \f(1,x)是奇函数，y＝csx为偶函数，所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))csx为奇函数，所以排除A、B；取x＝π，则f(π)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(1,π)))csπ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(1,π)))<0，故排除C.故选D.
解法二：(特值排除法)f(π)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(1,π)))csπ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(1,π)))<0，故可排除A、C；而f(－π)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π－\f(1,－π)))·cs(－π)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(1,π)))>0，故排除B.故选D.
8．已知函数f(x)＝xcsx，f′(x)是f(x)的导数，同一坐标系中，f(x)和f′(x)的大致图象是( )
答案 C
解析 由于f(x)＝xcsx，
∴f′(x)＝csx－xsinx，
当x＝0时，f(0)＝0，f′(0)＝1，排除B、D；
当f′(x)>0时，f(x)是增函数，曲线是上升的，f′(x)<0时，f(x)是减函数，曲线是下降的，判断出C是正确的，排除A.故选C.
9．函数y＝eq \f(1,1－x)的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y＝eq \f(1,1－x)与y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象，y＝eq \f(－1,x－1)的对称中心是(1,0)，也是y＝2sinπx(－2≤x≤4)的中心，当－2≤x≤4它们的图象在x＝1的左侧有4个交点，则x＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，所以选D.
10．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－1，x>0，,－ln －x，x<0))有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(0,1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．(0，＋∞)
答案 B
解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y＝f(x)的图象上，且关于坐标原点对称．
可作出函数y＝－ln (－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ln x(x>0)的图象，使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可．
当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，
又y＝ln x的导数为y′＝eq \f(1,x)，
则km－1＝ln m，k＝eq \f(1,m)，解得m＝1，k＝1，
可得函数y＝ln x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.
二、填空题
11．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg x|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
答案 5
解析 由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq \f(1,2)或f(x)＝1，
作出函数y＝f(x)的图象．
由图象知y＝eq \f(1,2)与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．
因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．
12．设函数f(x)，g(x)的定义域分别为F，G，且FG.若对任意的x∈F，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x(x≤0)，若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的解析式为________．
答案 g(x)＝2|x|
解析 画出函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x(x≤0)的图象关于y轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g(x)的图象，由图可知：函数g(x)的解析式为g(x)＝2|x|.
13．已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x2－2x＋\f(1,2))).若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 先画出y＝x2－2x＋eq \f(1,2)在区间[0,3)上的图象，再将x轴下方的图象对称到x轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f(x)在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f(－3)＝f(0)＝f(3)＝0.5，f(－2)＝f(1)＝f(4)＝0.5.
函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y＝f(x)的图象与直线y＝a有10个不同的交点，由图象可得a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
14．设函数f(x)对任意实数x满足f(x)＝－f(x＋1)，且当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，若关于x的方程f(x)＝kx有3个不同的实数根，则k的取值范围是________．
答案 (5－2eq \r(6)，1)∪{－3＋2eq \r(2)}
解析 因f(x)＝－f(x＋1)，故f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，画出函数y＝f(x)，x∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f(x)＝－f(x＋1)及周期性，画出函数y＝f(x)的图象如图，易知仅当直线y＝kx位于l1与l2之间(不包括l1，l2)或与l3重合时满足题意，对y＝x(1－x)求导得y′＝1－2x，y′|x＝0＝1，∴l2的斜率为1.以下求l3的斜率：当1≤x≤2时，易得f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)[1－(x－1)]＝x2－3x＋2，令x2－3x＋2－kx＝0，得x2－(3＋k)x＋2＝0，令Δ＝(3＋k)2－8＝0，解得k＝－3±2eq \r(2)，由此易知l3的斜率为－3＋2eq \r(2).同理，由2≤x≤3时，f(x)＝－x2＋5x－6，可得l1的斜率为5－2eq \r(6).综上，5－2eq \r(6)三、解答题
15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．
解 (1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]．
(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.
16．已知f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
解 (1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，
∴f(x)＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≤1或x≥3，,－x2＋4x－3，1∴f(x)的图象如图所示．
(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．
(3)由f(x)的图象知，当0