初中冀教版第29章 直线与圆的位置关系综合与测试优秀同步训练题

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系章节训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若O是ABC的内心，当时，（       ）

A．130° B．160° C．100° D．110°

2、如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　）

A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2

3、如图，若的半径为R，则它的外切正六边形的边长为（       ）

A． B． C． D．

4、如图，与相切于点，经过的圆心与交于，若，则（       ）

A． B． C． D．

5、如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（　　）

A．50° B．55° C．65° D．75°

6、已知半圆O的直径AB＝8，沿弦EF折叠，当折叠后的圆弧与直径AB相切时，折痕EF的长度m（　　）

A．m＝4 B．m＝4 C．4≤m≤4 D．4≤m≤4

7、已知⊙O的半径等于8，点P在直线l上，圆心O到点P的距离为8，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相切 B．相交

C．相离、相切或相离 D．相切或相交

8、如图，PA是的切线，切点为A，PO的延长线交于点B，若，则的度数为（       ）．

A．20° B．25° C．30° D．40°

9、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（       ）

A． B． C． D．

10、如图，，是的切线，，是切点，，是上的点，若，，则的度数为（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知圆O的半径为10cm，OP＝8cm，则点P和圆O的位置关系是________．

2、如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度．

3、在同一平面上，外有一点P到圆上的最大距离是8cm，最小距离为2cm，则的半径为______cm．

4、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．则∠APB=________度；

5、已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在中，，BO平分，交AC于点O，以点O为圆心，OC长为半径画．

(1)求证：AB是的切线；

(2)若，，求的半径．

2、如图，在中，，平分，与交于点，，垂足为，与交于点，经过，，三点的与交于点．

(1)求证是的切线；

(2)若，，求的半径．

3、如图，在中，，平分交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；

(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）．

4、如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．

(1)求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；

(2)在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径．

5、如图，是的切线，点在上，与相交于，是的直径，连接，若．

(1)求证：平分；

(2)当，时，求的半径长．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

由三角形内角和以及内心定义计算即可

【详解】

∵

∴

又∵O是ABC的内心

∴OB、OC为角平分线，

∴

∴180°=180°-50°=130°

故选：A．

【点睛】

本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

2、D

【解析】

【分析】

先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案

【详解】

解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P，

由题意得：BC=4cm，

∵六边形ABCD是正六边形，

∴∠BOC=360°÷6=60°，

又∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

如图连结OA，OB，OG，根据六边形ABCDEF为圆外切正六边形，得出∠AOB=60°△AOB为等边三角形，根据点G为切点，可得OG⊥AB，可得OG平分∠AOB，得出∠AOC=，根据锐角三角函数求解即可．

【详解】

解：如图连结OA，OB，OG，

∵六边形ABCDEF为圆外切正六边形，

∴∠AOB=360°÷6=60°，△AOB为等边三角形，

∵点G为切点，

∴OG⊥AB，

∴OG平分∠AOB，

∴∠AOC=，

∴cos30°=，

∴．

故选择B．

【点睛】

本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键．

4、B

【解析】

【分析】

连结CO，根据切线性质与相切于点，得出OC⊥BC，根据直角三角形两锐角互余∠COB=90°-∠B=90°-40°=50°，然后利用圆周角定理即可．

【详解】

解：连结CO，

∵与相切于点，

∴OC⊥BC，

∴∠COB+∠B=90°，

∵，

∴∠COB=90°-∠B=90°-40°=50°，

∴．

故选B．

【点睛】

本题考查圆的切线性质，直角三角形两锐角互余性质，圆周角定理，掌握圆的切线性质，直角三角形两锐角互余性质，圆周角定理是解题关键．

5、C

【解析】

【分析】

首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．

【详解】

解：∵BD是切线，

∴BD⊥AB，

∴∠ABD＝90°，

∵∠BOC＝50°，

∴∠A＝∠BOC＝25°，

∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

6、D

【解析】

【分析】

根据题意作出图形，根据垂径定理可得,设，则，分情况讨论求得最大值与最小值，即可解决问题

【详解】

解：如图，

根据题意，折叠后的弧为，为切点，设点为所在的圆心，的半径相等，即，连接，设交于点，

根据折叠的性质可得，又则四边形是菱形，且

设，则

则当取得最大值时，取得最小值，即取得最小值，

当取得最小值时，取得最大值，

根据题意，当点于点重合时，四边形是正方形

则

此时

当点与点重合时，此时最小，

则

即

则

故选D

【点睛】

本题考查了垂径定理，切线的性质，折叠的性质，勾股定理，分别求得的最大值与最小值是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

根据垂线段最短，则点O到直线l的距离≤5，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．

【详解】

解：的半径为8，，

点到直线的距离，

直线与的位置关系是相切或相交．

故选：D．

【点睛】

此题要特别注意OP不一定是点到直线的距离．判断点和直线的位置关系，必须比较点到直线的距离和圆的半径之间的大小关系．

8、B

【解析】

【分析】

连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．

【详解】

解：连接OA，如图，

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO=90°，

∵∠P=40°，

∴∠AOP=50°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB，

∵∠AOP=∠B+∠OAB，

∴∠B=∠AOP=×50°=25°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．

9、A

【解析】

【分析】

如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点， 记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：再设利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.

【详解】

解：如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点，

记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：

四边形为正方形，则

设 而AB＝2，CD＝3，EF＝5，结合正方形的性质可得：

而

又 而

解得：

故选A

【点睛】

本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G， H三点的圆的圆心是解本题的关键.

10、A

【解析】

【分析】

如图，连接先求解 再利用圆周角定理可得，从而可得答案.

【详解】

解：如图，连接

，是的切线，

故选A

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，圆周角定理的应用，圆的切线的性质的应用，理解是解本题的关键.

二、填空题

1、点P在圆内

【解析】

【分析】

要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．

【详解】

解：∵点P到圆心的距离OP=8cm，小于⊙O的半径10cm，

∴点P在圆内．

故答案为：点P在圆内．

【点睛】

本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

2、65

【解析】

【分析】

连接OA，OC，OB，根据四边形内角和可得，依据切线的性质及角平分线的判定定理可得DO平分，EO平分，再由各角之间的数量关系可得，，根据等量代换可得，代入求解即可．

【详解】

解：如图所示：连接OA，OC，OB，

∵PA、PB、DE与圆相切于点A、B、E，

∴，，，

∵，

∴，

∵，

∴DO平分，EO平分，

∴，，

∴，，

∴，

故答案为：65．

【点睛】

题目主要考查圆的切线的性质，角平分线的判定和性质，四边形内角和等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

3、5或3##3或5

【解析】

【分析】

分点P在圆内或圆外进行讨论．

【详解】

解：①当点P在圆内时，⊙O的直径长为8+2=10（cm），半径为5cm；

②当点P在圆外时，⊙O的直径长为8-2=6（cm），半径为3cm；

综上所述：⊙O的半径长为 5cm或3cm．

故答案为：5或3．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

4、60

【解析】

【分析】

先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据切线长定理可得，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．

【详解】

解：是的切线，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

故答案为：60．

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．

5、##

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)2.4．

【解析】

【分析】

（1）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO=CO，再根据切线的判定定理即可得出答案；

（2）设圆O的半径为r，即OC=r，由得BC=3r，由勾股定理求得AD=，AB=3r+根据方程求解即可．

(1)

如图所示：过O作OD⊥AB交AB于点D．

∵OC⊥BC，且BO平分∠ABC，

∴OD=OC，

∵OC是圆O的半径

∴AB与圆O相切．

(2)

设圆O的半径为r，即OC=r，

∵

∴

∴

∵OC⊥BC，且OC是圆O的半径

∴BC是圆O的切线，

又AB是圆O的切线，

∴BD=BC=3r

在中，

∴

∴

在中，

∴

整理得，

解得，，（不合题意，舍去）

∴的半径为2.4

【点睛】

此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．

2、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证，从而，得到，根据切线的判定方法可证是的切线；

（2）证明，利用相似三角形的性质可求的半径．

(1)

证明：连接，

∵，

∴，

∴是直径，是的中点．

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

又∵经过半径的外端，

∴是的切线．

(2)

解：∵，

∴，

在与中，

，，

∴．

∴，

在中，，，

∴.

设半径为，则，，

即，

∴．

∴的半径为．

【点睛】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法是解（1）的关键，掌握相似三角形的判定与性质是解（2）的关键．

3、 (1)BC与⊙O相切，理由见详解

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意先证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；

（2）由题意直接根据三角形和扇形的面积公式进行计算即可得到结论．

(1)

解： BC与⊙O相切．

证明：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD．

又∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA．

∴∠CAD=∠ODA．

∴OD∥AC．

∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．

又∵BC过半径OD的外端点D，

∴BC与⊙O相切；

(2)

∵，∠ODB=90°，，

∴，

在Rt△OBD中，

由勾股定理得：，

∴S△OBD= OD•BD= ，S扇形ODF= ，

∴阴影部分的面积=．

【点睛】

本题考查切线的判定和扇形面积以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解答本题的关键．

4、 (1)见解析；

(2)见解析，的半径为

【解析】

【分析】

（1）过点B作BP的垂线，作∠APB的平分线，二线的交点就是圆心；

（2）根据切线的性质，利用勾股定理，建立一元一次方程求解即可．

(1)

如图所示，点O即为所求

(2)

如图，∵PA是圆的切线，AO是半径，PB是圆的切线，

∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°，

∵AC=4，

∴PC==5，BC=5-3=2，

设圆的半径为x，则OC=4-x，

∴，

解得x=，

故圆的半径为．

【点睛】

本题考查了垂线的画法，角的平分线的画法，切线的性质，切线长定理，勾股定理，一元一次方程的解法，熟练掌握切线的性质，切线长定理和勾股定理是解题的关键．

5、 (1)见解析

(2)的半径长为．

【解析】

【分析】

（1）根据切线的性质，可得，由平行线的性质，等边对等角，等量代换即可得，进而得证；

（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理求得，证明列出比例式，代入数值求解可得，进而求得半径

(1)

证明：如图，连接，

∵是的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即平分；

(2)

解：如图，连接，

在中，，，

由勾股定理得：，

∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

∴的半径长为．

【点睛】

本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的相关知识以及相似三角形的是解题的关键．