2022届高考数学理一轮复习新人教版课件:第八章平面解析几何素养专题七圆锥曲线问题的优化运算策略
展开圆锥曲线问题运算量大,综合性强,因此,在解答圆锥曲线问题时必须研究技巧与策略,寻求突破点,选用适当方法,以求做到选择捷径、简化计算、避繁就简、合理解题,收到事半功倍之效.素养1 回归定义,以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念,并用相应的概念解决问题,圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点,又是新知识、新思维的生长点.若能根据已知条件,巧妙灵活应用定义,往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果.
[例1] 已知圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程.[思路点拨] 通过平行线的性质,结合圆的相关性质,通过三角形中等角对等边的转化确定定值问题,并利用椭圆的定义来求解相应的轨迹方程.
[点评] 本题主要考查平行线的性质,圆的相关性质与三角形的性质,椭圆的定义与轨迹方程的求解.圆锥曲线的定义揭示的是事物的本质属性.素养 2 巧设参数,变换主元巧设参数的实质是通过引入参变量加以替换,使得圆锥曲线中相关或不相关的量统一在参变量下,减少未知量的个数,这样解决问题更方便,同时可以进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变.
[例2] 设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆C:(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )A.(1,3) B.(1,4)C.(2,3) D.(2,4)
[思路点拨] 先设出直线l的方程x=ty+m(这样可以避免讨论直线的斜率是否存在问题),根据直线与抛物线相交于两点得到Δ=16t2+16m>0,结合根与系数的关系与中点坐标公式确定点M的坐标,利用直线l与圆相切,分别得到两直线垂直以及半径的关系式,进而可以判断r的取值范围.
解析:不妨设直线l的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线y2=4x并整理得y2-4ty-4m=0,则有Δ=16t2+16m>0,y1+y2=4t,y1y2=-4m,那么x1+x2=(ty1+m)+(ty2+m)=4t2+2m,可得线段AB的中点M(2t2+m,2t),而由题可得直线AB与直线MC垂直,即kMC·kAB=-1,
[点评] 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,直线的方程与应用,点到直线的距离公式,考查运算求解能力、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.巧妙通过直线方程的设置,引入参数,利用直线与圆锥曲线的位置关系加以转化,结合题目条件通过分析参数的取值范围达到解决问题的目的.
素养3 数形结合、偷梁换柱在圆锥曲线的一些问题中,许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义,挖掘题目中隐含的几何意义,采用数形结合的思想方法,可解决一些相应问题.
[点评] 本题主要考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、直线方程、直线与双曲线的位置关系等.
素养4 极端策略,围魏救赵极端策略是一种重要的数学思想,灵活地借助极限思想,从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变.通过圆锥曲线问题的极端元素,灵活借助极端策略解题,可以避开抽象及复杂运算,优化解题过程,降低难度,是简化圆锥曲线运算的一条有效且重要途径.
[思路点拨] 根据双曲线的定义得到关系式|PF1|=|PF2|+2,通过分类讨论,结合极限思想确定当∠F1PF2=90°时与当∠F1F2P=90°时关系式的最值,数形结合即可得△F1PF2为锐角三角形时关系式的取值范围.
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