高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第2章　函数、导数及其应用2.10(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第2章　函数、导数及其应用2.10(教师版)，共10页。

一、选择题
1．曲线y＝lg x在x＝1处的切线的斜率是( )
A.eq \f(1,ln 10) B．ln 10 C．ln e D.eq \f(1,ln e)
答案 A
解析 因为y′＝eq \f(1,x·ln 10)，所以y′|x＝1＝eq \f(1,ln 10)，即切线的斜率为
eq \f(1,ln 10).故选A.
2．如图，是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在(1,3)上f(x)是减函数
C．在(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝4时，f(x)取极大值
答案 C
解析 由于f′(x)≥0⇒函数f(x)单调递增；f′(x)≤0⇒函数f(x)单调递减，观察f′(x)的图象可知，
当x∈(－2,1)时，函数先递减，后递增，故A错误；
当x∈(1,3)时，函数先增后减，故B错误；
当x∈(4,5)时函数递增，故C正确；
由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误．故选C.
3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是( )
答案 B
解析 由图可得－1∴结合选项可知选项B符合．
4．若曲线f(x)＝acsx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 依题意得f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，则b＝0，又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.
5．若点P是函数y＝ex－e－x－3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤\f(1,2)))图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
答案 B
解析 由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2eq \r(ex·e－x)－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)，又∵tanα<0，所以α的最小值为eq \f(3π,4)，故选B.
6．若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝3csx B．f(x)＝x3＋x2
C．f(x)＝1＋sin2x D．f(x)＝ex＋x
答案 C
解析 A选项中，f′(x)＝－3sinx，其图象不关于y轴对称，排除A；B选项中，f′(x)＝3x2＋2x，其图象的对称轴为x＝－eq \f(1,3)，排除B；C选项中，f′(x)＝2cs2x，其图象关于y轴对称；D选项中，f′(x)＝ex＋1，其图象不关于y轴对称．故选C.
7．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0 C．2 D．4
答案 B
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率等于－eq \f(1,3)，
∴f′(3)＝－eq \f(1,3).∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，
所以g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.故选B.
8．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )
A．4 B．5 C.eq \f(25,4) D.eq \f(13,2)
答案 C
解析 ∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－eq \f(5,4)，∴所求面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(5,4)×10＝eq \f(25,4).故选C.
9．函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 C
解析 由导函数的图象和y＝f(x)的图象过原点，
设f(x)＝ax2＋bx，所以f′(x)＝2ax＋b，
由图得a>0，b>0，则－eq \f(b,2a)<0，eq \f(4ac－b2,4a)＝eq \f(－b2,4a)<0，
则函数f(x)＝ax2＋bx图象的顶点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(－b2,4a) ))在第三象限，故选C.
10．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是( )
A．1 B.eq \f(1,64) C．1或eq \f(1,64) D．1或－eq \f(1,64)
答案 C
解析 易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上．
(1)当O(0,0)是切点时，则k＝f′(0)＝2，直线l方程为y＝2x.
又直线l与曲线y＝x2＋a相切，∴x2－2x＋a＝0满足Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋
2x0，且k＝f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－6x0＋2，①
又k＝eq \f(y0,x0)＝xeq \\al(2,0)－3x0＋2，②联立①②解得x0＝eq \f(3,2)(x0＝0舍)，
即k＝－eq \f(1,4)，则直线l方程为y＝－eq \f(1,4)x.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,4)x，,y＝x2＋a，))联立得x2＋eq \f(1,4)x＋a＝0，
由Δ＝eq \f(1,16)－4a＝0，得a＝eq \f(1,64)，综上，a＝1或a＝eq \f(1,64)，故选C.
二、填空题
11．已知函数f(x)＝sinx－csx，且f′(x)＝2f(x)，则tan2x的值是________．
答案 －eq \f(3,4)
解析 求导得：f′(x)＝csx＋sinx，
∵f′(x)＝2f(x)，∴csx＋sinx＝2(sinx－csx)，即3csx＝sinx，
∴tanx＝3，则tan2x＝eq \f(2tanx,1－tan2x)＝eq \f(6,1－9)＝－eq \f(3,4).
12．设a∈R，函数f(x)＝ex＋eq \f(a,ex)的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2)，则切点的横坐标为
________．
答案 ln 2
解析 函数f(x)＝ex＋eq \f(a,ex)的导函数是f′(x)＝ex－eq \f(a,ex).又f′(x)是奇函数，所以f′(x)＝－f′(－x)，即ex－eq \f(a,ex)＝－(e－x－aex)，所以(e2x＋1)(1－a)＝0，解得a＝1，所以f′(x)＝ex－eq \f(1,ex).令ex－eq \f(1,ex)＝eq \f(3,2)，解得ex＝2或ex＝－eq \f(1,2)(舍去)，所以x＝ln 2.
13．函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)在R上的导函数f′(x)＞eq \f(1,2)，则不等式f(x)＜eq \f(x＋1,2)的解集为________．
答案 (－∞，1)
解析 据已知f′(x)＞eq \f(1,2)，可得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(fx－\f(1,2)x))′＝f′(x)－eq \f(1,2)＞0，即函数F(x)＝f(x)－eq \f(1,2)x在R上为单调递增函数，又由f(1)＝1可得F(1)＝eq \f(1,2)，故f(x)＜eq \f(1＋x,2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)x，化简得f(x)－eq \f(1,2)x＜eq \f(1,2)，即F(x)＜F(1)，由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞，1)．
14．若对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2csx的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．
答案 [－1,2]
解析 易知函数f(x)＝－ex－x的导数为f ′(x)＝－ex－1，设l1与曲线f(x)＝－ex－x的切点为(x1，f(x1))，则l1的斜率k1＝－ex1－1.易知函数g(x)＝ax＋2csx的导数为g′(x)＝a－2sinx，设l2与曲线g(x)＝ax＋2csx的切点为(x2，g(x2))，则l2的斜率k2＝a－2sinx2.由题设可知k1·k2＝－1，从而有(－ex1－1)(a－2sinx2)＝－1，∴a－2sinx2＝eq \f(1,ex1＋1)，故由题意知对任意实数x1，总存在x2使得上述等式成立，则函数y＝eq \f(1,ex＋1)的值域是y＝a－2sinx值域的子集，则(0,1)⊆[a－2，a＋2]，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≤0，,a＋2≥1，))∴－1≤a≤2.
三、解答题
15．设函数f(x)＝ax－eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点
(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq \f(7,4)x－3.
当x＝2时，y＝eq \f(1,2).又f′(x)＝a＋eq \f(b,x2)，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq \f(3,x).
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y′＝1＋eq \f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x－x0)，
即y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,x0)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x－x0)．
令x＝0得y＝－eq \f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(6,x0))).
切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(6,x0)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2x0))＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
16．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(3,2)x2＋2x＋5.
(1)求函数f(x)的图象在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)若曲线y＝f(x)与y＝2x＋m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(3,2)x2＋2x＋5，
∴f′(x)＝x2－3x＋2，易求得f′(3)＝2，f(3)＝eq \f(13,2).
∴f(x)的图象在点(3，f(3))处的切线方程是y－eq \f(13,2)＝ 2(x－3)，即4x－2y＋1＝0.
(2)令f(x)＝2x＋m，
即eq \f(1,3)x3－eq \f(3,2)x2＋2x＋5＝2x＋m，
得eq \f(1,3)x3－eq \f(3,2)x2＋5＝m，设g(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(3,2)x2＋5，
∵曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个不同的交点，
∴曲线y＝g(x)与直线y＝m有三个不同的交点，
易得g′(x)＝x2－3x，令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝3，
当x<0或x>3时，g′(x)>0，
当0∴g(x)在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(0,3)上单调递减
又g(0)＝5，g(3)＝eq \f(1,2)，即g(x)极大值＝5，
g(x)极小值＝eq \f(1,2)，
∴可画出如图所示的函数g(x) 的大致图象，
∴实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5)).