高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.6(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.6(教师版)，共11页。
一、选择题
1．“kn且e1e2>1 B．m>n且e1e2n，且m2－2>0.
从而eeq \\al(2,1)·eeq \\al(2,2)＝eq \f(m2－1n2＋1,m2·n2)＝eq \f(m2－12,m2·m2－2)，
则eeq \\al(2,1)eeq \\al(2,2)－1＝eq \f(m2－12,m2m2－2)－1＝eq \f(1,m2m2－2)>0，即e1e2>1.故选A.
6．已知离心率为eq \f(\r(5),2)的双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16
C．84 D．4
答案 B
解析 由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝eq \f(b,a)x上，由题意可知|F2M|＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝eq \r(c2－b2)＝a.由S△OMF2＝16，
可得eq \f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，
所以a＝8，b＝4，c＝4eq \r(5)，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
7．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的两条渐近线与直线x＝eq \f(a2,c)分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1，eq \r(2)) B．(eq \r(2)，2)
C．(1,2) D．(eq \r(2)，＋∞)
答案 B
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的两条渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，x＝eq \f(a2,c)时，
y＝±eq \f(ab,c)，不妨设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，－\f(ab,c)))，
∵60°＜∠AFB＜90°，∴eq \f(\r(3),3)＜kFB＜1，∴eq \f(\r(3),3)＜eq \f(\f(ab,c),c－\f(a2,c))＜1，
∴eq \f(\r(3),3)＜eq \f(a,b)＜1，∴eq \f(1,3)＜eq \f(a2,c2－a2)＜1，∴1＜e2－1＜3，∴eq \r(2)＜e＜2.故选B.
8．已知椭圆C1：eq \f(x2,a\\al(2,1))＋eq \f(y2,b\\al(2,1))＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：eq \f(x2,a\\al(2,2))－eq \f(y2,b\\al(2,2))＝1(a2＞0，b2＞0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)的最小值为( )
A.eq \f(5,2) B．4
C.eq \f(9,2) D．9
答案 C
解析 由题意设焦距为2c，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a2，①
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a1，②
又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，③
①2＋②2，得|PF1|2＋|PF2|2＝2aeq \\al(2,1)＋2aeq \\al(2,2)，④
将④代入③，得aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＝2c2，
∴4eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)＝eq \f(4c2,a\\al(2,1))＋eq \f(c2,a\\al(2,2))＝eq \f(4a\\al(2,1)＋a\\al(2,2),2a\\al(2,1))＋eq \f(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2),2a\\al(2,2))＝eq \f(5,2)＋eq \f(2a\\al(2,2),a\\al(2,1))＋eq \f(a\\al(2,1),2a\\al(2,2))
≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(2a\\al(2,2),a\\al(2,1))·\f(a\\al(2,1),2a\\al(2,2)))＝eq \f(9,2)，当且仅当eq \f(2a\\al(2,2),a\\al(2,1))＝eq \f(a\\al(2,1),2a\\al(2,2))，
即aeq \\al(2,1)＝2aeq \\al(2,2)时，取等号．故选C.
9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，＋∞)) D．(0，＋∞)
答案 A
解析 设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)，
由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，
即有m＝10，n＝2c，由椭圆的定义可得m＋n＝2a1，
由双曲线的定义可得m－n＝2a2，即有a1＝5＋c，a2＝5－c(c10，
可得c>eq \f(5,2)，即有eq \f(5,2)0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)，作圆x2＋y2＝eq \f(a2,4)的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))，则双曲线的离心率为________．
答案 eq \f(\r(10),2)
解析 圆x2＋y2＝eq \f(a2,4)的半径为eq \f(a,2)，由eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))知，E是FP的中点，设F′(c,0)，由于O是FF′的中点，所以OE⊥PF，|OE|＝eq \f(1,2)|PF′|⇒|PF′|＝2|OE|＝a.
由双曲线定义，|FP|＝3a，因为FP是圆的切线，切点为E，所以FP⊥OE，从而∠FPF′＝90°.由勾股定理，得|FP|2＋|F′P|2＝|FF′|2⇒9a2＋a2＝4c2⇒e＝eq \f(\r(10),2).
13．已知l是双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则P到x轴的距离为________．
答案 2
解析 由题意取F1(－eq \r(6)，0)，F2(eq \r(6)，0)，不妨设l的方程为y＝eq \r(2)x，则可设P(x0，eq \r(2)x0)，由eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(－eq \r(6)－x0，－eq \r(2)x0)·(eq \r(6)－x0，－eq \r(2)x0)＝3xeq \\al(2,0)－6＝0，得x0＝±eq \r(2)，故P到x轴的距离为eq \r(2)|x0|＝2.
14．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________．
答案 eq \r(3)
解析 设椭圆的半长轴为a1，椭圆的离心率为e1，则e1＝eq \f(c,a1)，a1＝eq \f(c,e1).
设双曲线的实半轴为a，双曲线的离心率为e，e＝eq \f(c,a)，a＝eq \f(c,e).
|PF1|＝x，|PF2|＝y(x>y>0)，
则由余弦定理得4c2＝x2＋y2－2xycs60°＝x2＋y2－xy，
当点P看作是椭圆上的点时，有4c2＝(x＋y)2－3xy＝4aeq \\al(2,1)－3xy，①
当点P看作是双曲线上的点时，有4c2＝(x－y)2＋xy＝4a2＋xy，②
①②联立消去xy，得4c2＝aeq \\al(2,1)＋3a2，
即4c2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,e1)))2＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,e)))2，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e1)))2＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))2＝4，
又因为eq \f(1,e1)＝e，所以e2＋eq \f(3,e2)＝4，
整理得e4－4e2＋3＝0，解得e2＝3，所以e＝eq \r(3)，
即双曲线的离心率为eq \r(3).
三、解答题
15．已知点M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2eq \r(2)，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最小值．
解 (1)由|PM|－|PN|＝2eq \r(2)知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝eq \r(2).
又焦距2c＝4，所以虚半轴长b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2).
所以W的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1(x≥eq \r(2))．
(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2，从而eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝xeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,1)＝2.
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠±1)，与W的方程联立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，
则x1＋x2＝eq \f(2km,1－k2)，x1x2＝eq \f(m2＋2,k2－1)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝eq \f(1＋k2m2＋2,k2－1)＋eq \f(2k2m2,1－k2)＋m2
＝eq \f(2k2＋2,k2－1)＝2＋eq \f(4,k2－1).
又因为x1x2>0，所以k2－1>0.
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))>2.
综上所述，当AB⊥x轴时，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))取得最小值2.
16．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为eq \r(2)，求实数k的值．
解 (1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝1，,y＝kx－1，))有两个不同的实数根，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋81－k2>0，))
解得－eq \r(2)x2时，
S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝eq \f(1,2)(|x1|＋|x2|)＝eq \f(1,2)|x1－x2|.
所以S△OAB＝eq \f(1,2)|x1－x2|＝eq \r(2)，
所以(x1－x2)2＝(2eq \r(2))2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2k,1－k2)))2＋eq \f(8,1－k2)＝8，
解得k＝0或k＝±eq \f(\r(6),2)，又因为－eq \r(2)