冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品巩固练习

八年级数学下册第二十二章四边形同步训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，，，则点C的坐标为（       ）

A． B． C． D．

2、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且，AF、BE相交于点G，下列结论中正确的是（       ）

①；②；③；④．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

3、六边形对角线的条数共有（       ）

A．9 B．18 C．27 D．54

4、在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（       ）

A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB∥CD

5、下列说法正确的是（　　）

A．只有正多边形的外角和为360°

B．任意两边对应相等的两个直角三角形全等

C．等腰三角形有两条对称轴

D．如果两个三角形一模一样，那么它们形成了轴对称图形

6、如图，在中，，于点D，F在BC上且，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（　　　）

A．3 B． C． D．6

8、如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（       ）

A． B． C． D．

9、如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．12

10、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．

其中说法正确的是（　　　）

A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，点 A、B、C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q．在点D的运动过程中，有下列结论：

①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形

③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形

④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形

所有正确结论的序号是___．

2、如图，正方形ABCD的边长为，作正方形A1B1C1D1，使A，B，C，D是正方形A1B1C1D1，各边的中点；做正方形A2B2C2D2，使A1，B1，C1，D1是正方形A2B2C2D2各边的中点…以此类推，则正方形A2021B2021C2021D2021的边长为 _____．

3、如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠ACD＝90°，点E是BC的中点，AF平分∠BAC，CF⊥AF于点F，连接EF．已知AB＝5，BC＝13，则EF的长为__．

4、在菱形中，，其所对的对角线长为2，则菱形的面积是__．

5、如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，则CD=____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；

(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；

(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．

2、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点

(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；

(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．

3、如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交于点E．AB＝6cm，BC＝8cm．

(1)求证AE＝EC；

(2)求阴影部分的面积．

4、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；

(2)若，，，求DF的长．

5、如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．E是BC上的点，AE=AD．

(1)在线段CD上作一点F，连接EF，使得∠EFC＝∠BEA(请用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)；

(2)在（1）作出的图形中，若AB＝4，AD＝5，求DF的值．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，然后求得∠OCE=30°，再根据含30°角直角三角形的性质求得OE，最后运用勾股定理求得CE即可解答.

【详解】

解：如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，

∵菱形OABC，

∴OC=OA=4

∵，

∴∠OCE=30°

∵OC=4

∴OE=2

∴CE=

∴点C的坐标为.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求出OE、CE的长度是解答本题的关键.

2、B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断即可得．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

在与中，

，

∴，

∴，①正确；

∵，

，

∴，

∴，

∴，②正确；

∵GF与BG的数量关系不清楚，

∴无法得AG与GE的数量关系，③错误；

∵，

∴，

∴，

即，④正确；

综上可得：①②④正确，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，垂直的判定等，理解题意，综合运用全等三角形全等的判定和性质是解题关键．

3、A

【解析】

【分析】

n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数），由此可得出答案．

【详解】

解：六边形的对角线的条数= =9．

故选：A．

【点睛】

本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）．

4、B

【解析】

略

5、B

【解析】

【分析】

选项A根据多边形的外角和定义判断即可；选项B根据三角形全等的判定方法判断即可；选项C根据轴对称图形的定义判断即可；选项D根据轴对称的性质判断即可．

【详解】

解：A．所有多边形的外角和为，故本选项不合题意；

B．任意两边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，故本项符合题意；

C．等腰三角形有1条对称轴，故本选项不合题意；

D．如果两个三角形一模一样，那么它们不一定形成轴对称图形，故本选项不合题意；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了多边形的外角和，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．

6、B

【解析】

【分析】

先求出，再根据等腰三角形的三线合一可得点是的中点，然后根据三角形中位线定理即可得．

【详解】

解：，

，

，

（等腰三角形的三线合一），

即点是的中点，

为的中点，

是的中位线，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．

7、C

【解析】

【分析】

画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．

【详解】

解：如下图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，

∴OA=OB，

∵∠AOD=120°，

∴∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=AB=2，

∴AC=2OA=4，

∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，

∴BC=．

故选：D．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

8、A

【解析】

【分析】

设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．

【详解】

解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，交于点，作ES⊥x轴于S，

∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，

∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，

∴AD＝OB，OA＝BC，

∴AD＋OA＝OB＋BC，

∵AE＝AD，

∴AE＋OA＝OB＋BC，

即OE＝OB＋BC，

∴OB＋CB的最小值为OE，

由，

当时，，

解得：，

，

，

当时，，

，

，

，

取的中点，过作轴的垂线交于，

，

当时，，

，

，

，

为的中点，

，

为等边三角形，

，

，

，

，

∴FD＝3，∠FDG＝60°，

∴DG＝DF＝，

∴DE＝2DG＝3，

∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，

∴OS＝，

∴OE＝＝，

∴OB＋CB的最小值为，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．

9、B

【解析】

【分析】

根据菱形的性质可证出，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．

【详解】

解：四边形为菱形，

，，，

，

,

∴,

∴,

∴

故选：．

【点睛】

此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．

10、B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．

【详解】

如图所示，

∵△ABC是直角三角形，

∴根据勾股定理：，故①正确；

由图可知，故②正确；

由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，

列出等式为，

即，故③正确；

由可得，

又∵，

两式相加得：，

整理得：，

，故④错误；

故正确的是①②③．

故答案选B．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．

二、填空题

1、①②③

【解析】

【分析】

根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断．

【详解】

解：∵一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，

∴存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四边形MNPQ是矩形．

故答案为：①②③

【点睛】

本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

2、

【解析】

【分析】

根据勾股定理求得正方形对角线的长度，然后结合三角形中位线定理求得正方形的边长，从而探索数字变化的规律，进而求解．

【详解】

由题意得，正方形ABCD中

CD=AD=

在Rt△ACD中，

AC==2

∵A，B，C，D是正方形各边的中点，

∴正方形的边长为2=

在Rt△中

==2

∵是正方形各边中点

∴正方形的边长为2=      

以此类推

则正方形的边长为

故答案为：

【点睛】

本题考查勾股定理，正方形性质，探索数字变化的规律是解题关键．

3、##3.5

【解析】

【分析】

延长AB、CF交于点H，由“ASA”可证，可得AC＝AH＝12，HF＝CF，由三角形中位线定理可求解．

【详解】

解：如图，延长AB、CF交于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴∠ACD＝∠BAC＝90°，

∴，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAF＝∠CAF＝45°，

在和中，

，

∴，

∴AC＝AH＝12，HF＝CF，

∴BH＝AH﹣AB＝7，

∵点E是BC的中点，HF＝CF，

∴EF＝BH＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

4、

【解析】

【分析】

根据菱形的性质证得△ABD是等边三角形，得到OB，利用勾股定理求出OA，由菱形的性质求出菱形的面积．

【详解】

解：如图所示：

在菱形中，，其所对的对角线长为2，

，，，，

是等边三角形，

则，

故，

则，故，

则菱形的面积．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出菱形的另一条对角线的长是解题关键．

5、6

【解析】

【分析】

由AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AB的长，然后由平行四边形的性质，求得答案．

【详解】

解：∵AC⊥BC，E为AB中点，

∴AB=2CE=2×3=6，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=6．

故答案为：6．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意平行四边形的对边相等．

三、解答题

1、 (1)AE＝t，AD＝12﹣2t，DF＝t

(2)见解析

(3)3，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；

（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；

（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．

(1)

解：由题意得，AE＝t，CD＝2t，

则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，

∵DF⊥BC，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝t；

(2)

解：∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，

∴，

∵AE＝t，DF＝t，

∴AE＝DF，

∴四边形AEFD是平行四边形；

(3)

解：当t＝3时，四边形EBFD是矩形，

理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，

∴AB＝AC＝6cm，

∵，

∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，

解得，t＝3，

∵∠ABC＝90°，

∴四边形EBFD是矩形，

∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．

【点睛】

此题考查了30度角的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的定义，一元一次方程，三角形与动点问题，熟练掌握四边形的知识并综合应用是解题的关键．

2、 (1)证明见解析

(2)10

【解析】

【分析】

（1）利用AC平分∠BAD，AB∥CD，得到∠DAC＝∠DCA，即可得到AD＝DC，利用一组对边平行且相等可证明四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝AD，即可求证结论；

（2）根据菱形的性质，得到CD＝13，AO＝CO＝12，结合中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，利用勾股定理即可得到OB、OD的长度，即可求解．

(1)

证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，

∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∴AD＝DC，

又∵AB∥CD，AB＝AD，

∴AB∥CD且AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

(2)

解：连接BD，交AC于点O，如图：

∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，

∴CD＝13，AO＝CO＝12，

∵点E、F分别是边CD、BC的中点，

∴EF∥BD（中位线），

∵AC、BD是菱形的对角线，

∴AC⊥BD，OB＝OD，

又∵AB∥CD，EF∥BD，

∴DE∥BG，BD∥EG，

∵四边形BDEG是平行四边形，

∴BD＝EG，

在△COD中，

∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，

∴，

∴EG＝BD＝10．

【点睛】

本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件．

3、 (1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）先根据折叠的性质可得，再根据矩形的性质、平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；

（2）设，从而可得，先在中，利用勾股定理可得的值，再利用三角形的面积公式即可得．

(1)

证明：由折叠的性质得：，

四边形是长方形，

，

，

，

．

(2)

解：四边形是长方形，

，

设，则，

在中，，即，

解得，

即，

则阴影部分的面积为．

【点睛】

本题考查了矩形与折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．

4、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；

（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．

(1)

∵BE＝CF，

∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，

∵ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD为矩形．

(2)

∵四边形AEFD为矩形，

∴AF＝DE＝4，DF=AE，

∵，，，

∴AB2+AF2＝BF2，

∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，

∴，

∴AE=，

∴．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

5、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求，理由：可先证明△AEF≌△ADF，可得∠AEF=∠D=90°，从而得到∠DAE+∠DFE=180°，进而得到∠EFC=∠DAE，再由AD∥BC，即可求解；

（2）根据矩形的性质可得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，从而得到BE＝3，进而得到EC＝2，然后在 中，由勾股定理，即可求解．

(1)

解：如图，作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求．

∵AE=AD，∠EAF=∠DAF，AF=AF，

∴△AEF≌△ADF，

∴∠AEF=∠D=90°，

∴∠DAE+∠DFE=180°，

∵∠EFC+∠DFE=180°，

∴∠EFC=∠DAE，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠BEA=∠DAE，

∴∠EFC＝∠BEA；

(2)

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，

∵AE＝AD＝5，

∴BE＝＝＝3，

∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，

由（1）得：△AEF≌△ADF，

∴ ，

在 中， ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．