
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2020-2021学年第二十二章 四边形综合与测试优秀课时练习
展开八年级数学下册第二十二章四边形专题测试
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上,,,则点C的坐标为( )
A. B. C. D.
2、一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍,则该多边形的内角和是( )
A.360° B.900° C.1440° D.1800°
3、如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=6,F为DE的中点.若OF的长为1,则△CEF的周长为( )
A.14 B.16 C.18 D.12
4、如图,在中,,于点D,F在BC上且,连接AF,E为AF的中点,连接DE,则DE的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5、六边形对角线的条数共有( )
A.9 B.18 C.27 D.54
6、如图,平行四边形ABCD的边BC上有一动点E,连接DE,以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A.在点E从点B移动到点C的过程中,矩形DEGF的面积( )
A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持不变
7、如图,菱形ABCD的面积为24cm2,对角线BD长6cm,点O为BD的中点,过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E,连接OE,则线段OE的长度是( )
A.3cm B.4cm C.4.8cm D.5cm
8、一个多边形的每个内角均为150°,则这个多边形是( )
A.九边形 B.十边形 C.十一边形 D.十二边形
9、如图,把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠,点D的对应点落在∠BAC内部.若,且,则∠DAE的度数为( )
A.12° B.24° C.39° D.45°
10、如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B′恰好落在AD边上,则BE的长度为( )
A.1 B. C. D.2
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、从八边形的一个顶点引出的对角线有_____条.
2、如图,在中,,,射线AF是的平分线,交BC于点D,过点B作AB的垂线与射线AF交于点E,连结CE,M是DE的中点,连结BM并延长与AC的延长线交于点G.则下列结论正确的是______.
① ②BG垂直平分DE ③ ④ ⑤
3、如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的顶点D在x轴上,边BC在y轴上,若点A的坐标为(12,13),则点C的坐标是___.
4、如图,在矩形ABCD中,,,E、F分别是边AB、BC上的动点,且,M为EF中点,P是边AD上的一个动点,则的最小值是______.
5、四边形ABCD中,AD∥BC,要使它平行四边形,需要增加条件________(只需填一个 条件即可).
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、已知正多边形的内角和比外角和大720°,求该正多边形所有对角线的条数.
2、如图,在矩形ABCD中,
(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):作对角线BD的垂直平分线EF分别交AD、BC于E、F点,交BD于O点.
(2)在(1)的条件下,求证:AE=CF.
3、如图,已知平行四边形ABCD.
(1)用尺规完成以下基本作图:在CB上截取CE,使CE=CD,连接DE,作∠ABC的平分线BF交AD于点F.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图形中,证明四边形BEDF为平行四边形.
4、如图,正方形ABCD中,E为BD上一点,AE的延长线交BC的延长线于点F,交CD于点H,G为FH的中点.
(1)求证:AE=CE;
(2)猜想线段AE,EG和GF之间的数量关系,并证明.
5、(1)【发现证明】
如图1,在正方形中,点,分别是,边上的动点,且,求证:.小明发现,当把绕点顺时针旋转90°至,使与重合时能够证明,请你给出证明过程.
(2)【类比引申】
①如图2,在正方形中,如果点,分别是,延长线上的动点,且,则(1)中的结论还成立吗?若不成立,请写出,,之间的数量关系______(不要求证明)
②如图3,如果点,分别是,延长线上的动点,且,则,,之间的数量关系是______(不要求证明)
(3)【联想拓展】如图1,若正方形的边长为6,,求的长.
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
如图:过C作CE⊥OA,垂足为E,然后求得∠OCE=30°,再根据含30°角直角三角形的性质求得OE,最后运用勾股定理求得CE即可解答.
【详解】
解:如图:过C作CE⊥OA,垂足为E,
∵菱形OABC,
∴OC=OA=4
∵,
∴∠OCE=30°
∵OC=4
∴OE=2
∴CE=
∴点C的坐标为.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点,作出辅助线、求出OE、CE的长度是解答本题的关键.
2、C
【解析】
【分析】
设每一个外角都为x,则相邻的内角为4x,然后根据“邻补角和为180°”列方程求得外角的大小,然后再根据多边形外角和定理求得多边形边数,最后运用多边形内角和公式求解即可.
【详解】
解:设每一个外角都为x,则相邻的内角为4x,
由题意得,4x+x=180°,
解得:x=36°,
多边形的外角和为360°,
360°÷36°=10,
所以这个多边形的边数为10,
则该多边形的内角和是:(10﹣8)×180=1440°.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和相邻外角的关系、多边形的外角和、多边形内角和等知识点,掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键.
3、B
【解析】
【分析】
根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得:,结合图形得出的周长为,再由中位线的性质得出,在中,利用勾股定理确定,即可得出结论.
【详解】
解:在正方形ABCD中,,,,
∵F为DE的中点,O为BD的中点,
∴OF为的中位线且CF为斜边上的中线,
∴,
∴的周长为,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
在中,,,,
∴,
∴的周长为,
故选:B.
【点睛】
题目主要考查正方形的性质,三角形中位线的性质,勾股定理,直角三角形斜边中线的性质等,理解题意,熟练掌握运用各个知识点是解题关键.
4、B
【解析】
【分析】
先求出,再根据等腰三角形的三线合一可得点是的中点,然后根据三角形中位线定理即可得.
【详解】
解:,
,
,
(等腰三角形的三线合一),
即点是的中点,
为的中点,
是的中位线,
,
故选:B.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理,熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键.
5、A
【解析】
【分析】
n边形对角线的总条数为:(n≥3,且n为整数),由此可得出答案.
【详解】
解:六边形的对角线的条数= =9.
故选:A.
【点睛】
本题考查了多边形的对角线的知识,属于基础题,解答本题的关键是掌握:n边形对角线的总条数为:(n≥3,且n为整数).
6、D
【解析】
【分析】
连接AE,根据,推出,由此得到答案.
【详解】
解:连接AE,
∵,
∴,
故选:D.
.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质,矩形的性质,正确连接辅助线AE是解题的关键.
7、B
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出BD=6cm,由菱形的面积得出AC=8cm,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果.
【详解】
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,
∵BD=6cm,S菱形ABCD═AC×BD=24cm2,
∴AC=8cm,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴OE=AC=4cm,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质;熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
8、D
【解析】
【分析】
先求出多边形的外角度数,然后即可求出边数.
【详解】
解:∵多边形的每个内角都等于150°,
∴多边形的每个外角都等于180°-150°=30°,
∴边数n=360°÷30°=12,
故选:D.
【点睛】
本题考查多边形的内角和、外角来求多边形的边数,属于基础题,熟练掌握多边形中内角和定理公式是解决本类题的关键.
9、C
【解析】
【分析】
由折叠的性质得到,由长方形的性质得到,根据角的和差倍分得到,整理得 ,最后根据解题.
【详解】
解:折叠,
是矩形
故选:C.
【点睛】
本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
10、D
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°,由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°,BE=B'E,设BE=x,则B'E=x,AE=3-x,由直角三角形的性质可得:2(3-x)=x,解方程求出x即可得出答案.
【详解】
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,∠A=90°,
∴∠EFD=∠BEF=60°,
∵将四边形EBCF沿EF折叠,点B'恰好落在AD边上,
∴∠BEF=∠FEB'=60°,BE=B'E,
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°,
∴B'E=2AE,
设BE=x,则B'E=x,AE=3-x,
∴2(3-x)=x,
解得x=2.
故选:D.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,折叠的性质,含30°角的直角三角形的性质等知识点,能综合性运用性质进行推理是解此题的关键.
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出(n﹣3)条对角线可直接得到答案.
【详解】
解:从八边形的一个顶点可引出的对角线的条数有8﹣3=5(条),
故答案为:5.
【点睛】
此题主要考查了多边形的对角线,关键是掌握计算方法.
2、①②⑤
【解析】
【分析】
先由题意得到∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°,∠BAC=45°,再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAC=22.5°,从而推出∠BEA=∠ADC,则∠BDE=∠BED,再由三线合一定理即可证明BM⊥DE,∠GBE=∠DBG,即可判断②;得到∠MAG+∠MGA=90°,再由∠CBG+∠CGB=90°,可得∠DAC=∠GBC=22.5°,则∠GBE=22.5°,2∠GBE=45°,从而可证明△ACD≌△BCG,即可判断①;则CD=CG,再由AC=BC=BD+CD,可得到AC=BE+CG,即可判断⑤;由∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°,即可判断④;延长BE交AC延长线于G,先证△ABH是等腰直角三角形,得到C为AH的中点,然后证BE≠HE,即E不是BH的中点,得到CE不是△ABH的中位线,则CE与AB不平行,即可判断③.
【详解】
解:∵∠ACB=90°,BE⊥AB,AC=BC,
∴∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°,∠BAC=45°,
∴∠BAE+∠BEA=90°,∠DAC+∠ADC=90°,
∵AF平分∠BAC,
∴∠BAE=∠DAC=22.5°,
∴∠BEA=∠ADC,
又∵∠ADC=∠BDE,
∴∠BDE=∠BED,
∴BD=ED,
又∵M是DE的中点,
∴BM⊥DE,∠GBE=∠DBG,
∴BG垂直平分DE,∠AMG=90°,故②正确,
∴∠MAG+∠MGA=90°,
∵∠CBG+∠CGB=90°,
∴∠DAC=∠GBC=22.5°,
∴∠GBE=22.5°,
∴2∠GBE=45°,
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△BCG(ASA),故①正确;
∴CD=CG,
∵AC=BC=BD+CD,
∴AC=BE+CG,故⑤正确;
∵∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°,
∴∠G≠2∠GBE,故④错误;
如图所示,延长BE交AC延长线于G,
∵∠ABH=∠ABC+∠CBH=90°,∠BAC=45°,
∴△ABH是等腰直角三角形,
∵BC⊥AH,
∴C为AH的中点,
∵AB≠AH,AF是∠BAH的角平分线,
∴BE≠HE,即E不是BH的中点,
∴CE不是△ABH的中位线,
∴CE与AB不平行,
∴BE与CE不垂直,故③错误;
故答案为:①②⑤.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,三角形中位线定理,三角形内角和定理,熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的挂件.
3、(0,-5)
【解析】
【分析】
在Rt△ODC中,利用勾股定理求出OC即可解决问题.
【详解】
解:∵A(12,13),
∴OD=12,AD=13,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=AD=13,
在Rt△ODC中,,
∴C(0,-5).
故答案为:(0,-5)
【点睛】
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
4、11
【解析】
【分析】
作点C关于AD的对称点G,连接PG、GD、BM、GB,则当点P、M在线段BG上时,GP+PM+BM最小,从而 CP+PM最小,在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长,从而求得最小值.
【详解】
如图,作点C关于AD的对称点G,连接PG、GD、BM、GB
由对称的性质得:PC=PG,GD=CD
∵GP+PM+BM≥BG
∴CP+PM=GP+PM≥BG-BM
则当点P、M在线段BG上时,CP+PM最小,且最小值为线段BG-BM
∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=6,∠BCD=∠ABC=90°
∴CG=2CD=12
∵M为线段EF的中点,且EF=4
∴
在Rt△BCG中,由勾股定理得:
∴GM=BG-BM=13-2=11
即CP+PM的最小值为11.
【点睛】
本题是求两条线段和的最小值问题,考查了矩形性质,折叠的性质,直角三角形斜边上中线的性质,两点间线段最短,勾股定理等知识,有一定的综合性,关键是作点C关于AD的对称点及连接BM,GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值.
5、AD=BC
【解析】
略
三、解答题
1、20条
【解析】
【分析】
多边形的内角和可以表示成(n-2)•180°,外角和是固定的360°,根据正多边形内角和与外角和的差等于720°,列方程求出正多边形的边数.然后根据n边形共有条对角线,得出此正多边形的所有对角线的条数.
【详解】
解:设此正多边形为正n边形.
由题意得:,
解得n=8,
∴此正多边形所有的对角线条数为:=20.
答:这个正多边形的所有对角线有20条.
【点睛】
此题考查多边形的边数与对角线条数,一元一次方程,解题关键在于掌握多边形内角和公式和外角和,以及对角线条数计算公式..
2、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)利用尺规作出图形即可.
(2)利用全等三角形的性质证明即可.
(1)
解:如图,直线EF即为所求作.
.
(2)
证明:在矩形ABCD中,AD=BC,∠ADB=∠DBC,
∵EF为BD的垂直平分线,
∴∠EOD=∠FOB=90°,OB=OD,
在△EOD与△FOB中,
,
∴△EOD≌△FOB(ASA),
∴ED=BF,
∴AD-ED=BC-BF,即AE=CF.
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图,线段的垂直平分线,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
3、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)延长CB到E使CE=CD,然后作∠ABC的平分线交AD的延长线于F;
(2)先根据平行四边形的性质得到AD=BC,AB=CD,ADBC,则CE=AB,再证明∠ABF=∠F得到AB=AF,然后证明BE=DF,从而可判断四边形BEDF为平行四边形.
(1)
如图,DE、BF为所作;
(2)
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,AD∥BC,
∵CE=CD,
∴CE=AB,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
∵AFBC,
∴∠CBF=∠F,
∴∠ABF=∠F,
∴AB=AF,
∴CE=AF,即CB+BE=AD+DF,
∴BE=DF,
∵BEDF,
∴四边形BEDF为平行四边形.
【点睛】
本题考查了作线段,作角平分线,平行四边形的性质与判定,掌握以上知识是解题的关键.
4、 (1)见解析
(2)AE2+ GF2=EG2,证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据“SAS”证明△ADE≌△CDE即可;
(2)连接CG,可得CG=GF=GH=FH,再证明∠ECG=90°,然后在Rt△CEG中,可得CE2+CG2=EG2,进而可得线段AE,EG和GF之间的数量关系.
(1)
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADE=∠CDE,
在△ADE和△CDE中
,
∴△ADE≌△CDE,
∴AE=CE;
(2)
AE2+ GF2=EG2,理由:
连接CG
∵△ADE≌△CDE,
∴∠1=∠2.
∵G为FH的中点,
∴CG=GF=GH=FH,
∴∠6=∠7.
∵∠5=∠6,
∴∠5=∠7.
∵∠1+∠5=90°,
∴∠2+∠7=90°,即∠ECG=90°,
在Rt△CEG中,CE2+CG2=EG2,
∴AE2+ GF2=EG2.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形的性质,以及勾股定理等知识,证明△ADE≌△CDE是解(1)的关键,证明∠ECG=90°是解(2)的关键.
5、(1)见解析;(2)①不成立,结论:;②,见解析;(3)
【解析】
【分析】
(1)证明,可得出,则结论得证;
(2)①将绕点顺时针旋转至根据可证明,可得,则结论得证;②将绕点逆时针旋转至,证明,可得出,则结论得证;
(3)求出,设,则,,在中,得出关于的方程,解出则可得解.
【详解】
(1)证明:把绕点顺时针旋转至,如图1,
,,,
,
,,三点共线,
,
,
,
,
,
,
,
;
(2)①不成立,结论:;
证明:如图2,将绕点顺时针旋转至,
,,,,
,
,
,
;
②如图3,将绕点逆时针旋转至,
,,
,
,
,
,
,
,
.
即.
故答案为:.
(3)解:由(1)可知,
正方形的边长为6,
,
.
,
,
设,则,,
在中,
,
,
解得:.
,
.
【点睛】
本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用,解题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应边相等进行推导.
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