高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第7章　立体几何7.2(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第7章　立体几何7.2(教师版)，共14页。

一、选择题
1．如左图所示，在三棱锥D－ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如右图所示，则其侧视图的面积为( )
A.eq \r(6) B．2
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 D
解析 由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一直角边为CD，其长度为2，另一直角边为底面三角形ABC的边AB上的中线，其长度为eq \r(2)，则其侧视图的面积为S＝eq \f(1,2)×2×eq \r(2)＝eq \r(2)，故选D.
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
答案 A
解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成(如图所示)，其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以该几何体的体积V＝4×2×2＋eq \f(1,2)π×22×4＝16＋8π.故选A.
3．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )
A．72＋6π B．72＋4π
C．48＋6π D．48＋4π
答案 A
解析 由三视图知，该几何体由一个正方体的eq \f(3,4)部分与一个圆柱的eq \f(1,4)部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.故选A.
4．三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为eq \f(500π,3)的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
答案 C
解析 依题意，设题中球的球心为O、半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则eq \f(4πR3,3)＝eq \f(500π,3)，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为eq \r(R2－r2)＝3，因此三棱锥P－ABC的高的最大值为5＋3＝8.选C.
5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A．8π B．12π
C．20π D．24π
答案 C
解析 如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2R＝PC＝eq \r(20)，所以R＝eq \f(\r(20),2)，球O的表面积为4πR2＝20π.选C.
6．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为( )
A.eq \f(1,3)＋eq \f(2π,3) B.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2)π,3)
C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2)π,6) D．1＋eq \f(\r(2)π,6)
答案 C
解析 由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为1，四棱锥的高为1，球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径，所以球的直径2R＝eq \r(2)，则R＝eq \f(\r(2),2)，所以半球的体积为eq \f(2,3)πR3＝eq \f(\r(2)π,6)，又正四棱锥的体积为eq \f(1,3)×12×1＝eq \f(1,3)，所以该几何体的体积为eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2)π,6).故选C.
7．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为( )
A．32 B．32eq \r(7)
C．64 D．64eq \r(7)
答案 C
解析 由三视图知三棱锥如图所示，底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝2eq \r(7)，PA2＋y2＝102，(2eq \r(7))2＋PA2＝x2，因此xy＝xeq \r(102－[x2－2\r(7)2])＝
xeq \r(128－x2)≤eq \f(x2＋128－x2,2)＝64，当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64.选C.
8．空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E，F分别是AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD.若AB＝8，CD＝EF＝4，则该球的半径等于( )
A.eq \f(65\r(2),16) B.eq \f(65\r(2),8)
C.eq \f(\r(65),2) D.eq \r(65)
答案 C
解析 如图，连接BF，AF，DE，CE，因为AE＝BE，EF⊥AB，所以AF＝BF.同理可得EC＝ED.又空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，所以球心O必在EF上，连接OA，OC.设该球的半径为R，OE＝x，则R2＝AE2＋OE2＝16＋x2①，R2＝CF2＋OF2＝4＋(4－x)2②，由①②解得R＝eq \f(\r(65),2).故选C.
9．在六条棱长分别为2,3,3,4,5,5的所有四面体中，最大的体积是( )
A.eq \f(8\r(2),3) B.eq \f(5\r(11),6)
C.eq \f(\r(462),4) D．2eq \r(6)
答案 A
解析 由题意可知，由棱长2、3、3、4、5、5构成的四面体有如下三种情况：
左图中，由于32＋42＝52，即图中AD⊥平面BCD，
∴V1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2eq \r(32－12)×4＝eq \f(8\r(2),3)；
中间图，由于此情况的底面与上相同，但AC不与底垂直，故高小于4，于是得V2＜V1；右图中，高小于2，
底面积eq \f(1,2)×5× eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2)＝eq \f(5\r(11),4).
∴V3＜eq \f(1,3)×eq \f(5\r(11),4)×2＝eq \f(5\r(11),6)＜eq \f(8\r(2),3).∴最大体积为eq \f(8\r(2),3).故选A.
10．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的外接球的体积为eq \f(\r(3)π,2)，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为( )
A.eq \f(9,2)＋eq \f(\r(3),2) B．3＋eq \r(3)或eq \f(9,2)＋eq \f(\r(3),2)
C．2＋eq \r(3) D.eq \f(9,2)＋eq \f(\r(3),2)或2＋eq \r(3)
答案 B
解析 设正方体的棱长为a，依题意得，eq \f(4π,3)×eq \f(3\r(3)a3,8)＝eq \f(\r(3)π,2)，解得a＝1.由三视图可知，该几何体的直观图有以下两种可能，图1对应的几何体的表面积为eq \f(9,2)＋eq \f(\r(3),2)，图2对应的几何体的表面积为3＋eq \r(3).故选B.
二、填空题
11．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
答案 eq \f(9π,2)
解析 设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝eq \r(3).
设球的半径为R，则由题意知2R＝eq \r(a2＋a2＋a2)＝3，
∴R＝eq \f(3,2).故球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4π,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3＝eq \f(9π,2).
12．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为2eq \r(3)，三棱锥的高为1，则三棱锥的底面积为eq \f(1,2)×eq \r(22－\r(3)2)×2eq \r(3)＝eq \r(3)，
∴该三棱锥的体积为eq \f(1,3)×eq \r(3)×1＝eq \f(\r(3),3).
13．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq \f(V1,V2)的值是________．
答案 eq \f(3,2)
解析 设球O的半径为R，
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
∴圆柱O1O2的高为2R，圆柱O1O2的底面半径为R.
∴eq \f(V1,V2)＝eq \f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3,2).
14．已知三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BC＝2，BD＝CD＝eq \r(2)，点E是BC的中点，点A在平面BCD内的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为________．
答案 eq \f(60π,11)
解析
如图，作出三棱锥A－BCD的外接球，设球的半径为r，球心O到底面BCD的距离为d，DE的中点为F，连接AF，过球心O作AF的垂线OH，垂足为H，连接OA，OD，OE，AE.因为BD＝eq \r(2)，CD＝eq \r(2)，BC＝2，所以BD⊥CD，则OE⊥平面BCD，OE∥AF，所以HF＝OE＝d.所以在Rt△BCD中，DE＝1，EF＝eq \f(1,2).
又AB＝AC＝BC＝2，所以AE＝eq \r(3)，所以在Rt△AFE中，AF＝eq \f(\r(11),2)，所以r2＝d2＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(11),2)－d))2＋eq \f(1,4)，解得r2＝eq \f(15,11)，所以三棱锥A－BCD的外接球的表面积S＝4πr2＝eq \f(60π,11).
三、解答题
15．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.
(1)求此多面体的全面积；
(2)求此多面体的体积．
解
(1)在△BAD中，∵AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，
∴由余弦定理可得BD＝eq \r(3)，
则AB2＝AD2＋BD2，
∴AD⊥BD.
由已知可得，AG∥EF，AE∥GF，
∴四边形AEFG为平行四边形，
GD＝AD＝1，∴EF＝AG＝eq \r(2).
EB＝AB＝2，∴GF＝AE＝2eq \r(2).
过G作GH∥DC交CF于H，得FH＝2，∴FC＝3.
过G作GM∥DB交BE于M，
得GM＝DB＝eq \r(3)，ME＝1，∴GE＝2.
cs∠GAE＝eq \f(8＋2－4,2×2\r(2)×\r(2))＝eq \f(3,4)，∴sin∠GAE＝eq \f(\r(7),4).
S▱AEFG＝2×eq \f(1,2)×eq \r(2)×2eq \r(2)×eq \f(\r(7),4)＝eq \r(7).
该几何体的全面积S＝eq \r(7)＋2×eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＋eq \f(1,2)×1×1＋eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×(1＋3)×2＋eq \f(1,2)×(2＋3)×1＝eq \r(7)＋eq \r(3)＋9.
(2)V多面体的体积＝VA－BEGD＋VG－BCD＋VG－BCFE
＝eq \f(1,3)SBEGD·AD＋eq \f(1,3)S△BCD·DG＋eq \f(1,3)S四边形BCFE·BD
＝eq \f(1,3)·eq \f(1,2)(DG＋BE)·BD·AD＋eq \f(1,3)·eq \f(1,2)BC·CD·sin60°·DG＋eq \f(1,3)·eq \f(1,2)(BE＋CF)·BC·BD＝eq \f(3\r(3),2).
16．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
解 (1)直观图如图所示：
(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的eq \f(3,4)，
在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，则四边形AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1，
在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，
∴BB1＝eq \r(2)，
∴几何体的表面积
S＝S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形AA1D1D
＝1＋2×1＋2×eq \f(1,2)×(1＋2)×1＋1×eq \r(2)＋1
＝7＋eq \r(2)(m2)．
∴几何体的体积V＝eq \f(3,4)×1×2×1＝eq \f(3,2)(m3)，
∴该几何体的表面积为(7＋eq \r(2)) m2，体积为eq \f(3,2) m3.