高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第7章　立体几何7.4(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第7章　立体几何7.4(教师版)，共17页。
A级
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
答案 C
解析 若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错误；一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错误；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错误；故选C.
2．下列命题中，错误的是( )
A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面
B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a
C．α∥β，γ∥δ，α，β，γ，δ的交线为a，b，c，d，则a∥b∥c∥d
D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件
答案 D
解析 D错误，当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，如图，α⊥β，直线AB与α，β都成45°角，但α∩β＝l.故选D.
3．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m⊥l，m⊥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 对①，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故①正确；对②，直线l可能在平面α内，故②错误；对③，三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故③错误；对④，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确．综上①④正确．故选B.
4．一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，则MN与平面BDH的关系是( )
A．MN∩平面BDH＝M B．MN⊂平面BDH
C．MN∥平面BDH D．MN⊥平面BDH
答案 C
解析 连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN，如图所示．
∵M，N分别是BC，GH的中点，
∴OM∥CD，且OM＝eq \f(1,2)CD，NH∥CD，且NH＝eq \f(1,2)CD，
∴OM∥NH，OM＝NH，则四边形MNHO是平行四边形，
∴MN∥OH，又MN⊄平面BDH，OH⊂平面BDH，
∴MN∥平面BDH.故选C.
5．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( )
A．2∶5 B．3∶8 C．4∶9 D．4∶25
答案 D
解析 ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25，故选D.
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，若A1M＝AN＝eq \f(2a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
答案 B
解析 连接CD1，在CD1上取点P，使D1P＝eq \f(2a,3)，∴MP∥BC，PN∥AD1.
∴MP∥平面BB1C1C，PN∥平面AA1D1D.
∴平面MNP∥平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.故选B.
7．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．A1B1∥NE
答案 B
解析 在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1.所以AM綊BN，所以MN綊AB，又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，所以MN∥EF，所以EF∥AB，显然在△ABC中，EF∥MN，EF≠MN，所以四边形MNEF为梯形．故选B.
8．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )
A．4条 B．6条
C．8条 D．12条
答案 D
解析 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N，P，Q分别为相应棱的中点，容易证明平面EFGH，平面MNPQ均与平面BDD1B1平行，平面EFGH和平面MNPQ中分别有6条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求，故共有12条直线符合要求．故选D.
9．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是 ( )
答案 C
解析 过M作MQ∥DD1，交AD于Q，连接QN.∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1，又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x.
∵eq \f(MQ,AQ)＝eq \f(DD1,AD)＝2，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．故选C.
10．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( )
A.eq \f(45,2) B.eq \f(45\r(3),2)
C．45 D．45eq \r(3)
答案 A
解析
取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，
故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.
因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，
则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊eq \f(1,2)AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．
又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，
所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AC))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)SB))＝eq \f(45,2).故选A.
二、填空题
11．如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
答案 5
解析 ∵AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是AC的中点，
∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝eq \f(1,2)(AB＋CD)＝5.
12．如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
答案 平面ABC、平面ABD
解析 连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，连接MN，由eq \f(EM,MA)＝eq \f(EN,NB)＝eq \f(1,2)，得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
13．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2.
答案 eq \f(\r(6),4)
解析 如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，∴E为DD1的中点，
∴S△ACE＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(6),4)(cm2)．
14．如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案 M位于线段FH上(答案不唯一)
解析 连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
B级
三、解答题
15．如图，在三棱柱ABC－DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝eq \f(π,3)，BC＝eq \f(\r(21),2).点F在平面ABED内的正投影为G，且点G在AE上，FG＝eq \r(3)，点M在线段CF上，且CM＝eq \f(1,4)CF.
(1)证明：直线GM∥平面DEF；
(2)求三棱锥M－DEF的体积．
解 (1)证明：∵点F在平面ABED内的正投影为G，
∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥GE.
又BC＝eq \f(\r(21),2)＝EF，FG＝eq \r(3)，∴GE＝eq \f(3,2).
∵四边形ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝eq \f(π,3)，
∴AE＝2，∴AG＝eq \f(1,2).
如图，过点G作GH∥AD交DE于点H，连接FH.
则eq \f(GH,AD)＝eq \f(GE,AE)，∴GH＝eq \f(3,2)，由CM＝eq \f(1,4)CF得MF＝eq \f(3,2)＝GH.
易证GH∥AD∥MF，∴四边形GHFM为平行四边形，∴MG∥FH.
又GM⊄平面DEF，∴GM∥平面DEF.
(2)由(1)知GM∥平面DEF，连接GD，则有VM－DEF＝VG－DEF.
又VG－DEF＝VF－DEG＝eq \f(1,3)FG·S△DEG＝eq \f(1,3)FG·eq \f(3,4)S△DAE＝eq \f(3,4)，
∴VM－DEF＝eq \f(3,4).
16．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝eq \f(1,3)AB＝1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC.
(1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC?
(2)当点P为AB边的中点时，求点B到平面MPC的距离．
解 (1)当AP＝eq \f(1,3)AB时，有AD∥平面MPC.理由如下：
连接BD交MC于点N，连接NP.
在梯形MBCD中，DC∥MB，eq \f(DN,NB)＝eq \f(DC,MB)＝eq \f(1,2)，
∵△ADB中，eq \f(AP,PB)＝eq \f(1,2)，∴AD∥PN.
∵AD⊄平面MPC，PN⊂平面MPC，∴AD∥平面MPC.
(2)∵平面AMD⊥平面MBCD，
平面AMD∩平面MBCD＝DM，
平面AMD中AM⊥DM，∴AM⊥平面MBCD.
∴VP－MBC＝eq \f(1,3)×S△MBC×eq \f(AM,2)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6).
在△MPC中，MP＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(\r(5),2)，MC＝eq \r(2)，
又PC＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋12)＝eq \f(\r(5),2)，
∴S△MPC＝eq \f(1,2)×eq \r(2)× eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(6),4).
∴点B到平面MPC的距离为d＝eq \f(3VP－MBC,S△MPC)＝eq \f(3×\f(1,6),\f(\r(6),4))＝eq \f(\r(6),3).
17．如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点．
(1)求证：MN∥PC；
(2)求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明 (1)由题意：P－ABCD是四棱锥，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，连接AC，∴N是AC的中点．
∴MN是三角形ACP的中位线，
∴MN∥PC.
(2)由(1)可得MN∥PC.
∵M，Q分别是PA，PD的中点，
∴MQ是三角形ADP的中位线，
∴MQ∥AD.
又由AD∥BC，∴MQ∥BC.
由MQ∥BC，MN∥PC，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC＝C，
同理MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，MQ∩MN＝M.
∴平面MNQ∥平面PBC.
18．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，CE⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
证明 (1)如图，取BD中点为O，连接OC，OE，则由BC＝CD，知CO⊥BD.
又CE⊥BD，EC∩CO＝C，
CO，EC⊂平面EOC，
所以BD⊥平面EOC，
所以BD⊥OE.
又因为O是BD中点，
所以BE＝DE.
(2)如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，
因为M是AE的中点，
所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，
又CB＝CD，∠BCD＝120°，
因此∠CBD＝30°.
所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC, BC⊂平面BEC，
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN＝N，
故平面DMN∥平面BEC，
又DM⊂平面DMN，
所以DM∥平面BEC.