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2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第七章立体几何第二节空间点直线平面之间的位置关系
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这是一份2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第七章立体几何第二节空间点直线平面之间的位置关系，共60页。PPT课件主要包含了不在一条直线上，有且只有一条，任何一个平面，互相平行，相等或互补，锐角或直角，a∩α＝A，a∥α，a⊂α，α∥β等内容，欢迎下载使用。
1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过_____________________的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们__________________过该点的公共直线．
2．空间两条直线的位置关系
(2)平行公理(公理4)和等角定理：①平行公理：平行于同一条直线的两条直线____________．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_______________．(3)异面直线所成的角：①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_____________________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；②范围：_______．
1．公理的作用公理1：可用来证明点、直线在平面内．公理2：可用来确定一个平面．公理3：(1)可用来确定两个平面的交线．(2)判断或证明多点共线．(3)判断或证明多线共点．
公理4：(1)可用来判断空间两条直线平行．(2)等角定理的理论依据．
2．异面直线的两个结论(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
1．(基础知识：平面的概念)下列命题中，真命题是( )A．空间不同三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．两组对边相等的四边形是平行四边形D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内
2．(基础知识：空间直线的关系)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )A．一定平行 B．一定相交C．一定是异面直线 D．一定垂直
4．(基础知识：点、线、面关系的推理)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________(填序号).①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.答案：③④
[典例剖析]类型 1 共面问题[例1] (1)如图所示，P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，则这四个点不共面的是( )
题型一 平面的基本性质
解析：选项ABC图中四点一定共面，选项D中四点不共面．
①证明：四边形BCHG是平行四边形；②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
证明：连接EF，CD1，A1B.∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
方法总结1．由元素确定平面时，要看元素满足的条件(1)由点确定平面：三点不共线；(2)由点和线确定平面：点不在直线上；(3)由线确定平面：两条相交线，两条平行线．
2．共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
[题组突破]1．如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面
2．已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
证明：(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．
1．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( )A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能
题型二 空间直线的位置关系
解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，∴选项AB错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，∴选项C错误．
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，则GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，∴在图②④中GH与MN异面．
解析：过N作NP⊥BB1于点P，连接MP(图略)，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN, ①正确．过M，N分别作MR⊥A1B1，NS⊥B1C1于点R，S(图略)，则当M不是AB1的中点，N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M，N分别是AB1，BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③正确．综上所述，其中正确结论的序号是①③.
方法总结1．异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
2．线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断．(2)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．
3．(拓展)注意几个“唯一”结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
题型三 异面直线所成的角
(2)如图所示，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________________________.
解析：如图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则ME∥AN，则异面直线AN，CM所成的角即为∠EMC.
1．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4 ②p1∧p2 ③¬p2∨p3 ④¬p3∨¬p4
解析：p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；
p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．由以上结论知¬p2，¬p3，¬p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题．
2．(2020·高考全国卷Ⅲ)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；(2)点C1在平面AEF内．
证明：(1)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1.又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC.
如图所示，平面α∩β＝l，AD⊂α且AD⊥l，BC⊂β且BC⊥l，A，B∈l.AD与BC是异面直线，且所成的角为θ，AD＝b，BC＝c，AB＝a，求DC的长度．
解析：在平面α内，过B作BE綊AD，由异面直线所成角的定义知∠CBE＝θ，四边形ADEB为矩形，
1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过_____________________的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们__________________过该点的公共直线．
2．空间两条直线的位置关系
(2)平行公理(公理4)和等角定理：①平行公理：平行于同一条直线的两条直线____________．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_______________．(3)异面直线所成的角：①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_____________________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；②范围：_______．
1．公理的作用公理1：可用来证明点、直线在平面内．公理2：可用来确定一个平面．公理3：(1)可用来确定两个平面的交线．(2)判断或证明多点共线．(3)判断或证明多线共点．
公理4：(1)可用来判断空间两条直线平行．(2)等角定理的理论依据．
2．异面直线的两个结论(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
1．(基础知识：平面的概念)下列命题中，真命题是( )A．空间不同三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．两组对边相等的四边形是平行四边形D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内
2．(基础知识：空间直线的关系)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )A．一定平行 B．一定相交C．一定是异面直线 D．一定垂直
4．(基础知识：点、线、面关系的推理)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________(填序号).①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.答案：③④
[典例剖析]类型 1 共面问题[例1] (1)如图所示，P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，则这四个点不共面的是( )
题型一 平面的基本性质
解析：选项ABC图中四点一定共面，选项D中四点不共面．
①证明：四边形BCHG是平行四边形；②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
证明：连接EF，CD1，A1B.∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
方法总结1．由元素确定平面时，要看元素满足的条件(1)由点确定平面：三点不共线；(2)由点和线确定平面：点不在直线上；(3)由线确定平面：两条相交线，两条平行线．
2．共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
[题组突破]1．如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面
2．已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
证明：(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．
1．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( )A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能
题型二 空间直线的位置关系
解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，∴选项AB错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，∴选项C错误．
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，则GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，∴在图②④中GH与MN异面．
解析：过N作NP⊥BB1于点P，连接MP(图略)，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN, ①正确．过M，N分别作MR⊥A1B1，NS⊥B1C1于点R，S(图略)，则当M不是AB1的中点，N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M，N分别是AB1，BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③正确．综上所述，其中正确结论的序号是①③.
方法总结1．异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
2．线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断．(2)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．
3．(拓展)注意几个“唯一”结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
题型三 异面直线所成的角
(2)如图所示，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________________________.
解析：如图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则ME∥AN，则异面直线AN，CM所成的角即为∠EMC.
1．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4 ②p1∧p2 ③¬p2∨p3 ④¬p3∨¬p4
解析：p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；
p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．由以上结论知¬p2，¬p3，¬p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题．
2．(2020·高考全国卷Ⅲ)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；(2)点C1在平面AEF内．
证明：(1)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1.又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC.
如图所示，平面α∩β＝l，AD⊂α且AD⊥l，BC⊂β且BC⊥l，A，B∈l.AD与BC是异面直线，且所成的角为θ，AD＝b，BC＝c，AB＝a，求DC的长度．
解析：在平面α内，过B作BE綊AD，由异面直线所成角的定义知∠CBE＝θ，四边形ADEB为矩形，
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