高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第5章　数列5.2(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第5章　数列5.2(教师版)，共8页。
一、选择题
1．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则a10等于( )
A．18 B．20 C．16 D．22
答案 B
解析 由题意得S3＝3a2＝12，解得a2＝4，所以公差d＝a3－a2＝2，a10＝a3＋7d＝20.故选B.
2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝4，S6＝12，则S2＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．3
答案 B
解析 {an}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也是等差数列，所以2(4－S2)＝S2＋(12－4)⇒S2＝0.故选B.
3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( )
A．18 B．20 C．21 D．25
答案 C
解析 织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，a1＝5，前30项和为390，于是eq \f(305＋a30,2)＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．故选C.
4．已知等差数列{an}的前10项和为30，a6＝8，则a100＝( )
A．100 B．958 C．948 D．18
答案 C
解析 设等差数列{an}的公差为d，由已知得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋5d＝8，,10a1＋\f(10×9,2)d＝30，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－42，,d＝10，))
所以a100＝－42＋99×10＝948.故选C.
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(Sn,an)＝eq \f(n＋1,2)，则下列结论中正确的是( )
A.eq \f(a2,a3)＝2 B.eq \f(a2,a3)＝eq \f(3,2) C.eq \f(a2,a3)＝eq \f(2,3) D.eq \f(a2,a3)＝eq \f(1,3)
答案 C
解析 由已知可得Sn＝eq \f(n＋1,2)an，则Sn－1＝eq \f(n,2)an－1(n≥2)，两式相减可得an＝eq \f(n＋1,2)an－eq \f(n,2)an－1(n≥2)，化简得eq \f(an－1,an)＝eq \f(n－1,n)(n≥2)，当n＝3时，可得eq \f(a2,a3)＝eq \f(2,3).故选C.
6．已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项的和为( )
A．－200 B．－100 C．0 D．－50
答案 B
解析 因为函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称．又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝eq \f(100a1＋a100,2)＝50(a50＋a51)＝－100.故选B.
7．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是( )
A．2016 B．2017 C．4032 D．4033
答案 C
解析 因为a1＞0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，所以d＜0，
a2016＞0，a2017＜0，所以S4032＝eq \f(4032a1＋a4032,2)＝eq \f(4032a2016＋a2017,2)＞0，
S4033＝eq \f(4033a1＋a4033,2)＝4033a2017＜0，所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4032.故选C.
8．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1eq \f(4,6)寸表示115寸1eq \f(4,6)分(1寸＝10分)．
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )
A．72.4寸 B．81.4寸 C．82.0寸 D．91.6寸
答案 C
解析 设《易经》中记录的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a1，a2，…，a13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d，由a1＝130.0，a13＝14.8，得130.0＋12d＝14.8，解得d＝－9.6.∴a6＝130.0－9.6×5＝82.0.
∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C.
9．已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝eq \f(1＋an,an).若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－8，－7) B．[－8，－7)
C．(－8，－7] D．[－8，－7]
答案 A
解析 因为{an}是首项为a，公差为1的等差数列，所以an＝n＋a－1，因为bn＝eq \f(1＋an,an)，又对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，所以1＋eq \f(1,an)≥1＋eq \f(1,a8)，即eq \f(1,an)≥eq \f(1,a8)对任意的n∈N*恒成立，因为数列{an}是公差为1的等差数列，所以{an}是单调递增的数列，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a8＜0，,a9＞0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8＋a－1＜0，,9＋a－1＞0，))解得－8＜a＜－7.故选A.
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，如果当n＝m时，Sn最小，那么m的值为( )
A．10 B．9 C．5 D．4
答案 C
解析 设等差数列{an}的公差为d.由已知得eq \f(11a1＋a11,2)＝22，
所以11a6＝22，解得a6＝2，所以d＝eq \f(a6－a4,2)＝7，
所以an＝a4＋(n－4)d＝7n－40，所以数列{an}是单调递增数列，又因为a5＝－50，所以当n＝5时，Sn取得最小值，故选C.
二、填空题
11．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a100，即a8>0.又a8＋a9＝a7＋a10eq \f(m,20)成立，求正整数m的最大值．
解 (1)因为an＋1＝eq \f(1,2－an)，
所以eq \f(1,an＋1－1)＝eq \f(1,\f(1,2－an)－1)＝eq \f(2－an,an－1)＝－1＋eq \f(1,an－1)，
即eq \f(1,an＋1－1)－eq \f(1,an－1)＝－1，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an－1)))是首项为－2，公差为－1的等差数列，
所以eq \f(1,an－1)＝－2＋(n－1)×(－1)＝－(n＋1)，所以an＝eq \f(n,n＋1).
(2)bn＝eq \f(n＋1,n)－1＝eq \f(1,n)，
令Cn＝B3n－Bn＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,3n)，
所以Cn＋1－Cn＝eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,3n＋1)－eq \f(1,n＋1)－…－eq \f(1,3n)
＝－eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,3n＋2)＋eq \f(1,3n＋3)＋eq \f(1,3n＋1)
＝eq \f(1,3n＋2)－eq \f(2,3n＋3)＋eq \f(1,3n＋1)>eq \f(2,3n＋3)－eq \f(2,3n＋3)＝0，
∴Cn＋1－Cn>0，
{Cn}为单调递增数列，又∵n≥2，
∴(B3n－Bn)min＝B6－B2＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)＋eq \f(1,6)＝eq \f(19,20)，
eq \f(m,20)