高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第4章　平面向量 4.1(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第4章　平面向量 4.1(教师版)，共12页。

一、选择题
1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \(OP,\s\up16(→))＋eq \(OQ,\s\up16(→))＝( )
A.eq \(OH,\s\up16(→)) B.eq \(OG,\s\up16(→)) C.eq \(EO,\s\up16(→)) D.eq \(FO,\s\up16(→))
答案 D
解析 在方格纸上作出eq \(OP,\s\up16(→))＋eq \(OQ,\s\up16(→))，如图所示，
则容易看出eq \(OP,\s\up16(→))＋eq \(OQ,\s\up16(→))＝eq \(FO,\s\up16(→))，故选D.
2．已知A，B，C三点不共线，且点O满足eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \(OC,\s\up16(→))＝0，则下列结论正确的是( )
A.eq \(OA,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up16(→)) B.eq \(OA,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up16(→))
C.eq \(OA,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))－eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up16(→)) D.eq \(OA,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up16(→))
答案 D
解析 ∵eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \(OC,\s\up16(→))＝0，∴O为△ABC的重心，
∴eq \(OA,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→)))
＝－eq \f(1,3)(2eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→)))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up16(→)).故选D.
3．在△ABC中，eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(NC,\s\up16(→))，P是直线BN上的一点，且满足eq \(AP,\s\up16(→))＝meq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up16(→))，则实数m的值为( )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
答案 B
解析 根据题意设eq \(BP,\s\up16(→))＝neq \(BN,\s\up16(→))(n∈R)，则eq \(AP,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BP,\s\up16(→))
＝eq \(AB,\s\up16(→))＋neq \(BN,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋n(eq \(AN,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→)))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)\(AC,\s\up16(→))－\(AB,\s\up16(→))))
＝(1－n)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(n,5)eq \(AC,\s\up16(→))，又eq \(AP,\s\up16(→))＝meq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up16(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－n＝m，,\f(n,5)＝\f(2,5)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝2，,m＝－1，))故选B.
4．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq \(OC,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋μeq \(OB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1，eq \r(2)] D．(－1,0)
答案 B
解析 设eq \(OC,\s\up16(→))＝meq \(OD,\s\up16(→))，则m>1，因为eq \(OC,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋μeq \(OB,\s\up16(→))，
所以meq \(OD,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋μeq \(OB,\s\up16(→))，即eq \(OD,\s\up16(→))＝eq \f(λ,m)eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(μ,m)eq \(OB,\s\up16(→))，
又知A，B，D三点共线，所以eq \f(λ,m)＋eq \f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1，故选B.
5．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \f(3\(OA,\s\up16(→))－\(OB,\s\up16(→)),2)，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
答案 B
解析 eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \f(3\(OA,\s\up16(→))－\(OB,\s\up16(→)),2)＝eq \f(3,2)eq \(OA,\s\up16(→))－eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up16(→))－eq \(OB,\s\up16(→)))
＝eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))，即eq \(OP,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝eq \(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))，
所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
6．已知向量i，j不共线，且eq \(AB,\s\up16(→))＝i＋mj，eq \(AD,\s\up16(→))＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满足的条件是( )
A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1
C．mn＝1 D．mn＝－1
答案 C
解析 因为A，B，D三点共线，所以eq \(AB,\s\up16(→))∥eq \(AD,\s\up16(→))，存在非零实数λ，
使得eq \(AB,\s\up16(→))＝λeq \(AD,\s\up16(→))，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，
又因为i与j不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λn＝0，,m－λ＝0，))则mn＝1，故选C.
7．下列命题中是真命题的是( )
①对任意两向量a，b，均有：|a|－|b|<|a|＋|b|；
②对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量；
③在△ABC中，eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))＝0；
④在四边形ABCD中，(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→)))－(eq \(CD,\s\up16(→))＋eq \(DA,\s\up16(→)))＝0；
⑤eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→)).
A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．②③
答案 D
解析 ①假命题．∵当b＝0时，|a|－|b|＝|a|＋|b|.∴①不成立．
②真命题．∵(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0，
∴a－b与b－a是相反向量．②成立．
③真命题．∵eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))＝0，∴③成立．
④假命题．∵eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))，eq \(CD,\s\up16(→))＋eq \(DA,\s\up16(→))＝eq \(CA,\s\up16(→))，
∴(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→)))－(eq \(CD,\s\up16(→))＋eq \(DA,\s\up16(→)))＝eq \(AC,\s\up16(→))－eq \(CA,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→))≠0.
∴该命题不成立．
⑤假命题．∵eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))＝eq \(CB,\s\up16(→))≠eq \(BC,\s\up16(→))，
∴该命题不成立．故选D.
8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \(BC,\s\up16(→))＝a，eq \(CA,\s\up16(→))＝b，给出下列命题：
①eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a－b；②eq \(BE,\s\up16(→))＝a＋eq \f(1,2)b；③eq \(CF,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(BE,\s\up16(→))＋eq \(CF,\s\up16(→))＝0.其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
答案 D
解析 由eq \(BC,\s\up16(→))＝a，eq \(CA,\s\up16(→))＝b，则eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a－b.eq \(BE,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up16(→))＝a＋eq \f(1,2)b，eq \(CF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
所以eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(BE,\s\up16(→))＋eq \(CF,\s\up16(→))＝－b－eq \f(1,2)a＋a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a＝0，所以命题②③④正确．故选D.
9．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋3eq \(AC,\s\up16(→))，则△ABM与△ABC的面积比为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 如图，连接AM，BM，延长AC到D使AD＝3AC，延长AM到E使AE＝5AM，因为5eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋3eq \(AC,\s\up16(→))，所以eq \(AB,\s\up16(→))＝5eq \(AM,\s\up16(→))－3eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(AE,\s\up16(→))－eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(DE,\s\up16(→)).
连接BE，则四边形ABED是平行四边形(向量AB和向量DE平行且模相等)．
由于eq \(AD,\s\up16(→))＝3eq \(AC,\s\up16(→))，所以S△ABC＝eq \f(1,3)S△ABD.
因为eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,5)eq \(AE,\s\up16(→))，所以S△AMB＝eq \f(1,5)S△ABE，
在平行四边形ABED中，S△ABD＝S△ABE＝eq \f(1,2)S▱ABED，
故eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(\f(1,5)S△ABE,\f(1,3)S△ABD)＝eq \f(3,5).故选C.
10．若O为△ABC所在平面内一点，且eq \(OA,\s\up16(→))＋2eq \(OB,\s\up16(→))＋3eq \(OC,\s\up16(→))＝0，则S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝( )
A．3∶2∶1 B．2∶1∶3 C．1∶3∶2 D．1∶2∶3
答案 D
解析 如图所示，延长OB到D，使得BD＝OB，延长OC到E，使得CE＝2OC.连接AD，DE，AE.
∵eq \(OA,\s\up16(→))＋2eq \(OB,\s\up16(→))＋3eq \(OC,\s\up16(→))＝0，∴点O为△ADE的重心．
∴S△OBC＝eq \f(1,6)S△ODE＝eq \f(1,6)×eq \f(1,3)S△ADE＝eq \f(1,18)S△ADE；
S△AOC＝eq \f(1,3)S△OAE＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)S△ADE＝eq \f(1,9)S△ADE；
S△ABO＝eq \f(1,2)S△OAD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)S△ADE＝eq \f(1,6)S△ADE.
∴S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝eq \f(1,18)∶eq \f(1,9)∶eq \f(1,6)＝1∶2∶3.
故选D.
二、填空题
11．如图所示，在△ABC中，eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up16(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up16(→))＝meq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up16(→))，则实数m的值为________．
答案 eq \f(5,11)
解析 注意到N，P，B三点共线，因此有eq \(AP,\s\up16(→))＝meq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up16(→))
＝meq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(6,11)eq \(AN,\s\up16(→))，从而m＋eq \f(6,11)＝1⇒m＝eq \f(5,11).
12．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，eq \f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 ∵a，tb，eq \f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．∴a－tb与a－eq \f(1,3)(a＋b)共线，即a－tb与eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝
λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a－\f(1,3)b))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝\f(2,3)λ，,t＝\f(1,3)λ，))解得λ＝eq \f(3,2)，t＝eq \f(1,2)，所以若a，tb，eq \f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝eq \f(1,2).
13．如图，已知平面内有三个向量eq \(OA,\s\up16(→))，eq \(OB,\s\up16(→))，eq \(OC,\s\up16(→))，其中eq \(OA,\s\up16(→))与eq \(OB,\s\up16(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up16(→))与eq \(OC,\s\up16(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up16(→))|＝|eq \(OB,\s\up16(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up16(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋μeq \(OB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
答案 6
解析 如图，作平行四边形OB1CA1，则eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \(OB1,\s\up16(→))＋eq \(OA1,\s\up16(→))，因为eq \(OA,\s\up16(→))与eq \(OB,\s\up16(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up16(→))与eq \(OC,\s\up16(→))的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2eq \r(3)，
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以eq \(OC,\s\up16(→))＝4eq \(OA,\s\up16(→))＋2eq \(OB,\s\up16(→))，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
14．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up16(→))＝meq \(AM,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))＝neq \(AN,\s\up16(→))，则m＋n的值为________．
答案 2
解析 连接AO，∵O是BC的中点，∴eq \(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→)))．
又∵eq \(AB,\s\up16(→))＝meq \(AM,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))＝neq \(AN,\s\up16(→))，∴eq \(AO,\s\up16(→))＝eq \f(m,2)eq \(AM,\s\up16(→))＋eq \f(n,2)eq \(AN,\s\up16(→)).
∵M，O，N三点共线，∴eq \f(m,2)＋eq \f(n,2)＝1.∴m＋n＝2.
三、解答题
15．设两个非零向量a与b不共线．
(1)若eq \(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
解 (1)证明：∵eq \(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)，
∴eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up16(→))，∴eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(BD,\s\up16(→))共线．
又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
16．如图所示，在△ABO中，eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up16(→))，eq \(OD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up16(→))，AD与BC相交于点M，设eq \(OA,\s\up16(→))＝a，eq \(OB,\s\up16(→))＝b.试用a和b表示向量eq \(OM,\s\up16(→)).
解 设eq \(OM,\s\up16(→))＝ma＋nb，
则eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \(OM,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.
eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(OD,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝－a＋eq \f(1,2)b.
又∵A，M，D三点共线，∴eq \(AM,\s\up16(→))与eq \(AD,\s\up16(→))共线．
∴存在实数t，使得eq \(AM,\s\up16(→))＝teq \(AD,\s\up16(→))，
即(m－1)a＋nb＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(1,2)b)).
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq \f(1,2)tb.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1＝－t，,n＝\f(t,2)，))消去t，得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①
又∵eq \(CM,\s\up16(→))＝eq \(OM,\s\up16(→))－eq \(OC,\s\up16(→))＝ma＋nb－eq \f(1,4)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,4)))a＋nb，
eq \(CB,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OC,\s\up16(→))＝b－eq \f(1,4)a＝－eq \f(1,4)a＋b.
又∵C，M，B三点共线，∴eq \(CM,\s\up16(→))与eq \(CB,\s\up16(→))共线，
∴存在实数t1，使得eq \(CM,\s\up16(→))＝t1eq \(CB,\s\up16(→))，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,4)))a＋nb＝t1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)a＋b))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1，,n＝t1.))
消去t1，得4m＋n＝1.②
由 ①②得m＝eq \f(1,7)，n＝eq \f(3,7)，∴eq \(OM,\s\up16(→))＝eq \f(1,7)a＋eq \f(3,7)b.