高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第9章　统计与统计案例9.3(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第9章　统计与统计案例9.3(教师版)，共13页。

A级
一、选择题
1．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且eq \(y,\s\up14(^))＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且eq \(y,\s\up14(^))＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且eq \(y,\s\up14(^))＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且eq \(y,\s\up14(^))＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案 D
解析 由回归直线方程eq \(y,\s\up14(^))＝eq \(b,\s\up14(^))x＋eq \(a,\s\up14(^))，知当eq \(b,\s\up14(^))>0时，y与x正相关；当eq \(b,\s\up14(^))<0时，y与x负相关．∴①④一定错误．故选D.
2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A．r2C．r4答案 A
解析 易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r23．某考察团对全国10大城市居民人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)进行统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为eq \(y,\s\up14(^))＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A．83% B．72% C．67% D．66%
答案 A
解析 由7.675＝0.66x＋1.562，得x≈9.262，
所以eq \f(7.675,9.262)×100%≈83%.故选A.
4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为eq \(y,\s\up14(^))＝0.7x＋0.35，那么表中t的精确值为 ( )
A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5
答案 A
解析 ∵eq \(x,\s\up14(－))＝eq \f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，代入eq \(y,\s\up14(^))＝0.7x＋0.35，得eq \(y,\s\up14(^))＝3.5，∴t＝3.5×4－(2.5＋4＋4.5)＝3.故选A.
5．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数eq \x\t(x)＝3，eq \x\t(y)＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.eq \(y,\s\up14(^))＝0.4x＋2.3 B.eq \(y,\s\up14(^))＝2x－2.4
C.eq \(y,\s\up14(^))＝－2x＋9.5 D.eq \(y,\s\up14(^))＝－0.3x＋4.4
答案 A
解析 由变量x与y正相关知C、D均错误，又回归直线经过样本点的中心(3,3.5)，代入验证得A正确，B错误．故选A.
6．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
答案 D
解析 D选项中，若该大学某女生身高为170 cm，根据回归方程只能近似认为其体重为58.79 kg，但不是绝对的．故D不正确．故选D.
7．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表如下：
对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( )
A．a＝45，c＝15 B．a＝40，c＝20
C．a＝35，c＝25 D．a＝30，c＝30
答案 A
解析 根据2×2列联表与独立性检验可知，
当eq \f(a,a＋10)与eq \f(c,c＋30)相差越大时，X与Y有关系的可能性越大，
即a、c相差越大，eq \f(a,a＋10)与eq \f(c,c＋30)相差越大，故选A.
8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为eq \(y,\s\up14(^))＝－4x＋a.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 由题意可知eq \(x,\s\up14(－))＝eq \f(4＋5＋6＋7＋8＋9,6)＝eq \f(13,2)，
eq \(y,\s\up14(－))＝eq \f(90＋84＋83＋80＋75＋68,6)＝80.
又点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)，80))在直线eq \(y,\s\up14(^))＝－4x＋a上，故a＝106.
所以回归方程为y＝－4x＋106.
由线性规划知识可知，点(5,84)，(9,68)在直线y＝－4x＋106的左下方．
故所求事件的概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选B.
9．下列说法错误的是( )
A．回归直线过样本点的中心(eq \(x,\s\up14(－))，eq \(y,\s\up14(－)))
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近1
C．在回归直线方程eq \(y,\s\up14(^))＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量eq \(y,\s\up14(^))平均增加0.2个单位
D．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
答案 D
解析 回归直线过样本点的中心(eq \(x,\s\up14(－))，eq \(y,\s\up14(－)))，A正确；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，B正确；在线性回归方程eq \(y,\s\up14(^))＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，C正确；对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，因此D不正确．故选D.
10．已知x与y之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为eq \(y,\s\up14(^))＝eq \(b,\s\up14(^))x＋eq \(a,\s\up14(^)).若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.eq \(b,\s\up14(^))>b′，eq \(a,\s\up14(^))>a′ B.eq \(b,\s\up14(^))>b′，eq \(a,\s\up14(^))C.eq \(b,\s\up14(^))a′ D.eq \(b,\s\up14(^))答案 C
解析 eq \x\t(x)＝eq \f(21,6)＝eq \f(7,2)，eq \x\t(y)＝eq \f(13,6)，
代入公式求得eq \(b,\s\up14(^))＝eq \f(58－6×\f(7,2)×\f(13,6),91－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))2)＝eq \f(5,7)，eq \(a,\s\up14(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up14(^))eq \x\t(x)＝eq \f(13,6)－eq \f(5,7)×eq \f(7,2)＝－eq \f(1,3)，而b′＝2，a′＝－2，∴eq \(b,\s\up14(^))a′，故选C.
二、填空题
11．x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．
①x，y是负相关关系；
②在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关指数为Req \\al(2,1)，用eq \(y,\s\up14(^))＝eq \(b,\s\up14(^))x＋eq \(a,\s\up14(^))拟合时的相关指数为Req \\al(2,2)，则Req \\al(2,1)>Req \\al(2,2)；
③x，y之间不能建立线性回归方程．
答案 ①②
解析 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c1ec2x拟合比用eq \(y,\s\up14(^))＝eq \(b,\s\up14(^))x＋eq \(a,\s\up14(^))拟合效果要好，则Req \\al(2,1)＞Req \\al(2,2)，故②正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误．
12．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，6)都在曲线y＝bx2－eq \f(1,3)附近波动．经计算eq \(∑,\s\up14(6),\s\d10(i＝1))xi＝11，eq \(∑,\s\up14(6),\s\d10(i＝1))yi＝13，eq \(∑,\s\up14(6),\s\d10(i＝1))xeq \\al(2,i)＝21，则实数b的值为________．
答案 eq \f(5,7)
解析 令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－eq \f(1,3)，此时eq \x\t(t)＝eq \f(\(∑,\s\up14(6),\s\d10(i＝1))x\\al(2,i),6)＝eq \f(7,2)，eq \x\t(y)＝eq \f(\(∑,\s\up14(6),\s\d10(i＝1))yi,6)＝eq \f(13,6)，代入y＝bt－eq \f(1,3)，得eq \f(13,6)＝b×eq \f(7,2)－eq \f(1,3)，解得b＝eq \f(5,7).
13．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：
p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
q：若某人未使用该血清，则他在一年中有95%的可能性得感冒；
r：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s：这种血清预防感冒的有效率为5%.
则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)
①p∧(￢q)；②(￢p)∧q；③(￢p∧￢q)∧(r∨s)；
④(p∨￢r)∧(￢q∨s)．
答案 ①④
解析 由题意，得K2≈3.918，P(K2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．所以p真，q假，r假，s假．由真值表知①④为真命题．
14．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下的列联表：
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为eq \f(2,7)，则下列说法正确的是________．
①列联表中c的值为30，b的值为35；
②列联表中c的值为15，b的值为50；
③根据列联表中的数据，若在犯错误的概率不超过0.025的前提下，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若在犯错误的概率不超过0.025的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”．
答案 ③
解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，
成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，
①②错误；根据列联表中的数据，得到
K2＝eq \f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6.1＞5.024，
因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩与班级有关系”．故③正确，④错误．
B级
三、解答题
15.已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：
(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？
(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；
(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润．
相关公式：eq \(b,\s\up14(^))＝
eq \(a,\s\up14(^))＝eq \(y,\s\up14(－))－eq \(b,\s\up14(^))eq \(x,\s\up14(－)).
解 (1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高．
(2)第1年前7个月的总利润为1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28(百万元)，
第2年前7个月的总利润为2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31(百万元)，
第3年前7个月的总利润为4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41(百万元)，
所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．
∴eq \(b,\s\up14(^))＝eq \f(54－4×2.5×5,30－4×2.52)＝0.8，∴eq \(a,\s\up14(^))＝5－2.5×0.8＝3，
∴eq \(y,\s\up14(^))＝0.8x＋3，当x＝8时，eq \(y,\s\up14(^))＝0.8×8＋3＝9.4.
∴估计第3年8月份的利润为9.4百万元．
16．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
旧养殖法
新养殖法
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．
eq \a\vs4\al(附：)
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
解 (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．
由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．
旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，
故P(B)的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为
(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，
故P(C)的估计值为0.66.
因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
K2＝eq \f(200×62×66－34×382,100×100×96×104)≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为
(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，
箱产量低于55 kg的直方图面积为
(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，
故新养殖法产量的中位数的估计值为
50＋eq \f(0.5－0.34,0.068)≈52.35(kg)．
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
Y
X
y1
y2
总计
x1
a
10
a＋10
x2
c
30
c＋30
总计
60
40
100
单价x(元)
4
5
6
7
8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
总计
月份
1
2
3
4
利润y(单位：百万元)
4
4
6
6
箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200