数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀复习练习题

九年级数学下册第三十章二次函数定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（       ）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）

A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3

3、二次函数的最大值是（   ）

A． B． C．1 D．2

4、如图，要在二次函数的图象上找一点，针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果，那么点M的个数为0；②如果．那么点M的个数为1；③如果，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（       ）

A．① B．② C．③ D．②③

5、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（       ）

A． B． C． D．

6、抛物线的顶点坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）

7、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

8、若点A（－1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2＋x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（       ）

A．y1＜y2＞＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1

9、在抛物线的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（       ）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如果抛物线的顶点在轴上，那么的值是_________．

2、二次函数的图像与x轴公共点的个数是______．

3、将二次函数y＝﹣x2＋2图象向下平移3个单位，得到的函数图象顶点坐标为_____．

4、将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 _____．

5、已知二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，则b＝________；顶点坐标是________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．

(1)求c的值；

(2)计算铅球距离地面的最大高度．

2、已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．

3、如图，抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；

(3)设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．

①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；

②当h=16时，直接写出△BCP的面积．

4、生态水果是指在保护、改善农业生态环境的前提下，遵循生态学、生态经济学规律，运用现代科学技术，营养的、健康的水果．青岛市扶贫工作小组对李沧、胶州、即墨等多地果农进行精准投资建设，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了．批发销售总额比去年增加了20%

(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？

(2)今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时该水果店一天的利润最大（利润计算时，其它费用忽略不计，并且售价为整数）

5、某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：

(1)求y与x的函数关系式；

(2)求公司销售该商品获得的最大日利润．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的对称性，以及参数a、b、c的意义即可求出答案．

【详解】

解：∵抛物线的对称轴为x=-1，

所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0），

∴AB=1-（-3）=4，故①正确；

由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，

∴Δ=b2-4ac>0，故②正确；

由图象可知：抛物线开口向上，

∴a>0，

由对称轴可知：−<0，

∴b>0，故③正确；

当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确；

所以，正确的结论有4个，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．

2、B

【解析】

【分析】

根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

【详解】

解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；

再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，

故选：B．

【点睛】

本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

3、D

【解析】

【分析】

由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．

【详解】

解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值

∴将代入中得

∴最大值为2

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．

4、B

【解析】

【分析】

把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．

【详解】

解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上，

当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，

∵△=4-4×（-3）＞0，

∴有两个不相等的值，

∴点M的个数为2，故①错误；

当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，

∵△=4-4×1=0，

∴a有两个相同的值，

∴点M的个数为1，故②正确；

当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，

∵△=4-4×3＜0，

∴点M的个数为0，故③错误；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．

【详解】

解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．

所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．

6、A

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．

7、B

【解析】

【分析】

①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．

【详解】

解：①∵函数图象开口向下

∴

又函数的对称轴在y轴右侧，

∴

∴

∵抛物线与y轴正半轴相交，

∴c＞0，

∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；

②∵抛物线和x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；

③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，

∴点A（3，0），

∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；

④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∵点B坐标为（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

而b＝﹣2a，

∴

即3a+c＝0，正确，符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．

8、B

【解析】

【分析】

由题意可知函数图象的对称轴、增减性；根据对称将A转化到对称轴的右侧，得到的坐标表示，然后比较三点横坐标的大小，进而判断三点纵坐标的大小即可．

【详解】

解：由知该函数图象开口向上，对称轴是直线，在对称轴的右侧，y随x的增加而增大

∴点A对称的点的坐标为

∵

∴

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于掌握该函数图象与性质．

9、C

【解析】

【分析】

把三个点，，的横坐标代入解析式，然后比较函数值大小即可．

【详解】

解：把三个点，，的横坐标代入解析式得，

；；；

所以，，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出函数值，再比较大小．

10、D

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．

【详解】

解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，

，，

，结论A错误，不符合题意；

B、抛物线顶点坐标为，，

，

，即，结论B错误，不符合题意；

C、抛物线顶点坐标为，，

，

，结论C错误，不符合题意；

D、，，

，结论D正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．

二、填空题

1、2

【解析】

【分析】

把二次函数一般式转化为顶点式，求出其顶点坐标，再根据顶点在x轴上确定其纵坐标为0，进而求出m的值．

【详解】

解：∵，

∴二次函数顶点坐标为．

∵顶点在x轴上，

∴，

∴m=2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查二次函数的一般式转化为顶点式的方法和坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键．

2、0

【解析】

【分析】

令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

令，则

二次函数的图像与x轴无公共点．

故答案为：0

【点睛】

本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．

3、（0，-1）

【解析】

【分析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

解：将二次函数y＝-x2+2图象向下平移3个单位，

得到y＝-x2+2-3=-x2-1，

顶点坐标为（0，-1），

故答案为：（0，-1）．

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．

4、y＝﹣2（x﹣1）2+3

【解析】

【分析】

按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．

【详解】

解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2﹣3）2+5﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+3．

故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+3．

【点睛】

此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟记规律是正确解题的关键．

5、     4     （2，7）

【解析】

【分析】

由对称轴公式即可求得b，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．

【详解】

解：∵二次函数y＝&#xF02D;x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，

∴−＝2，

∴b＝4，

∴二次函数y＝−x2＋4x＋3，

∵y＝−x2＋4x＋3＝−（x−2）2＋7，

∴顶点坐标是（2，7），

故答案为：4，（2，7）．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，熟知对称轴公式和二次函数解析式的三种表现形式是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)；

(2)铅球距离地面的最大高度为

【解析】

【分析】

（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；

（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．

(1)

把（10，0）代入函数解析式中得：

解得：

(2)

当x＝﹣时，y最大＝

所以铅球距离地面的最大高度为3m．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．

2、

【解析】

【分析】

根据抛物线与轴有交点转化为当时，方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式求解即可．

【详解】

∵抛物线与x轴有交点，

∴方程有两个实数根．

解得.

【点睛】

本题考查了抛物线与轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

3、 (1)

(2)

(3)①；②

【解析】

【分析】

（1）将点代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）根据两点求得直线的解析式，进而求得的长，根据的范围分类讨论求得的值，进而得到矩形周长与的二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最小值即可；

（3）①根据抛物线解析式求得顶点坐标，进而根据的纵坐标与的纵坐标求得最大与最小值求得其差即可，根据的纵坐标大于3和小于等于3求解即可；②过点作轴交于点，过点作于点，根据①中的范围可得，当时，，进而求得点的坐标，根据计算即可

(1)

解：∵抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），

∴令，则，

将点代入得

解得

则抛物线的解析式为

(2)

点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，PQ∥y轴

点在点上方，

,，设直线的解析式为

解得

直线的解析式为

设，则

抛物线的解析式为

对称轴为，顶点坐标为，

根据对称性可得

设矩形的周长为，

①当时，，不能构成矩形，

②当时，

则

当时，

③当时，

则

对称轴为

则当时，不存在最小值

综上所述，矩形的周长的最小值为

(3)

①抛物线的解析式为

对称轴为，顶点坐标为，

又

当时，

解得，

当时，

当时，

②当时，

当时，

解得

则

如图，过点作轴交于点，过点作于点，

抛物线的解析式为

令，则

解得

【点睛】

本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与矩形问题，二次函数与三角形面积问题，掌握二次函数的性质与一次函数的性质是解题的关键．

4、 (1)24元；

(2)当m=35时，w最大=7260元．

【解析】

【分析】

（1）设去年这种水果的批发价为x元/千克，今年的销量-去年的销量=1000列方程解方程即可；

（2）设每千克的平均销售价为m元，根据总利润=每千克利润×销量列函数关系式w=(m-24)(300+)配方为顶点式，利用函数性质求即即可．

(1)

解：设去年这种水果的批发价为x元/千克，

根据题意得：，

整理得：3000-2400=24x，

解得x=25，

经检验符合题意，

元；

(2)

解：设每千克的平均销售价为m元，

w=(m-24)(300+)，

=，

=，

∵a=-60＜0，

抛物线开口向下，函数有最大值，

当m=35时，w最大=7260元．

【点睛】

本题考查列分式方程解应用题，列二次函数解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，列二次函数解应用题方法是解题关键．

5、 (1)y=-x+120；

(2)最大日利润是2025元．

【解析】

【分析】

（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；

（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值．

(1)

解：设解析式为y=kx+b，

将（40，80）和（60，60）代入，可得，

解得：，

所以y与x的关系式为y=-x+120；

(2)

解：设公司销售该商品获得的日利润为w元，

w=（x-30）y=（x-30）（-x+120）

=-x2+150x-3600

=-（x-75）2+2025，

∵x-30≥0，-x+120≥0，

∴30≤x≤120，

∵-1＜0，

∴抛物线开口向下，函数有最大值，

∴当x=75时，w最大=2025，

答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．

【点睛】

本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．