高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第3章　三角函数、解三角形3.5(学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第3章　三角函数、解三角形3.5(学生版)，共6页。

A级
一、选择题
1．计算sin43°cs13°＋sin47°cs103°的结果等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
2.eq \f(sin47°－sin17°cs30°,cs17°)＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
3．已知过点(0,1)的直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( )
A．－eq \f(7,3) B.eq \f(7,3) C.eq \f(5,7) D．1
4．cseq \f(π,9)·cseq \f(2π,9)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,9)))＝( )
A．－eq \f(1,8) B．－eq \f(1,16) C.eq \f(1,16) D.eq \f(1,8)
5．eq \f(\r(3),cs10°)－eq \f(1,sin170°)＝( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
6．若0<αA.eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3) C.eq \f(5\r(3),9) D．－eq \f(\r(6),9)
7．已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin2α,sin2β)的值为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．3 D．－3
8．若将函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋eq \r(3)cs(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，平移后的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称，则函数g(x)＝cs(x＋φ)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,6)))上的最小值是( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)
9．在斜三角形ABC中，sinA＝－eq \r(2)csB·csC，且tanBtanC＝1－eq \r(2)，则角A的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(3π,4)
10．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，且sinθ－csθ＝－eq \f(\r(14),4)，则eq \f(2cs2θ－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)))等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,2)
二、填空题
11．已知cs(α＋β)cs(α－β)＝eq \f(1,3)，则cs2α－sin2β＝________.
12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tanβ＝－eq \f(1,7)，则2α－β的值为________．
13．已知α、β为三角形的两个内角，csα＝eq \f(1,7)，sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)，则β＝________.
14．已知sinα＝eq \f(1,2)＋csα，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则eq \f(cs2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))的值为________．
B级
三、解答题
15．已知a＝(sinx，eq \r(3)csx)，b＝(csx，－csx)，函数f(x)＝a·b＋eq \f(\r(3),2).
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)若方程f(x)＝eq \f(1,3)在(0，π)上的解为x1，x2，求cs(x1－x2)的值．
16．已知函数f(x)＝2cs2x－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(7π,6))).
(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；
(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝eq \f(3,2)，b＋c＝2.求实数a的取值范围．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB＋eq \r(3)acsB＝eq \r(3)c.
(1)求角A的大小；
(2)已知函数f(x)＝λcs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(A,2)))－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y＝f(x)的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的eq \f(3,2)倍后便得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)的最小正周期为π.当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求函数f(x)的值域．
18．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4))).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,3)))，且F(x)＝－4λf(x)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的最小值是－eq \f(3,2)，求实数λ的值．
解 (1)∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4)))
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋(sinx－csx)(sinx＋csx)
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋sin2x－cs2x
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x－cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
∴函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．
(2)F(x)＝－4λf(x)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))
＝－4λsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))))
＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－4λsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－λ))2－1－2λ2.
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,3)))，∴0≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)，∴0≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1.
①当λ<0时，当且仅当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝0时，F(x)取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；
②当0≤λ≤1时，当且仅当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝λ时，F(x)取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－eq \f(3,2)，解得λ＝－eq \f(1,2)(舍)或λ＝eq \f(1,2)；
③当λ>1时，当且仅当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝1时，F(x)取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－eq \f(3,2)，解得λ＝eq \f(5,8)，这与λ>1矛盾．
综上所述，λ＝eq \f(1,2).