2020-2021学年第30章 二次函数综合与测试优秀练习题

九年级数学下册第三十章二次函数同步练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米/秒，则球不低于3米的持续时间是（       ）

A．秒 B．秒 C．秒 D．1秒

2、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0

C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0

3、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（       ）

A． B． C． D．

4、若点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

5、抛物线，，的图象开口最大的是（       ）

A． B． C． D．无法确定

6、在抛物线的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

7、二次函数的最大值是（   ）

A． B． C．1 D．2

8、若二次函数y=-x2+mx在-2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　 　）

A．或6 B．或6 C．或6 D．或

9、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（       ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为______．

2、二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________．

3、已知点，在抛物线上，则，的大小关系是______（填“>”，“<”或“=”）．

4、某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______．

5、抛物线的顶点坐标是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，抛物线C1： y＝ax2+bx+2与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，2）．

(1)求二次函数表达式；

(2)若点P为抛物线上第四象限内的点，且S△PBC＝S△ABC，求点P的坐标；

(3)如图2，将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2，使点A的对应点为点D，抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点A．若直线l与图形M有公共点，求k的取值范围．

2、2022年北京冬奥会即将召开，敢起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴建立平而直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点О正上方3米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．

(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时离水平线的高度为7米．求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量工的取值范围）；

(2)在（1）的条件下．当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员恰好落在小山坡的B处？

3、已知函数（为常数）．

(1)若图象经过点，判断图象经过点吗？请说明理由；

(2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式；

(3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．

4、已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A（-1，0）．

(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．

①求直线BC的解析式；

②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．

5、如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点、不重合），过点作轴于点，交于点，过点作，垂足为．求线段的最大值；

(3)已知为抛物线对称轴上一动点，若是直角三角形，求出点的坐标．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

根据已知得到函数关系式，将h=3代入，求出t值的差即为答案．

【详解】

解：由题意得，

当h=3时，，

解得，

∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4（秒），

故选：A．

【点睛】

此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，正确理解题中各字母的值，代入求出函数解析式解决问题是解题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．

【详解】

解：∵抛物线的开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴c＞0，

∵抛物线与x轴有一个交点，

∴Δ=0，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．

3、C

【解析】

【分析】

根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．

【详解】

解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．

所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．

4、D

【解析】

【分析】

先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，当点和在直线的右侧时；当点和在直线的两侧时，然后分别解两个不等式即可得到的范围．

【详解】

抛物线的对称轴为直线，

∵，，

当点和在直线的右侧，则，

解得，

当点和在直线的两侧，则，

解得，

综上所述，的范围为．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．

5、A

【解析】

【分析】

先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．

【详解】

解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），

∵||＜|1|＜|-3|，

∴抛物线开口最大．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．

6、C

【解析】

【分析】

把三个点，，的横坐标代入解析式，然后比较函数值大小即可．

【详解】

解：把三个点，，的横坐标代入解析式得，

；；；

所以，，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出函数值，再比较大小．

7、D

【解析】

【分析】

由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．

【详解】

解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值

∴将代入中得

∴最大值为2

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．

8、C

【解析】

【分析】

表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：∵y=-x2+mx，

∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x=-，

①当≤-2，即m≤-4时，当x=-2时，函数最大值为5，

∴-(-2)2-2m=5，

解得：m=-；

②当≥1，即m≥2时，当x=1时，函数最大值为5，

∴-12+m=5，

解得：m=6．

③当-2＜＜1，即-4＜m＜2时，当x=时，函数最大值为5，

∴-()2+m•=5

解得m=2（舍去）或m=-2（舍去），

综上所述，m=-或6，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．

9、C

【解析】

【分析】

先求出抛物线对称轴，再根据两个点距对称轴距离判断即可．

【详解】

解：抛物线的对称轴为：直线，

∵，

当，点到对称轴的距离近，即，当，点到对称轴的距离远，即，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出抛物线的对称轴，根据点距对称轴的远近，进行判断开口．

10、C

【解析】

【分析】

根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．

【详解】

解：A．二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；

B．二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；

C．二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；

D．二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

将点代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．

【详解】

解：将代入中得到：，

解得，

∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，

根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，

当时，对应的最大为：，

当时，对应的最小为：，

故n的取值范围为：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．

2、

【解析】

【分析】

顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值．

【详解】

解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上，

∴，

∴m=．

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握．

3、

【解析】

【分析】

首先求得抛物线的对称轴和开口方向，可知开口向上对称轴为，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断，的大小关系．

【详解】

解：∵中，，开口向上，对称轴为，

∴点与对称轴的距离越远函数值越大

点，在抛物线上，

故答案为：

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

4、

【解析】

【分析】

某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x，则九月份的产量为万件，十月份医用防护服的产量为万件，从而可得答案.

【详解】

解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为

故答案为：

【点睛】

本题考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量（1+增长率）2”是解本题的关键.

5、 (2，-1)

【解析】

【分析】

先把抛物线配方为顶点式，再确定顶点坐标即可．

【详解】

解：，

∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）．

故答案为（2，-1）．

【点睛】

本题考查抛物线的顶点坐标，掌握抛物线配方为顶点式的方法是解题关键．

三、解答题

1、 (1)抛物线

(2)

(3)或

【解析】

【分析】

（1）把点和点的坐标代入解析式，建立方程组求解即可；

（2）过点作的平行线与抛物线的交点即为点，求出直线的解析式，令，求解即可；

（3）根据题意可求出抛物线的对称轴即抛物线的解析式，并求出封闭图形的端点，点和点，根据一次函数的性质，可以求得的取值范围．（）

(1)

解：抛物线过点，点，

，解得，

抛物线；

(2)

由（1）可知，抛物线，

抛物线的对称轴为直线，

，顶点坐标为，

令，可得，

，

直线的解析式为：，

如图，过点作的平行线，交抛物线于点，点即为所求；

直线的解析式为：，

令，

解得或0（舍去），

，

；

(3)

点到点，函数向右移动了3个单位，向上移动了2个单位，

则抛物线的顶点为，即为，

抛物线的解析式为：，

；

当直线经过点，点时，

，解得，

当直线经过点，点时，

，解得，

结合图象可知，若直线与图形有公共点，的取值范围或．

【点睛】

本题属于二次函数综合题，主要涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合思想，图象的平移等知识，（3）中求出点和点的坐标，利用数形结合思想得出结论是解题关键．

2、 (1)

(2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员恰好落在小山坡的B处

【解析】

【分析】

（1）运用待定系数法求解即可；

（2）设运动员运动的水平距离为m米时，依题意列出方程求解即可．

(1)

由题意可知抛物线过点和，将其代人得：

，

解得： ，

∴抛物线的函数表达式为：

(2)

设运动员运动的水平距离为m米时，依题意得：

整理得：，

解得： （舍去），

故运动员运动的水平距离为12米时，运动员恰好落在小山坡的B处．

【点睛】

本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．

3、 (1)经过，理由见解析

(2)n＝﹣m2﹣6m．

(3)4或6

【解析】

【分析】

（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中，即可得到函数表达式，然后把点（2，4）代入判断即可；

（2）利用顶点坐标公式得到﹣＝m，＝n，然后消去b可得到n与m的关系式．

（3）由抛物线不经过第三象限可得b的取值范围，分别讨论x＝﹣6与x＝1时y为最大值求解．

(1)

解：经过，

把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：

4﹣2b+3b＝4，

解得b＝0，

∴此函数表达式为：y＝x2，

当x＝2时，y＝4，

∴图象经过点（2，4）；

(2)

解：∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n），

∴﹣＝m，＝n，

∴b＝﹣2m，

把b＝﹣2m代入＝n得n＝＝﹣m2﹣6m．

即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．

(3)

把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，

∵抛物线不经过第三象限，

∴3b≥0，即b≥0，

∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b，

∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b），

∵﹣≤0，

∴当﹣+3b≥0时，抛物线不经过第三象限，

解得b≤12，

∴0≤b≤12，﹣6≤﹣≤0，

∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣+3b，

把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，

把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，

当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝16时，

解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．

当1+4b﹣（﹣+3b）＝16时，

解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．

综上所述，b＝4或6．

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．

4、 (1)y=x2-2x-3，(1，−4)

(2)①y=x−3；②

【解析】

【分析】

（1）把A（-1，0）代入y=x2+bx-3其凷b得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；

（2）①解方程x2-2x-3=0得B（3，0），再确定C（0，-3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；

②如图，利用对称性得到x2-1=1-x1，则x1+x2=2，所以x1+x2+x3=2+x3，利用函数图象得到-1＜x3＜0，从而得到1＜x1+x2+x3＜2．

(1)

解：把A（-1，0）代入y=x2+bx-3得1-b-3=0，解得b=-2，

∴抛物线解析式为y=x2-2x-3，

∵y=（x-1）2-4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；

(2)

解：①当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），

当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则C（0，-3），

设直线BC的解析式为y=mx+n，

把B（3，0），C（0，-3）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=x-3；

②如图，

x2-1=1-x1，

∴x1+x2=2，

∴x1+x2+x3=2+x3，

∵y3＜-3，即x3-3＜-3，

∴x3＜0，

∵y=-4时，x-3=-4，解得x=-1，

∴-1＜x3＜0，

∴1＜x1+x2+x3＜2．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

5、 (1)

(2)当时，有最大值，最大值是

(3)点的坐标为，，，

【解析】

【分析】

（1）由抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入即可得y＝﹣x2+2x+3；

（2）由B（3，0），C（0，3），可推得△DEM是等腰直角三角形，DM＝DE，设直线BC为y＝kx+b，用待定系数法可得直线BC为y＝﹣x+3，设D（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），即得DE＝﹣m2+3m，由二次函数性质可得线段DM的最大值；

（3）设P（1，t），可得PB2＝（1﹣3）2+t2＝4+t2，PC2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2＝1+（t﹣3）2，BC2＝18，分三种情况：①PC为斜边时，②PB为斜边时，③BC为斜边时，列出方程求解即可．

(1)

解：∵抛物线与轴交于、两点，

∴设抛物线解析式为，

将点坐标代入，得：，

解得：，

抛物线解析式为；

(2)

解：设直线的函数解析式为，

∵直线过点，，

∴，解得，

∴，

设，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵轴，

∴，

∴，

又∵，

在中，

∴，

∵，

∴当时，有最大值，最大值是；

(3)

解：抛物线的对称轴为直线，

设P（1，t），而B（3，0），C（0，3），

∴PB2＝（1﹣3）2+t2＝4+t2，PC2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2＝1+（t﹣3）2，BC2＝18，

①当是斜边时，，解得：；

②当是斜边时，，解得：；

③当是斜边时，，

整理，得：，解得：，

故点的坐标为：，，，

【点睛】

本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、直角三角形的判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．