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高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第3章 三角函数、解三角形3.6(教师版)
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A级
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(13)，b＝3，A＝60°，则边c＝( )
A．1 B．2 C．4 D．6
答案 C
解析 a2＝c2＋b2－2cbcsA⇒13＝c2＋9－6ccs60°，
即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．故选C.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝eq \r(2)a，则( )
A．a>b
B．a
D．a与b的大小关系不能确定
答案 A
解析 据题意由余弦定理可得a2＋b2－2abcs120°＝c2＝(eq \r(2)a)2，化简整理得a2＝b2＋ab，变形得a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝ab>0，故有a－b>0，即a>b.故选A.
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，则eq \f(a,b)等于( )
A．2 B．3 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 A
解析 由2bsin2A＝asinB，得4bsinAcsA＝asinB，由正弦定理得4sinBsinAcsA＝sinAsinB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴csA＝eq \f(1,4)，由余弦定理得a2＝b2＋4b2－b2，∴a2＝4b2，∴eq \f(a,b)＝2.故选A.
4．在△ABC中，三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则eq \f(sinA－2sinB,sin2C)＝( )
A．1 B．2 C．－2 D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 不妨设a＝2，b＝3，c＝4，故csC＝eq \f(4＋9－16,2×2×3)＝－eq \f(1,4)，
故eq \f(sinA－2sinB,sin2C)＝eq \f(a－2b,2ccsC)＝eq \f(2－6,8×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4))))＝2，故选B.
5．在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2＋c2＝a2＋bc.若sinBsinC＝eq \f(3,4)，△ABC的形状( )
A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
答案 A
解析 在△ABC中，由余弦定理，可得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
由已知，得b2＋c2－a2＝bc，∴csA＝eq \f(1,2).
∵0
即sinBeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,3)csB－cs\f(2π,3)sinB))＝eq \f(3,4).eq \f(\r(3),2)sinBcsB＋eq \f(1,2)sin2B＝eq \f(3,4)，
eq \f(\r(3),4)sin2B＋eq \f(1,4)(1－cs2B)＝eq \f(3,4)，eq \f(\r(3),2)sin2B－eq \f(1,2)cs2B＝1，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B－\f(π,6)))＝1.又∵－eq \f(π,6)<2B－eq \f(π,6)
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是( )
A．3 B.eq \f(9\r(3),2) C.eq \f(3\r(3),2) D．3eq \r(3)
答案 C
解析 c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝eq \f(π,3)，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②
由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，故选C.
7．设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为( )
A．(eq \r(2)，eq \r(3)) B．(1，eq \r(3)) C．(eq \r(2)，2) D．(0,2)
答案 A
解析 由eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(b,sin2A)，得b＝2csA.
eq \f(π,2)
A．5 B.eq \r(5) C．2 D．1
答案 B
解析 S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BCsinB＝eq \f(1,2)×1×eq \r(2)sinB＝eq \f(1,2)，∴sinB＝eq \f(\r(2),2)，
∴B＝45°或135°.若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，
∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcsB
＝1＋2－2×1×eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝5，∴AC＝eq \r(5).故选B.
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若直线bx＋ycsA＋csB＝0与ax＋ycsB＋csA＝0平行，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰或者直角三角形
答案 C
解析 由两直线平行可得bcsB－acsA＝0，由正弦定理可知sinBcsB－sinAcsA＝0，即eq \f(1,2)sin2A＝eq \f(1,2)sin2B，又A、B∈(0，π)，且A＋B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).若A＝B，则a＝b，csA＝csB，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A＋B＝eq \f(π,2)，则△ABC是直角三角形，故选C.
10．锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2bsinC，则tanA＋tanB＋tanC的最小值是( )
A．4 B．3eq \r(3) C．8 D．6eq \r(3)
答案 C
解析 a＝2bsinC⇒sinA＝2sinBsinC⇒sin(B＋C)＝2sinBsinC⇒tanB＋tanC＝2tanBtanC，又根据三角形中的三角恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC(注：tanA＝tan(π－B－C)＝－tan(B＋C)＝－eq \f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)，即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC)⇒tanBtanC＝eq \f(tanA,tanA－2)，∴tanAtanBtanC＝tanA·eq \f(tanA,tanA－2)＝eq \f(m2,m－2)(tanA＝m)，令m－2＝t⇒eq \f(t＋22,t)＝t＋eq \f(4,t)＋4≥8，当且仅当t＝eq \f(4,t)，即t＝2，tanA＝4时，取等号．故选C.
二、填空题
11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，csC＝－eq \f(1,4)，3sinA＝2sinB，则c＝________.
答案 4
解析 由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝eq \f(3,2)a＝3.
由余弦定理csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，得－eq \f(1,4)＝eq \f(22＋32－c2,2×2×3)，解得c＝4.
12．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则csB＝________.
答案 eq \f(3,4)
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∴2sinB＝sinA＋sinC.
∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC.
∴2sinB＝csC＋sinC.
∴2sinB＝eq \r(2)sin(C＋45°)．①
∵A＋B＋C＝180°且A－C＝90°，∴C＝45°－eq \f(B,2)，代入①式中，
2sinB＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(B,2))).∴2sinB＝eq \r(2)cseq \f(B,2).
∴4sineq \f(B,2)cseq \f(B,2)＝eq \r(2)cseq \f(B,2).∴sineq \f(B,2)＝eq \f(\r(2),4).
∴csB＝1－2sin2eq \f(B,2)＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
13．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为________．
答案 8
解析 由题意得4×eq \f(1,2)bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc.
又a2＝b2＋c2－2bccsA，代入上式得2bcsinA＝－2bccsA＋2bc，
即sinA＋csA＝1，eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4)))＝1，
又0
当且仅当b＝c时取“＝”，∴bc≤16，
∴S的最大值为8.
14．已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cs∠BDC＝________.
答案 eq \f(\r(15),2) eq \f(\r(10),4)
解析 依题意作出图形，如图所示，
则sin∠DBC＝sin∠ABC.由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，
则cs∠ABC＝eq \f(1,4)，sin∠ABC＝eq \f(\r(15),4).
所以S△BDC＝eq \f(1,2)BC·BD·sin∠DBC＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(15),4)＝eq \f(\r(15),2).
因为cs∠DBC＝－cs∠ABC＝－eq \f(1,4)＝eq \f(BD2＋BC2－CD2,2BD·BC)
＝eq \f(8－CD2,8)，所以CD＝eq \r(10).
由余弦定理，得cs∠BDC＝eq \f(4＋10－4,2×2×\r(10))＝eq \f(\r(10),4).
B级
三、解答题
15.已知△ABC的外接圆直径为eq \f(4\r(3),3)，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°.
(1)求eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)的值；
(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．
解 (1)因为eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝2R＝eq \f(4\r(3),3)，
所以a＝eq \f(4\r(3),3)sinA，b＝eq \f(4\r(3),3)sinB，c＝eq \f(4\r(3),3)sinC.
所以eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq \f(\f(4\r(3),3)sinA＋sinB＋sinC,sinA＋sinB＋sinC)＝eq \f(4\r(3),3).
(2)由c＝eq \f(4\r(3),3)sinC，得c＝eq \f(4\r(3),3)×eq \f(\r(3),2)＝2，
c2＝a2＋b2－2abcsC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，又a＋b＝ab，
所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
16．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0.
(1)求eq \f(a,b)的值；
(2)若csC＝eq \f(3,4)，求sinB的值．
解 (1)因为sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0，sinB≠0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sinA,sinB)))2＋eq \f(sinA,sinB)－6＝0，得eq \f(sinA,sinB)＝2或eq \f(sinA,sinB)＝－3(舍去)．
由正弦定理得eq \f(a,b)＝eq \f(sinA,sinB)＝2.
(2)由余弦定理得csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(3,4).①
将eq \f(a,b)＝2，即a＝2b代入①，得5b2－c2＝3b2，得c＝eq \r(2)b.
由余弦定理csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，得
csB＝eq \f(2b2＋\r(2)b2－b2,2×2b×\r(2)b)＝eq \f(5\r(2),8)，则sinB＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(\r(14),8).
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.满足2acsC＋ccsA＝b.
(1)求角C的大小；
(2)求sinAcsB＋sinB的最大值．
解 (1)由正弦定理及2acsC＋ccsA＝b，
得2sinAcsC＋sinCcsA＝sinB.
在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴A＋C＝π－B，即sin(A＋C)＝sinB.
∴2sinAcsC＋sinCcsA＝sin(A＋C)＋sinAcsC
＝sinB＋sinAcsC＝sinB，∴sinAcsC＝0，
又∵0
∴C＝eq \f(π,2).
(2)由(1)得C＝eq \f(π,2)，∴A＋B＝eq \f(π,2)，即A＝eq \f(π,2)－B.
∵sinAcsB＋sinB＝cs2B＋sinB＝－sin2B＋sinB＋1
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinB－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4).∵0
18．已知等腰三角形ABC满足AB＝AC，eq \r(3)BC＝2AB，点D为BC边上一点且AD＝BD.
(1)求tan∠ADB的值；
(2)若CD＝eq \f(\r(3),3)，求S△ABC.
解 (1)如图，设AB＝AC＝a，AD＝BD＝b，由eq \r(3)BC＝2AB得，BC＝eq \f(2\r(3),3)a.
在△ABC中，由余弦定理得，
cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3)a,3)))2－a2,2a·\f(2\r(3),3)a)＝eq \f(\r(3),3)，
∴∠ABC是锐角，则sin∠ABC＝eq \r(1－cs2∠ABC)＝eq \f(\r(6),3).
在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcs∠ABD，
得b2＝a2＋b2－eq \f(2\r(3),3)ab，解得a＝eq \f(2\r(3),3)b.
由正弦定理eq \f(AD,sin∠ABD)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，得eq \f(b,\f(\r(6),3))＝eq \f(a,sin∠ADB)，
解得sin∠ADB＝eq \f(2\r(2),3)，又2b2>a2，∴∠ADB为锐角，
∴cs∠ADB＝eq \r(1－sin2∠ADB)＝eq \f(1,3)，tan∠ADB＝2eq \r(2).
(2)由已知可得eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(\r(3),3)))＝2a，①
由(1)可知a＝eq \f(2\r(3),3)b，②
联立①②得a＝2，b＝eq \r(3).
过A作AH⊥BC于H，则H为BC的中点，易求得DH＝eq \f(\r(3),3).
则tan∠ADB＝eq \f(AH,\f(\r(3),3))＝2eq \r(2).∴AH＝eq \f(2\r(6),3)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(3),3)×eq \f(2\r(6),3)＝eq \f(4\r(2),3).
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