高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第4章　平面向量4.3(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第4章　平面向量4.3(教师版)，共8页。

一、选择题
1．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A.eq \f(8,65) B．－eq \f(8,65) C.eq \f(16,65) D．－eq \f(16,65)
答案 C
解析 由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)．由cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(16,65).故选C.
2．已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则eq \f(|2a－b|,a·a＋b)等于( )
A．－eq \f(5,3) B．1 C．2 D.eq \f(5,4)
答案 B
解析 ∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则2a－b＝(0,5)，a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，∴eq \f(|2a－b|,a·a＋b)＝eq \f(5,5)＝1.故选B.
3．已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果eq \(OD,\s\up16(→))＋eq \(DE,\s\up16(→))＋eq \(DF,\s\up16(→))＝0，且|eq \(OD,\s\up16(→))|＝|eq \(DF,\s\up16(→))|，则向量eq \(EF,\s\up16(→))在eq \(FD,\s\up16(→))方向上的投影为( )
A．6 B．－6 C．2eq \r(3) D．－2eq \r(3)
答案 B
解析 由eq \(OD,\s\up16(→))＋eq \(DE,\s\up16(→))＋eq \(DF,\s\up16(→))＝0得，eq \(DO,\s\up16(→))＝eq \(DE,\s\up16(→))＋eq \(DF,\s\up16(→)).
∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF.
连接OF，∵|eq \(OF,\s\up16(→))|＝|eq \(OD,\s\up16(→))|＝|eq \(DF,\s\up16(→))|＝4，
∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°.
∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4eq \r(3).
∴向量eq \(EF,\s\up16(→))在eq \(FD,\s\up16(→))方向上的投影为|eq \(EF,\s\up16(→))|·cs〈eq \(EF,\s\up16(→))，eq \(FD,\s\up16(→))〉
＝4eq \r(3)cs150°＝－6，故选B.
4．已知非零向量eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(AC,\s\up16(→))满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)＋\f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)))·eq \(BC,\s\up16(→))＝0且eq \f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
答案 D
解析 因为非零向量eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(AC,\s\up16(→))满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)＋\f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)))·eq \(BC,\s\up16(→))＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.又cs∠BAC＝eq \f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)＝eq \f(1,2)，所以∠BAC＝eq \f(π,3).
所以△ABC为等边三角形．故选D.
5．在△ABC中，|eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(3)|eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))|，|eq \(AB,\s\up16(→))|＝|eq \(AC,\s\up16(→))|＝3，则eq \(CB,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))的值为( )
A．3 B．－3 C．－eq \f(9,2) D.eq \f(9,2)
答案 D
解析 由|eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(3)|eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))|两边平方可得，eq \(AB,\s\up16(→))2＋eq \(AC,\s\up16(→))2＋2eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝3(eq \(AB,\s\up16(→))2＋eq \(AC,\s\up16(→))2－2eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→)))，即eq \(AB,\s\up16(→))2＋eq \(AC,\s\up16(→))2＝4eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))，又|eq \(AB,\s\up16(→))|＝|eq \(AC,\s\up16(→))|＝3，所以eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(9,2)，又因为eq \(CB,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))，所以eq \(CB,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))＝(eq \(AB,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→)))·(－eq \(AC,\s\up16(→)))＝eq \(AC,\s\up16(→))2－eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝9－eq \f(9,2)＝eq \f(9,2)，故选D.
6．已知向量eq \(OA,\s\up16(→))与eq \(OB,\s\up16(→))的夹角为60°，且|eq \(OA,\s\up16(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up16(→))|＝2，若eq \(OC,\s\up16(→))＝meq \(OA,\s\up16(→))＋neq \(OB,\s\up16(→))，且eq \(OC,\s\up16(→))⊥eq \(AB,\s\up16(→))，则实数eq \f(m,n)的值为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C．6 D．4
答案 A
解析 eq \(OA,\s\up16(→))·eq \(OB,\s\up16(→))＝3×2×cs60°＝3，∵eq \(OC,\s\up16(→))＝meq \(OA,\s\up16(→))＋neq \(OB,\s\up16(→))，且eq \(OC,\s\up16(→))⊥eq \(AB,\s\up16(→))，
∴(meq \(OA,\s\up16(→))＋neq \(OB,\s\up16(→)))·eq \(AB,\s\up16(→))＝(meq \(OA,\s\up16(→))＋neq \(OB,\s\up16(→)))·(eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→)))＝(m－n)eq \(OA,\s\up16(→))·eq \(OB,\s\up16(→))－meq \(OA,\s\up16(→))2＋neq \(OB,\s\up16(→))2＝0，
∴3(m－n)－9m＋4n＝0，
∴eq \f(m,n)＝eq \f(1,6).故选A.
7．已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若eq \(AO,\s\up16(→))·eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \f(3,2)，则实数m＝( )
A．±1 B．±eq \f(\r(3),2) C．±eq \f(\r(2),2) D．±eq \f(1,2)
答案 C
解析 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,x2＋y2＝1，))消去y得2x2＋2mx＋m2－1＝0，由Δ＝4m2－8(m2－1)>0，得－eq \r(2)8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝eq \f(α·β,β·β).若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，且a·b和b·a都在集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)))n∈Z))中，则a·b等于( )
A.eq \f(5,2) B.eq \f(3,2) C．1 D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 根据新定义，得a·b＝eq \f(a·b,b·b)＝eq \f(|a||b|csθ,|b|2)＝eq \f(|a|,|b|)csθ，
b·a＝eq \f(b·a,a·a)＝eq \f(|a||b|csθ,|a|2)＝eq \f(|b|,|a|)csθ.
又因为a·b和b·a都在集合eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)))n∈Z))中，设a·b＝eq \f(n1,2)，
b·a＝eq \f(n2,2)(n1，n2∈Z)，那么(a·b)·(b·a)＝cs2θ＝eq \f(n1n2,4)，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以0所以n1，n2的值均为1，故a·b＝eq \f(n1,2)＝eq \f(1,2).故选D.
9．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋ta＋\f(1,t)b))的最小值是( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2)
答案 B
解析 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则由c·a＝c·b＝1，得c＝(1,1)，c＋ta＋eq \f(1,t)b＝(1,1)＋t(1,0)＋eq \f(1,t)(0,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋1，1＋\f(1,t)))，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋ta＋\f(1,t)b))＝eq \r(t＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,t)))2)＝eq \r(t2＋\f(1,t2)＋2t＋\f(2,t)＋2)≥2eq \r(2)，
当且仅当t＝1时等号成立．故选B.
10．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1] B．[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋2]
C．[1，eq \r(2)＋1] D．[1，eq \r(2)＋2]
答案 A
解析 以a和b分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，设c＝(x，y)，则c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1.即(x，y)是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c|＝eq \r(x2＋y2).所以|c|可以理解为圆M上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM|－r≤|c|≤|OM|＋r，即|c|∈[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1]．故选A.
二、填空题
11．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|a－2b|＝2eq \r(7)，则|b|＝________.
答案 3
解析 因为|a|＝2，|a－2b|＝2eq \r(7)，所以(a－2b)2＝28，即4－4a·b＋4|b|2＝28，又向量a，b的夹角为60°，所以4－4×2×|b|cs60°＋4|b|2＝28，解得|b|＝3.
12．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且csα＝eq \f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则csβ＝________.
答案 eq \f(2\r(2),3)
解析 a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×eq \f(1,3)＝8.
∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×eq \f(1,3)＝9，∴|a|＝3.
∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×eq \f(1,3)＝8，∴|b|＝2eq \r(2)，
∴csβ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(8,3×2\r(2))＝eq \f(2\r(2),3).
13．在平行四边形ABCD中，∠A＝eq \f(π,3)，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足eq \f(|\(BM,\s\up16(→))|,|\(BC,\s\up16(→))|)＝eq \f(|\(CN,\s\up16(→))|,|\(CD,\s\up16(→))|)，则eq \(AM,\s\up16(→))·eq \(AN,\s\up16(→))的取值范围是________．
答案 [2,5]
解析 如图所示，设eq \f(|\(BM,\s\up16(→))|,|\(BC,\s\up16(→))|)＝eq \f(|\(CN,\s\up16(→))|,|\(CD,\s\up16(→))|)＝λ，则λ∈[0,1]，
eq \(AM,\s\up16(→))·eq \(AN,\s\up16(→))＝(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BM,\s\up16(→)))·(eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(DN,\s\up16(→)))＝(eq \(AB,\s\up16(→))＋λeq \(BC,\s\up16(→)))·[eq \(AD,\s\up16(→))＋(λ－1)eq \(CD,\s\up16(→))]＝eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AD,\s\up16(→))＋(λ－1)eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(CD,\s\up16(→))＋λeq \(BC,\s\up16(→))·eq \(AD,\s\up16(→))＋λ(λ－1)eq \(BC,\s\up16(→))·eq \(CD,\s\up16(→))＝1×2×eq \f(1,2)＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－1)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6.∵λ∈[0,1]，∴eq \(AM,\s\up16(→))·eq \(AN,\s\up16(→))∈[2,5]．
14．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若eq \(BD,\s\up16(→))＝2eq \(DC,\s\up16(→))，eq \(AE,\s\up16(→))＝λeq \(AC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))(λ∈R)，且eq \(AD,\s\up16(→))·eq \(AE,\s\up16(→))＝－4，则λ的值为________．
答案 eq \f(3,11)
解析 由题意，知|eq \(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up16(→))|＝2，eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝3×2×cs60°＝3，
eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up16(→))，
∴eq \(AD,\s\up16(→))·eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up16(→))＋\f(2,3)\(AC,\s\up16(→))))·(λeq \(AC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(λ－2,3)eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))2＋eq \f(2λ,3)eq \(AC,\s\up16(→))2
＝eq \f(λ－2,3)×3－eq \f(1,3)×32＋eq \f(2λ,3)×22＝eq \f(11,3)λ－5＝－4，解得λ＝eq \f(3,11).
三、解答题
15．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且eq \(OP,\s\up16(→))＝meq \(AB,\s\up16(→))＋neq \(AC,\s\up16(→))(m，n∈R)．
(1)若m＝n＝eq \f(2,3)，求|eq \(OP,\s\up16(→))|；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
解 (1)∵m＝n＝eq \f(2,3)，eq \(AB,\s\up16(→))＝(1,2)，eq \(AC,\s\up16(→))＝(2,1)，
∴eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)(1,2)＋eq \f(2,3)(2,1)＝(2,2)，∴|eq \(OP,\s\up16(→))|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2).
(2)∵eq \(OP,\s\up16(→))＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(csB，－sinB)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sinA的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up16(→))在eq \(BC,\s\up16(→))方向上的投影．
解 (1)由m·n＝－eq \f(3,5)，
得cs(A－B)csB－sin(A－B)sinB＝－eq \f(3,5)，
所以csA＝－eq \f(3,5).因为0所以sinA＝eq \r(1－cs2A)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝eq \f(4,5).
(2)由正弦定理，得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，
则sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝eq \f(π,4).
由余弦定理得(4eq \r(2))2＝52＋c2－2×5c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))，
解得c＝1，c＝－7(舍去)，
故向量eq \(BA,\s\up16(→))在eq \(BC,\s\up16(→))方向上的投影为|eq \(BA,\s\up16(→))|csB＝ccsB＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).