高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.5(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.5(教师版)，共14页。

A级
一、选择题
1．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋eq \f(y2,m)＝1的焦点坐标为( )
A．(±eq \r(3)，0) B．(0，±eq \r(3))
C．(±eq \r(3)，0)或(±eq \r(5)，0) D．(0，±eq \r(3))或(±eq \r(5)，0)
答案 B
解析 因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，则m＝4，所以圆锥曲线x2＋eq \f(y2,m)＝1即为椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1，易知其焦点坐标为(0，±eq \r(3))，故选B.
2．已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ＋csθ＝eq \f(3,4)，则方程x2sinθ－y2csθ＝1表示( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的椭圆
答案 D
解析 因为(sinθ＋csθ)2＝1＋2sinθcsθ＝eq \f(9,16)，所以sinθcsθ＝－eq \f(7,32)＜0，结合θ∈(0，π)，知sinθ>0，csθ<0，又sinθ＋csθ＝eq \f(3,4)＞0，所以sinθ＞－csθ＞0，故eq \f(1,－csθ)＞eq \f(1,sinθ)＞0，因为x2sinθ－y2csθ＝1可化为eq \f(y2,－\f(1,csθ))＋eq \f(x2,\f(1,sinθ))＝1，所以方程x2sinθ－y2csθ＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选D.
3．设F1，F2为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则eq \f(|PF2|,|PF1|)的值为( )
A.eq \f(5,14) B.eq \f(5,13)
C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,9)
答案 B
解析 由题意知a＝3，b＝eq \r(5)，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，
∴|PF2|＝eq \f(b2,a)＝eq \f(5,3).又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|＝2a－|PF2|＝eq \f(13,3)，∴eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(5,3)×eq \f(3,13)＝eq \f(5,13)，故选B.
4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq \r(3)b，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,\r(3))，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3))))2)＝eq \f(\r(6),3).故选A.
5．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 C
解析 因为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c2＝a2－b2＝m2＋n2.
因为c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，所以c2＝am,2n2＝2m2＋c2，所以m2＝eq \f(c4,a2)，n2＝eq \f(c4,a2)＋eq \f(c2,2)，所以eq \f(2c4,a2)＋eq \f(c2,2)＝c2，化为eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).故选C.
6．某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )
A．2eq \r(m＋rn＋r)千米 B.eq \r(m＋rn＋r)千米
C．2mn千米 D．mn千米
答案 A
解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
则近地点A距地心为a－c，远地点B距地心为a＋c.
∴a－c＝m＋r，a＋c＝n＋r，∴a＝eq \f(m＋n,2)＋r，c＝eq \f(n－m,2).
又∵b2＝a2－c2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)＋r))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n－m,2)))2＝mn＋(m＋n)r＋r2
＝(m＋r)(n＋r)．∴b＝eq \r(m＋rn＋r)，
∴短轴长为2b＝2eq \r(m＋rn＋r)千米，故选A.
7．如图，F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2)
C.eq \r(3)－1 D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 连接AF1，
∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2＝90°，即F1A⊥AF2，
又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，
∴∠AF2F1＝eq \f(1,2)∠AF2B＝30°，
因此，在Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2c，
|F1A|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，|F2A|＝eq \f(\r(3),2)|F1F2|＝eq \r(3)c.
根据椭圆的定义，得2a＝|F1A|＋|F2A|＝(1＋eq \r(3))c，
解得a＝eq \f(1＋\r(3),2)c，∴椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1.故选C.
8．椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左焦点为F，直线x＝a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(6\r(5),5)
C.eq \f(8\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
答案 C
解析 设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2eq \r(5)－|ME|)＋(2eq \r(5)－|NE|)．因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L＝4eq \r(5)＋|MN|－|ME|－|NE|≤4eq \r(5)，即直线x＝a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN＝eq \f(1,2)×|MN|×|EF|＝eq \f(1,2)×eq \f(2×4,\r(5))×2＝eq \f(8\r(5),5)，故选C.
9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若直线AC与BD的斜率之积为－eq \f(1,4)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(3,4)
答案 C
解析 设外层椭圆方程为eq \f(x2,ma2)＋eq \f(y2,mb2)＝1(a>b>0，m>1)，
则切线AC的方程为y＝k1(x－ma)，切线BD的方程为y＝k2x＋mb，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k1x－ma，,bx2＋ay2＝a2b2，))消去y，
得(b2＋a2keq \\al(2,1))x2－2ma3keq \\al(2,1)x＋m2a4keq \\al(2,1)－a2b2＝0.
因为Δ＝(2ma3keq \\al(2,1))2－4(b2＋a2keq \\al(2,1))(m2a4keq \\al(2,1)－a2b2)＝0，整理，
得keq \\al(2,1)＝eq \f(b2,a2)·eq \f(1,m2－1).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k2x＋mb，,bx2＋ay2＝a2b2，))消去y，
得(b2＋a2keq \\al(2,2))x2＋2a2mbk2x＋a2m2b2－a2b2＝0，
因为Δ2＝(2a2mbk2)2－4×(b2＋a2keq \\al(2,2))(a2m2b2－a2b2)＝0，
整理，得keq \\al(2,2)＝eq \f(b2,a2)·(m2－1)．所以keq \\al(2,1)·keq \\al(2,2)＝eq \f(b4,a4).因为k1k2＝－eq \f(1,4)，
所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，所以e＝eq \f(\r(3),2)，故选C.
10．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)和圆x2＋y2＝b2，若椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足∠APB＝60°，则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A．0C.eq \f(\r(3),2)答案 D
解析 由椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)焦点在x轴上，
连接OA，OB，OP，依题意，O，P，A，B四点共圆，
∵∠APB＝60°，∠APO＝∠BPO＝30°，
在直角三角形OAP中，∠AOP＝60°，
∴cs∠AOP＝eq \f(b,|OP|)＝eq \f(1,2)，∴|OP|＝eq \f(b,\f(1,2))＝2b，
∴b<|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，
由a2＝b2＋c2，即4(a2－c2)≤a2，
∴3a2≤4c2，即eq \f(c2,a2)≥eq \f(3,4)，∴e≥eq \f(\r(3),2)，又0∴椭圆C的离心率的取值范围是eq \f(\r(3),2)≤e<1.故选D.
二、填空题
11．设P，Q分别是圆x2＋(y－1)2＝3和椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．
答案 eq \f(7\r(3),3)
解析 依据圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径eq \r(3)，设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d＝eq \r(x2＋y－12)＝eq \r(－3y2－2y＋5)＝eq \r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,3)))2＋\f(16,3))，∵－1≤y≤1，∴当y＝－eq \f(1,3)时，d取最大值eq \f(4\r(3),3)，所以P，Q两点间的最大距离为dmax＋eq \r(3)＝eq \f(7\r(3),3).
12．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线y＝eq \f(1,2)x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________．
答案 eq \f(5x2,9)＋eq \f(5y2,4)＝1
解析 设F(1,0)关于直线y＝eq \f(1,2)x的对称点为(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(0＋y,2)＝\f(1,2)×\f(1＋x,2)，,\f(y－0,x－1)×\f(1,2)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,5)，,y＝\f(4,5)，))
由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，
所以2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(6\r(5),5)，a＝eq \f(3\r(5),5)，
又c＝1，所以b2＝a2－c2＝eq \f(9,5)－1＝eq \f(4,5)，
所以椭圆C的方程为eq \f(\a\vs4\al(x2),\f(9,5))＋eq \f(\a\vs4\al(y2),\f(4,5))＝1，即eq \f(5x2,9)＋eq \f(5y2,4)＝1.
13．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,5)，0))，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1))
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(a,5)))2＋y\\al(2,1)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(a,5)))2＋y\\al(2,2)，,\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2a,5)x1－x2＝x\\al(2,1)－x\\al(2,2)＋y\\al(2,1)－y\\al(2,2)，,y\\al(2,1)＝b2－\f(b2,a2)x\\al(2,1)，,y\\al(2,2)＝b2－\f(b2,a2)x\\al(2,2)，))
所以eq \f(2a,5)(x1－x2)＝eq \f(a2－b2,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))，所以eq \f(2a3,5a2－b2)＝x1＋x2.
又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，所以－2a则eq \f(2a3,5a2－b2)<2a，即eq \f(b2,a2)eq \f(1,5).又014．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝eq \f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案 eq \f(\r(6),3)
解析 由已知条件易得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，F(c,0)，
∴eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3),2)a，－\f(b,2)))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3),2)a，－\f(b,2)))，
由∠BFC＝90°，可得eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3),2)a))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3),2)a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))2＝0，c2－eq \f(3,4)a2＋eq \f(1,4)b2＝0，
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，
所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3).
B级
三、解答题
15．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2)，且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋2eq \r(2)y＝0的圆心C.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．
解 (1)圆C方程化为(x－2)2＋(y＋eq \r(2))2＝6，
圆心C(2，－eq \r(2))，半径r＝eq \r(6).
设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,b2＝4.))
所以所求的椭圆方程是eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(－2,0)，F2 (2,0)，
|F2C|＝ eq \r(2－22＋0＋\r(2)2)＝eq \r(2)F2在圆C内，故过F2没有圆C的切线，所以直线l过焦点F1.
设l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，
点C(2，－eq \r(2))到直线l的距离为d＝eq \f(|2k＋\r(2)＋2k|,\r(1＋k2))，
由d＝eq \r(6)，得eq \f(|2k＋\r(2)＋2k|,\r(1＋k2))＝eq \r(6).
化简，得5k2＋4eq \r(2)k－2＝0，解得k＝eq \f(\r(2),5)或k＝－eq \r(2).
故l的方程为eq \r(2)x－5y＋2eq \r(2)＝0或eq \r(2)x＋y＋2eq \r(2)＝0.
16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为eq \f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．
解 (1)∵e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，∴a2＝4b2.
又椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2,1)，
∴eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1.∴a2＝8，b2＝2.故所求椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)设l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
∵Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.
∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
则|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,4))× eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝ eq \r(54－m2).
点P到直线l的距离d＝ eq \f(|m|,\r(1＋\f(1,4)))＝eq \f(2|m|,\r(5)).
∴S△PAB＝eq \f(1,2)d|AB|＝eq \f(1,2)×eq \f(2|m|,\r(5))×eq \r(54－m2)＝eq \r(m24－m2)
≤eq \f(m2＋4－m2,2)＝2.而且仅当m2＝2，即m＝±eq \r(2)时取得最大值．
∴△PAB面积的最大值为2.
17．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(－2,0)，点B(2，eq \r(2))在椭圆C上，直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
解 (1)设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
∵椭圆的左焦点为F1(－2,0)，∴a2－b2＝4.
∵点B(2，eq \r(2))在椭圆C上，∴eq \f(4,a2)＋eq \f(2,b2)＝1，解得a2＝8，b2＝4，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)依题意点A的坐标为(－2eq \r(2)，0)，设P(x0，y0)(不妨设x0>0)，
则Q(－x0，－y0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))得x0＝eq \f(2\r(2),\r(1＋2k2))，y0＝eq \f(2\r(2)k,\r(1＋2k2))，
∴直线AP的方程为y＝eq \f(k,1＋\r(1＋2k2))(x＋2eq \r(2))，
直线AQ的方程为y＝eq \f(k,1－\r(1＋2k2))(x＋2eq \r(2))，
∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(2)k,1＋\r(1＋2k2))))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(2)k,1－\r(1＋2k2))))，
∴|MN|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2)k,1＋\r(1＋2k2))－\f(2\r(2)k,1－\r(1＋2k2))))＝eq \f(2\r(21＋2k2),|k|).
设MN的中点为E，则点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(2),k)))，
则以MN为直径的圆的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(\r(2),k)))2＝eq \f(21＋2k2,k2)，
即x2＋y2＋eq \f(2\r(2),k)y＝4，令y＝0得x＝2或x＝－2，
即以MN为直径的圆经过两定点P1(－2,0)，P2(2,0)．
18．如图，设点A，B的坐标分别为(－eq \r(3)，0)，(eq \r(3)，0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为－eq \f(2,3).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为C，点M，N是轨迹C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．
解 (1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，
kAP·kBP＝eq \f(y,x＋\r(3))·eq \f(y,x－\r(3))＝－eq \f(2,3)(x≠±eq \r(3))，
化简得，点P的轨迹方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1(x≠±eq \r(3))．
(2)证明：由题意知，M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，且AP∥OM，BP∥ON，则直线AP，BP的斜率必存在且不为0.
因为AP∥OM，BP∥ON，所以kOM·kON＝kAP·kBP＝－eq \f(2,3).
设直线MN的方程为x＝my＋t，代入椭圆方程eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，得(3＋2m2)y2＋4mty＋2t2－6＝0，①
设M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1，y2是方程①的两根，
所以y1＋y2＝－eq \f(4mt,3＋2m2)，y2y2＝eq \f(2t2－6,3＋2m2).
又kOM·kON＝eq \f(y1y2,x1x2)＝eq \f(y1y2,m2y1y2＋mty1＋y2＋t2)＝eq \f(2t2－6,3t2－6m2)，
所以eq \f(2t2－6,3t2－6m2)＝－eq \f(2,3)，即2t2＝2m2＋3.
又S△MON＝eq \f(1,2)|t||y1－y2|＝eq \f(1,2)·eq \f(|t|\r(－24t2＋48m2＋72),3＋2m2)，
所以S△MON＝eq \f(2\r(6)t2,4t2)＝eq \f(\r(6),2)，即△MON的面积为定值eq \f(\r(6),2).