高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.1(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.1(教师版)，共9页。

一、选择题
1．直线x＋eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 D
解析 直线斜率为－eq \f(\r(3),3)，即tanα＝－eq \f(\r(3),3)，0≤α<π，∴α＝eq \f(5π,6)，故选D.
2．直线xcs140°＋ysin40°＋1＝0的倾斜角是( )
A．40° B．50°
C．130° D．140°
答案 B
解析 将直线xcs140°＋ysin40°＋1＝0化成xcs40°－ysin40°－1＝0，其斜率为k＝eq \f(cs40°,sin40°)＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.
3．函数y＝asinx－bcsx的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
答案 D
解析 由函数y＝f(x)＝asinx－bcsx的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)知，f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为eq \f(3π,4).故选D.
4．已知直线PQ的斜率为－eq \r(3)，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )
A.eq \r(3) B．－eq \r(3)
C．0 D．1＋eq \r(3)
答案 A
解析 直线PQ的斜率为－eq \r(3)，则直线PQ的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝eq \r(3).故选A.
5．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
答案 D
解析 因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．故选D.
6．若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,6))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，－\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,2)))
答案 B
解析 ∵m＋2n－1＝0，∴m＋2n＝1.∵mx＋3y＋n＝0，∴(mx＋n)＋3y＝0，当x＝eq \f(1,2)时，mx＋n＝eq \f(1,2)m＋n＝eq \f(1,2)，∴3y＝－eq \f(1,2)，∴y＝－eq \f(1,6)，故直线过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,6))).故选B.
7．若经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )
A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0
C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0
答案 B
解析 解法一：直线过P(1,4)，代入，排除A、D；又在两坐标轴上的截距为正，排除C，故选B.
解法二：设方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，将(1,4)代入得eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝1.
a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥9，
当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时，截距之和最小．
所以直线方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,6)＝1，即2x＋y－6＝0.故选B.
8．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 C
解析 ∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，∴a＋b＝ab，
即eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.故选C.
9．直线mx＋eq \f(n,2)y－1＝0在y轴上的截距是－1，且它的倾斜角是直线eq \r(3)x－y－3eq \r(3)＝0的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－eq \r(3)，n＝－2 B．m＝eq \r(3)，n＝2
C．m＝eq \r(3)，n＝－2 D．m＝－eq \r(3)，n＝2
答案 A
解析 根据题意，设直线mx＋eq \f(n,2)y－1＝0为直线l，
另一直线的方程为eq \r(3)x－y－3eq \r(3)＝0，
变形可得y＝eq \r(3)(x－3)，其斜率k＝eq \r(3)，
则其倾斜角为60°，而直线l的倾斜角是直线eq \r(3)x－y－3eq \r(3)＝0的倾斜角的2倍，则直线l的倾斜角为120°，且斜率k＝tan120°＝－eq \r(3)，
又由l在y轴上的截距是－1，则其方程为y＝－eq \r(3)x－1；
又由其一般式方程为mx＋eq \f(n,2)y－1＝0，
分析可得m＝－eq \r(3)，n＝－2.故选A.
10．若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．4 D．2eq \r(3)
答案 C
解析 因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，
所以4m＋3n－10＝0.
欲求m2＋n2的最小值可先求eq \r(m－02＋n－02)的最小值．
而eq \r(m－02＋n－02)表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．
当过原点和点(m，n)的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离最小，最小值为2.
故m2＋n2的最小值为4.故选C.
二、填空题
11．已知P(－3,2)，Q(3,4)及直线ax＋y＋3＝0.若沿eq \(PQ,\s\up16(→))的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,3)，－\f(1,3)))
解析 直线l：ax＋y＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a，易知PQ，QA，l的斜率分别为：kPQ＝eq \f(1,3)，kAQ＝eq \f(7,3)，kl＝－a.若l与PQ延长线相交，由图可知kPQ12．一直线过点A(－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．
答案 x＋3y－9＝0或y＝4x＋16
解析 设横截距为a，则纵截距为12－a，
直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,12－a)＝1，
把A(－3,4)代入，得eq \f(－3,a)＋eq \f(4,12－a)＝1，解得a＝－4，a＝9.
a＝9时，直线方程为eq \f(x,9)＋eq \f(y,3)＝1，整理可得x＋3y－9＝0.
a＝－4时，直线方程为eq \f(x,－4)＋eq \f(y,16)＝1，整理可得4x－y＋16＝0.
综上所述，此直线方程是x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0.
13．过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．
答案 x－2y＋2＝0或x＝2
解析 ①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形面积为2，符合题意；
②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；
③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－eq \f(2,k)，依题意有eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,k)))×2＝2，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,k)))＝1，解得k＝eq \f(1,2)，所以直线m的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－2)，即x－2y＋2＝0.
综上知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.
14．在下列叙述中：
①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα；
②若直线斜率k＝－1，则它的倾斜角为135°；
③已知点A(1，－3)，B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90°；
④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4)；
⑤若直线斜率为eq \f(3,4)，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．
其中正确的命题是________．(填序号)
答案 ②③④
解析 ①当α＝90°时，斜率k不存在，故①错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故②正确；③直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又eq \f(4－2,3－1)＝1，故直线必过点(3,4)，故④正确；⑤斜率为eq \f(3,4)的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故⑤错误．
三、解答题
15．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，
∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.
∴eq \f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1.
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1＞0，,a－2≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1＝0，,a－2≤0，))∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．
16．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解 (1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围为[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)＜0，,1＋2k＞0，))解得k＞0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|
＝eq \f(1,2)·eq \f(1＋2k2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.