高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第11章　算法、复数、推理与证明11.5(学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第11章　算法、复数、推理与证明11.5(学生版)，共5页。
一、选择题
1．用数学归纳法证明2n>n2(n≥5，n∈N*)，第一步应验证( )
A．n＝4 B．n＝5 C．n＝6 D．n＝7
2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝eq \f(n2n2＋1,3)时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( )
A．(k＋1)2＋2k2
B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2
D.eq \f(1,3)(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
3．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A．30 B．26 C．36 D．6
5．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )
A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k
6．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 ( )
A．n＋1 B．2n
C.eq \f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1
7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为eq \f(nn＋1,2)＝eq \f(1,2)n2＋eq \f(1,2)n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数N(n,3)＝eq \f(1,2)n2＋eq \f(1,2)n；
正方形数N(n,4)＝n2；
五边形数N(n,5)＝eq \f(3,2)n2－eq \f(1,2)n；
六边形数N(n,6)＝2n2－n.
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝( )
A．500 B．1000 C．1500 D．2000
8．若数列{an}满足an＋5an＋1＝36n＋18，n∈N*，且a1＝4，猜想其通项公式为( )
A．3n＋1 B．4n C．5n－1 D．6n－2
二、填空题
9．设Sn＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)，则Sn＋1－Sn＝______.
10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则用n表示的f(n)＝________.
11．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝______.
12．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为________．
三、解答题
13．设等差数列{an}的公差d>0，且a1>0，记Tn＝eq \f(1,a1a2)＋eq \f(1,a2a3)＋…＋eq \f(1,anan＋1).
(1)用a1，d分别表示T1，T2，T3，并猜想Tn；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
14．在数列{an}中，an＝cseq \f(π,3×2n－2)(n∈N*)．
(1)试将an＋1表示为an的函数关系式；
(2)若数列{bn}满足bn＝1－eq \f(2,n·n！)(n∈N*)，猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论．
15．已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn且Tn＝1－eq \f(1,2)bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较eq \f(1,bn)与Sn＋1的大小，并说明理由．
16．函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．
(1)证明：2≤xn