2022届高考数学理一轮复习新人教版课件:第八章平面解析几何第三节圆的方程
展开D2+E2-4F>0
2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2;(2)点M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2;(3)点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2
1.(基础知识:圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( )A.(2,3) B.(-2,3)C.(-2,-3) D.(2,-3)
2.(基本方法:求圆的方程)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4
3.(基本方法:求圆的方程)△AOB中,A(4,0),B(0,3),O(0,0),则△AOB外接圆的方程为_________________________.答案:x2+y2-4x-3y=0
4.(基础知识:二元二次方程表示圆的条件)x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是________________.
5.(基本能力:数形结合)半径为3,圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为___________________________.
答案:(x-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+3)2=9
[典例剖析][典例] (1)圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是( )A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=4
解析:根据题意可设圆的方程为x2+(y-b)2=1,因为圆过点A(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.
(2)在平面直角坐标系xOy中,以点A(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,求半径最大的圆的标准方程.
方法总结求圆的方程的方法
[对点训练]1.(母题变式)将本例(1)改为圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是( )A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0解析:根据题意,设圆心坐标为(0,r),半径为r,可设圆的方程为x2+(y-r)2=r2,则32+(r-1)2=r2,解得r=5,可得圆的方程为x2+y2-10y=0.
2.(母题变式)本例(2)改为:在平面直角坐标系xOy中,过点A(1,0)作直线mx-y-2m-1=0(m∈R)的垂线,垂足为B,以A,B的连线段为直径的所有圆中,半径最大的圆的一般方程为____________________________.
x2+y2-3x+y+2=0
(x+1)2+(y+2)2=10
答案:x2+y2+2x-3=0
类型 2 相关点(代入法)求轨迹方程 [例2] 设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
方法总结与圆有关的轨迹问题的四种求法(1)直接法:直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法;(2)定义法:根据圆的定义列方程求解的方法;(3)几何法:利用圆的几何性质,得出方程的方法;(4)代入法(相关点法):找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式的方法.
[题组突破]1.(2020·内蒙古模拟)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.解析:(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).
2.已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
[对点训练] 已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是________________.解析:因为圆C:x2+y2-4x-2y=0,故圆C是以C(2,1)为圆心,半径r=的圆.设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A′(m,n),
解析:由题意可知圆心在第一象限,设为(a,b).∵圆与两坐标轴均相切,∴a=b,且半径r=a,∴圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.∵点(2,1)在圆上,∴(2-a)2+(1-a)2=a2,∴a2-6a+5=0,解得a=1或a=5.
2.(2020·高考全国卷Ⅰ)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
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