初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀一课一练

九年级数学下册第三十章二次函数定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，不正确的结论是（       ）

A． B． C． D．

2、如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．当时，随的增大而增大

C．

D．是一元二次方程的一个根

3、对于二次函数，下列说法正确的是（       ）

A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是

C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点

4、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（       ）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0

5、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）

A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)

6、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）

A． B．

C． D．

7、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

8、二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（       ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．

9、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点．若，则ab的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：

当时，二次函数的函数值______

2、如果抛物线的顶点在轴上，那么的值是_________．

3、如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1________y2．（填“>”、“=”或“<”）

4、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，请写出一个使的的整数值 __．

5、将抛物线y＝﹣2x2+3x+1向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10万件，现公司决定提价销售，设销售单价为x元，每月销售量为y元．

(1)请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润w最大？最大利润是多少万元？

(3)若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，则每月的销售量最多应为多少万件？

2、已知抛物线经过，且顶点在y轴上．

(1)求抛物线解析式；

(2)直线与抛物线交于A，B两点．

①点P在抛物线上，当，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；

②设直线交x轴于点，线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当，时，求点N纵坐标n的取值范围．

3、已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；

(3)若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．

4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点，过P点作轴，交BC于点D，点E在直线BC上，且四边形PEDF为矩形，求矩形PEDF周长的最大值以及此时点P的坐标；

(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为平面内一点，将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，直接写出此时点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．

5、已知二次函数（a、b、c是常数，）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

(1)求该二次函数的表达式；

(2)该二次函数图像关于y轴对称的图像所对应的函数表达式是______．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴求出与的关系．

【详解】

解：A、由抛物线的开口向上知，

对称轴位于轴的右侧，

．

抛物线与轴交于负半轴，

，

；

故选项正确，不符合题意；

B、对称轴为直线，得，即，故选项正确，不符合题意；

C、如图，当时，，，故选项正确，不符合题意；

D、当时，，

，即，故选项错误，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．

2、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的开口方向向下可得是负数，对称轴位于轴的右侧可得、异号；与轴的交点在正半轴可得是正数，根据二次函数的增减性可得选项错误，根据抛物线的对称轴结合与轴的一个交点的坐标可以求出与轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程的根，从而得解．

【详解】

解：、根据图象，二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧可得、异号，即，故本选项结论错误；

B、当时，随的增大而减小，故本选项结论错误；

C、根据图象，抛物线与轴的交点在正半轴，则，故本选项结论错误；

D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，

设另一交点为，

，

，

另一交点坐标是，

是一元二次方程的一个根，

故本选项结论正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．

3、A

【解析】

【分析】

先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．

【详解】

解：∵，且 ，

∴二次函数图象开口向下，

∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；

B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；

C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；

∵ ，

∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

4、D

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．

【详解】

解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，

，，

，结论A错误，不符合题意；

B、抛物线顶点坐标为，，

，

，即，结论B错误，不符合题意；

C、抛物线顶点坐标为，，

，

，结论C错误，不符合题意；

D、，，

，结论D正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．

5、A

【解析】

【分析】

根据顶点式的顶点坐标为求解即可

【详解】

解：抛物线的顶点坐标是

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．

6、D

【解析】

【分析】

分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．

【详解】

解：∵，，，

∴BC=，

过CA点作CH⊥AB于H，

∴∠ADE=∠ACB=90°，

∵，

∴CH=4.8，

∴AH=，

当0≤x≤6.4时，如图1，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，

∴△ADE∽△ACB，

∴，即，解得：x=，

∴y=•x•=x2；

当6.4＜x≤10时，如图2，

∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，

∴△BDE∽△BCA，

∴，

即，解得：x=，

∴y=•x•=；

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．

7、C

【解析】

【分析】

先求出抛物线对称轴，再根据两个点距对称轴距离判断即可．

【详解】

解：抛物线的对称轴为：直线，

∵，

当，点到对称轴的距离近，即，当，点到对称轴的距离远，即，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出抛物线的对称轴，根据点距对称轴的远近，进行判断开口．

8、C

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；

（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；

（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；

（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；

（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；

故选C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

9、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．

【详解】

解：由势力的线与y轴正半轴相交可知c>0，

对称轴x=-＜0，得b<0．

∴

所以一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

10、D

【解析】

【分析】

由题意可设抛物线为y=（x-m）（x-n），则，再利用二次函数的性质可得答案.

【详解】

解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，

其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），

所以可设交点式y=（x-m）（x-n），

分别代入，，

∴

∵0＜m＜n＜3，

∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，

∵m＜n，

∴ab不能取16 ，

∴0＜ab＜16 ，

故选D

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到是解本题的关键.

二、填空题

1、-4

【解析】

【分析】

由表格得出抛物线的对称轴，根据二次函数的对称性解答可得．

【详解】

解：由表格可知当x=0和x=2时，y=-2.5，

∴抛物线的对称轴为x=1，

∴x=3和x=-1时的函数值相等，为-4，

故答案为：-4．

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据表格得出抛物线的对称轴是解题的关键．

2、2

【解析】

【分析】

把二次函数一般式转化为顶点式，求出其顶点坐标，再根据顶点在x轴上确定其纵坐标为0，进而求出m的值．

【详解】

解：∵，

∴二次函数顶点坐标为．

∵顶点在x轴上，

∴，

∴m=2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查二次函数的一般式转化为顶点式的方法和坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键．

3、

【解析】

【分析】

将题目所给两个x代入函数即可得出两个y，再比较大小．

【详解】

=2时：

时：

∴

故答案为：<

【点睛】

本题考查函数性质，掌握比较方法是关键．

4、2（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据函数图象可以直接得到答案．

【详解】

解：如图，

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，

则当的的取值范围是：，

的值可以是2．

故答案为：2（答案不唯一）．

【点睛】

此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定的读图能力．

5、

【解析】

【分析】

根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案．

【详解】

解：抛物线向下平移3个单位，

抛物线的解析式为．

故答案为：．

【点睛】

主要考查了函数图象的平移，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

三、解答题

1、 (1)（）；

(2)销售单价为57元时，最大利润为2890万元；

(3)240

【解析】

【分析】

（1）用300减去减少的数量即可得到函数解析式，根据利润率不能超过50%求出自变量的取值范围；

（2）根据利润率公式得出函数解析式，由函数的性质得到最值；

（3）当w=2400时，解方程，求出解，得到使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，， 根据一次函数的性质求出销售量的最大值．

(1)

解： ，

∵，

∴，

∴（）；

(2)

解：，

当x<57时，w随x的增大而增大，

而，

∴当x=57即销售单价为57元时，w有最大值，最大利润为2890万元；

(3)

解：当w=2400时，，

解得，

∴使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，，

∵，y随着x的增大而减小，

∴当x=50时，销售量最多，最多销售量为万件，

∴每月的销售量最多应为240万件．

【点睛】

此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的知识点及一次函数的知识点是解题的关键．

2、 (1)

(2)①c的值为-1，②

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线经过，且顶点在y轴上，待定系数法求解析式即可；

（2）①根据题意作出图形，根据等腰直角三角形的性质可得，根据在抛物线上，代入求解即可，根据图形取舍即可；②设，．把代入中，得，根与系数的关系可得，由勾股定理得，，根据垂直平分线的性质可得，化简可得，进而可得当时，n随k的增大而减小，由可得，进而求得的取值范围

(1)

∵抛物线经过，且顶点在y轴上，

，解得

∴抛物线解析式为.

(2)

①依题意得：当时，轴，

与∠PBA都不可能为90°，

∴只能是，，∴点P在AB的对称轴（y轴）上，

∴点P为抛物线的顶点，即．

不妨设点A在点B的左侧，直线与y轴交于点C．

，，

，

，，

，

，

∴点

把代入中，得：

解得：，（不合题意，舍去）．

∴c的值为-1．

②设，．

把代入中，得，

，由根与系数的关系可得，．

由勾股定理得，

∵点N在AB的垂直平分线上，

，

，

，

化简得．

∵直线与x轴相交，∴点A，B不关于y轴对称，

，

又，

，

，即，

.

将代入，得，

.

由反比例函数的性质，可知：当时，．

在二次函数中，

，对称轴为直线，

∴当时，n随k的增大而减小，

，

.

【点睛】

本题考查了二次函数、一次函数图象与性质，反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．

3、 (1)

(2)不在，见解析

(3)y1＜y2，见解析

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件设抛物线的解析式为顶点式，把点（1，3）的坐标代入所设的解析式中即可求得a，从而可求得函数解析式；

（2）把点P的纵坐标代入抛物线的解析式中，得到关于x的二元一次方程，若方程有解，则点P在抛物线，否则不在抛物线上；

（3）抛物线的对称轴为直线x=2，根据抛物线的增减性质即可比较大小．

(1)

设抛物线的解析式为

把点（1，3）的坐标代入中，得a+4=3

∴

即抛物线的解析式为；

(2)

动点P（x，5）不在抛物线上

理由如下：

在中，当y=5时，得

即

此方程无解

故点P不在抛物线上；

(3)

y1＜y2

理由如下：

抛物线的对称轴为直线x=2

∵二次项系数−1<0，且

∴函数值随自变量的增大而增大

即y1＜y2

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握这些知识是关键，属于二次函数的基础题目．

4、 (1)

(2)矩形PEDF周长的最大值为，此时点

(3)或

【解析】

【分析】

（1）将点，点，代入解析式，待定系数法求解析式即可；

（2）根据题意转化为求最长时点的坐标，进而求得周长即可；

（3）将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，进而得到平行后的新的抛物线的解析式，根据题意分情况讨论，根据的两个顶点恰好落在新抛物线上时，根据旋转可得若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，进而分类讨论，根据直线与抛物线交点问题，一元二次方程根与系数的关系求解即可．

(1)

解：将点，点，代入解析式，得

解得

抛物线的解析式为：

(2)

四边形是矩形

即

设，则

则矩形PEDF周长为，

当取得最大值时，矩形PEDF周长的最大

设直线的解析式为，将点代入得，

则

解得

直线的解析式为

设，则

即

当时，取得最大值，最大值为

此时矩形PEDF周长为

当时，

即

(3)

由（2）可知，则，

过点作，则，

将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，

则新抛物线解析式为：

即

将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，

轴，

旋转90°后，则轴

则轴，

若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，

轴

设直线为

①当在抛物线上时，如图，

设点，的横坐标分别为，

则

则为的两根

即方程

，

则

即

解得

则

解得

②当在抛物线上时，如图，

设点，的横坐标分别为，

，

则

，

中，

直线的解析式为

设直线的解析式为

则为的两根

即

，

则

即

解得

直线的解析式为

则

解得

当时，

综上所述或

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，旋转的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，一次函数的平移问题，二次函数的平移问题，一元二次方程根与系数的关系，二次函数求函数值的问题，熟练掌握以上知识并正确的计算是解题的关键．

5、 (1)二次函数的表达式为： ；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式为，再选一组值代入即可求出a值，解析式即可确定；

（2）先根据顶点坐标求出关于y轴对称的顶点坐标，然后设抛物线解析式为，结合表中数据可得函数图象经过，代入求解即可确定抛物线解析式．

(1)

解：观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，

设二次函数的表达式为，

把代入得，

，

∴，

∴，

即 ；

(2)

解：抛物线的顶点是，关于y轴的对称点，开口方向与原抛物线相同，

设二次函数的表达式为，

在y轴上且在函数图象上，

将其代入函数表达式为：，

解得：，

∴关于y轴对称的图象所对应的函数表达式为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的轴对称变换问题，求出关键点的对称点坐标是解题关键．