初中第二十二章 四边形综合与测试精品达标测试

八年级数学下册第二十二章四边形同步测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（       ）

A．5 B．4 C．7 D．6

2、在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（       ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④

3、在中，若，则的度数是（       ）

A． B． C． D．

4、在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是（       ）

A．18 B．16 C．14 D．12

5、如图，DE是的中位线，若，则BC的长为（　　　）

A．8 B．7 C．6 D．7.5

6、下列命题不正确的是（       ）

A．三边对应相等的两三角形全等

B．若，则

C．有一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形

D．的三边为a、b、c，若，则是直角三角形．

7、下面性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）

A．对角互补 B．邻角互补

C．对角相等 D．对角线互相平分

8、已知锐角∠AOB，如图．

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；

（3）作射线OP交CD于点Q．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　　）

A．四边形OCPD是菱形 B．CP=2QC

C．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP

9、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（     ）

A．80° B．90° C．100° D．110°

10、如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（     ）

A．3 B．4 C．5 D．6

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．

2、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC：BD＝2：3，那么AC的长为___．

3、如图1，在平面直角坐标系xOy中，□ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么图2中a的值是 ___，b的值是 ___．

4、如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．在运动过程中：

（1）斜边中线的长度是否发生变化___（填“是”或“否”）；

（2）点到点的最大距离是___．

5、如图，在平行四边形中，是对角线，，点是的中点，平分，于点，连接．已知，，则的长为_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，直线，线段分别与直线、交于点、点，满足．

(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交线段于点，连接、、、．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）

(2)求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）

证明：

____①____

垂直平分

，

∴____②____

____③____

∴四边形是___④_____

∴四边形是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．

2、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；

(2)若，，，求DF的长．

3、已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．

(1)求证：AF＝CG；

(2)连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？

4、如图，把矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，使点E落在对角线BD上，连接DG，DF．

(1)若∠BAE＝50°，求∠DGF的度数；

(2)求证：DF＝DC．

5、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．

（1）计算AC2+BC2的值等于_____；

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）_____．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．

【详解】

解：根据题意，得：（n-2）×180=360×2，

解得n=6．

故选：D．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．

2、C

【解析】

【分析】

利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．

【详解】

∵CM、BN分别是高

∴△CMB、△BNC均是直角三角形

∵点P是BC的中点

∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线

∴

故①正确

∵∠BAC=60゜

∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜

∴AB=2AN，AC=2AM

∴AN：AB=AM：AC=1：2

即②正确

在Rt△ABN中，由勾股定理得：

故③错误

当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形

∵CM⊥AB，BN⊥AC

∴M、N分别是AB、AC的中点

∴MN是△ABC的中位线

∴MN∥BC

故④正确

即正确的结论有①②④

故选：C

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

利用平行四边形的对角相等即可选择正确的选项．

【详解】

解：四边形是平行四边形，

，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是记住平行四边形的性质，属于中考基础题．

4、B

【解析】

略

5、A

【解析】

【分析】

已知DE是的中位线，，根据中位线定理即可求得BC的长．

【详解】

是的中位线，，

，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；掌握中位线定理是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

根据三角形全等的判定定理（定理）、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．

【详解】

解：A、三边对应相等的两三角形全等，此命题正确，不符题意；

B、若，则，此命题正确，不符题意；

C、有一组对边平行、另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以此项命题不正确，符合题意；

D、的三边为、、，若，即，则是直角三角形，此命题正确，不符题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握各定理是解题关键．

7、A

【解析】

【分析】

直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．

【详解】

解：A、平行四边形对角不一定互补，故符合题意；

B、平行四边形邻角互补正确，故不符合题意；

C、平行四边形对角相等正确，故不符合题意．

D、平行四边形的对角线互相平分正确，故不符合题意；

故选A．

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．

8、A

【解析】

【分析】

根据作图信息可以判断出OP平分，由此可以逐一判断即可．

【详解】

解：由作图可知，平分

∴OP垂直平分线段CD

∴∠AOP=∠BOP，CD⊥OP

故选项C，D正确；

由作图可知，

∴是等边三角形，

∴

∵OP垂直平分线段CD

∴

∴CP=2QC

故选项B正确，不符合题意；

由作图可知，,不能确定四边形OCPD是菱形，故选项A符合题意，

故选：A

【点睛】

本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．

9、B

【解析】

【分析】

根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．

【详解】

解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，

又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，

∴∠EBD=∠A′BE+∠DBC′=180°×=90°．

故选B．

【点睛】

此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．

10、D

【解析】

【分析】

如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明．

【详解】

解：如图，过点作于点，连接，

由题意知

∴四边形为平行四边形

∵

∴四边形为矩形

∴

∵

∴

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴

①∵，

∴为等腰直角三角形

∴

，

∴

∴四边形是平行四边形

∴

∴

故①正确；

②∵

∴四边形为矩形

∴四边形的周长

故②正确；

③四边形为矩形

∵在和中

∵

∴

∴

∴

故③正确；

④∵

当最小时，最小

∴当时，即时，的最小值等于

故④正确；

⑤在和中，，

∴

故⑤正确；

⑥如图1，延长与交于点

∵在和中

∵

∴

∴

∵

∴

∴

故⑥正确；

综上，①②③④⑤⑥正确，

故选：．

【点睛】

本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．

二、填空题

1、平行

【解析】

略

2、4

【解析】

【分析】

四边形是平行四边形，可得，由，可知，由可知在中勾股定理求解的值，进而求解的值．

【详解】

解：∵四边形是平行四边形

∴

∵

∴

∵

∴

∴设

则

解得：

则

故

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了勾股定理，平行四边形的性质等知识．解题的关键在于正确的求解．

3、     7    

【解析】

【分析】

在图1中，过点D，B，C作直线与已知直线y＝﹣x平行，交x轴于点E，F，过D作DG⊥x轴于G，在图2中，取A'（2，0），E'（5，b），B'（a，b），F'（10，0），求出OA＝m＝2，OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，OF＝m＝10，OB＝m＝a，根据▱ABCD的面积为10，求出DG＝2，得到DE即为b值．

【详解】

解：在图1中，过点D，B，C作直线与已知直线y＝﹣x平行，交x轴于点E，F，过D作DG⊥x轴于G，

在图2中，取A'（2，0），E'（5，b），B'（a，b），F'（10，0），

图1中点A对应图2中的点A'，得出OA＝m＝2，

图1中点E对应图2中的点E'，得出OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，

图1中点F对应图2中的点F'，得出OF＝m＝10，

图1中点B对应图2中的点B'，得出OB＝m＝a，

∵a＝OB＝OF﹣BF，BF＝AE＝3，OF＝10

∴a＝7，

∵▱ABCD的面积为10，AB＝OB﹣OA＝7﹣2＝5，

∴DG＝2，

在Rt△DGE中，∠DEG＝45°，

∴DE＝=，

故答案是：7，．

【点睛】

此题考查了平行四边形与函数图象的结合，正确掌握平行四边形的性质，直线y＝﹣x与坐标轴夹角45度的性质，一次函数图象平行的性质，勾股定理，正确理解函数图象得到相关信息是解题的关键．

4、     否    

【解析】

【分析】

（1）设斜边中点为，根据直角三角形斜边中线即可；

（2）取的中点，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当、、Q三点共线时，点到点的距离最大，再根据勾股定理列式求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，两者相加即可得解．

【详解】

解：（1）如图，设斜边中点为，在运动过程中，斜边中线

长度不变，故不变，

故答案为：否；

（2）连接、、，在矩形的运动过程当中，根据三角形的任意两边之和大于第三边有，

当、、三点共线时，则有，此时，取得最大值，如图所示，

为中点，

，

又，

，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点、Q、三点共线时，点到点的距离最大是解题的关键．

5、##3.5##

【解析】

【分析】

延长AB、CF交于点H，由“ASA”可证△AFH≌△AFC，可得AC=AH=12，HF=CF，由三角形中位线定理可求解．

【详解】

解：如图，延长、交于点，

四边形是平行四边形，，，

，

平分，，

在和中，

，

，

，，

，

点是的中点，，

∴EF是△CBH的中位线，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【解析】

【分析】

（1）分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；

（2）：根据，内错角相等得出∠2①，根据垂直平分       ，得出，，可证②△EOC，根据全等三角形性质得出OF③，再证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形④，根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤）．

(1)

解：分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；

如图所示

(2)

证明：，

∠2①，

垂直平分       ，

，，

∴②△EOC，

OF③，

，

，

，

∴四边形是平行四边形④，

，

∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤），

故答案为：①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【点睛】

本题考查尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．

2、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；

（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．

(1)

∵BE＝CF，

∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，

∵ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD为矩形．

(2)

∵四边形AEFD为矩形，

∴AF＝DE＝4，DF=AE，

∵，，，

∴AB2+AF2＝BF2，

∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，

∴，

∴AE=，

∴．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

3、 (1)见解析

(2)当AD=AB时，四边形BEDH是正方形

【解析】

【分析】

（1）要证明AF=CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；

（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90°，四边形BEDH是正方形．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，

∴∠AEF=∠CHG，

∵BE=2AB，DH=2CD，

∴BE=DH，

∴BE-AB=DH-DC，

∴AE=CH，

∴∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180°，

∴∠EAF=∠GCH，

∴△EAF≌△HCG(ASA)，

∴AF=CG；

(2)

解：当AD=AB时，四边形BEDH是正方形；

理由：∵BE∥DH，BE=DH，

∴四边形EBHD是平行四边形，

∵EH⊥BD，

∴四边形EBHD是菱形，

∴ED=EB=2AB，

当AE2+DE2=AD2时，则∠BED=90°，

∴四边形BEDH是正方形，即AB2+(2AB)2=AD2，

∴AD=AB，

∴当AD=AB时，四边形BEDH是正方形．

．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．

4、 (1)∠DGF=25°；

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）由旋转的性质得出AB=AE，AD=AG，∠BAD=∠EAG=∠AGF=90°，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案；

（2）证出四边形ABDF是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．

(1)

解：由旋转得AB=AE，AD=AG，∠BAD=∠EAG=∠AGF=90°，

∴∠BAE=∠DAG=50°，

∴∠AGD=∠ADG==65°，

∴∠DGF=90°-65°=25°；

(2)

证明：连接AF，

由旋转得矩形AEFG≌矩形△ABCD，

∴AF=BD，∠FAE=∠ABE=∠AEB，

∴AF∥BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF=AB=DC．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记矩形的性质并准确识图是解题的关键．

5、     11     见解析

【解析】

【分析】

（1）直接利用勾股定理求出即可；

（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．

【详解】

解：（1）AC2+BC2＝（）2+32＝11；

故答案为：11；

（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；

延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求，如图，

【点睛】

本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，平行四边形与矩形的性质，掌握勾股定理以及特殊四边形的性质是解题的关键．