冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品课后复习题

八年级数学下册第二十二章四边形难点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，平行四边形ABCD，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．

2、下列说法正确的是（　　）

A．只有正多边形的外角和为360°

B．任意两边对应相等的两个直角三角形全等

C．等腰三角形有两条对称轴

D．如果两个三角形一模一样，那么它们形成了轴对称图形

3、如图，在中，，于E，DE交AC于点F，M为AF的中点，连接DM，若，则的大小为（       ）．

A．112° B．108° C．104° D．98°

4、下列命题是真命题的有（　　）个．

①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．

A．1 B．2 C．3 D．4

5、如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　）

A．1 B． C． D．

6、将一长方形纸条按如图所示折叠，，则（       ）

A．55° B．70° C．110° D．60°

7、下列说法错误的是（       ）

A．平行四边形对边平行且相等 B．菱形的对角线平分一组对角

C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形有四条对称轴

8、如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形．此时点A的对应点恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点之间的距离为（       ）

A．3 B．6 C． D．

9、下列说法不正确的是（       ）

A．三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角

B．四边形的内角和与外角和相等

C．等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条

D．全等三角形的周长相等，面积也相等

10、如图，点D，E分别是△ABC边BA，BC的中点，AC＝3，则DE的长为（       ）

A．2 B． C．3 D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，则CD=____．

2、中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，则当AD＝________时，四边形ABCD是平行四边形．

3、如图，在矩形中，，点在边上，联结．如果将沿直线翻折，点恰好落在线段上，那么 的值为_________．

4、如图，在中，∠ACB＝90°，DEBC，DE＝AC，若AC＝2， AD＝DB＝4，∠ADC＝30°．以下四个结论：①四边形ACED是平行四边形；②∠ABE＝；③AB＝；④点F是AD中点，点G、H分别是线段BC、AB上的动点，则FG＋GH的最小值为．正确的是_____．（填序号）

5、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在平面直角坐标系中，已知点，，，以点，，为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，，，如图所示．

(1)若，则点，，的坐标分别是（　　），（　　），（　　）；

(2)若△是以为底的等腰三角形，

①直接写出的值；

②若直线与△有公共点，求的取值范围．

(3)若直线与△有公共点，求的取值范围．

2、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；

(2)若，，，求DF的长．

3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．

4、如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，求证：DC＝CF．

5、如图，在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于F点，连接，过点D作于点G．

(1)求证：四边形是平行四边形：

(2)若．

①当___________时，四边形是矩形；

②若四边形是菱形，则________．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

先证明NM为△AEF的中位线，根据中位线性质得出MN=，可得AE最小时，MN最小，根据点E在直线BC上，根据点到直线的距离最短得出AE⊥BC时AE最短，根据在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，利用三角形内角和∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，利用30°直角三角形性质得出BE=，再利用勾股定理求出AE即可．

【详解】

解：∵M为FA中点，N为FE中点，

∴NM为△AEF的中位线，

∴MN=

∴AE最小时，MN最小，

∵点E在直线BC上，

根据点A到直线BC的距离最短，

∴AE⊥BC时AE最短，

∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，

∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，

在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=2，

∴BE=，

根据勾股定理AE最小值=,

∴MN=．

故选择C．

【点睛】

本题考查三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理，掌握三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理是解题关键．

2、B

【解析】

【分析】

选项A根据多边形的外角和定义判断即可；选项B根据三角形全等的判定方法判断即可；选项C根据轴对称图形的定义判断即可；选项D根据轴对称的性质判断即可．

【详解】

解：A．所有多边形的外角和为，故本选项不合题意；

B．任意两边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，故本项符合题意；

C．等腰三角形有1条对称轴，故本选项不合题意；

D．如果两个三角形一模一样，那么它们不一定形成轴对称图形，故本选项不合题意；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了多边形的外角和，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．

3、C

【解析】

【分析】

根据平行四边形及垂直的性质可得为直角三角形，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角及三角形外角的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∴为直角三角形，

∵M为AF的中点，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角及三角形外角的性质和三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

4、B

【解析】

【分析】

根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．

【详解】

解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；

②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；

③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；

④四条边都相等的四边形是菱形，正确；

⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．

故选：B．

【点睛】

此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．

5、C

【解析】

【分析】

证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长．

【详解】

解：四边形是正方形，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．

6、B

【解析】

【分析】

从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．

【详解】

解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．

7、C

【解析】

【分析】

根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可．

【详解】

解：A、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；

B、菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；

C、矩形的对角线相等，不正确，符合题意；

D、正方形有四条对称轴，正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．

8、B

【解析】

【分析】

连接，由矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD，由旋转的性质得出，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由直角三角形的性质求出AC的长，由矩形的性质可得出答案．

【详解】

解：连接，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AC=BD，

∵点是AC的中点， ∴，

∵将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形，

∴

∴，

∴是等边三角形，

∴∠BAA'=60°，

∴∠ACB=30°，

∵AB=3， ∴AC=2AB=6，

∴．

即点B与点之间的距离为6．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，求出AC的长是解本题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

根据三角形外角的性质，四边形内角和定理和外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质判断即可．

【详解】

∵三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角，正确，

∴A不符合题意；

∵四边形的内角和与外角和都是360°，

∴四边形的内角和与外角和相等，正确，

∴B不符合题意；

∵等边三角形是轴对称图形，对称轴有三条，

∴等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，错误，

∴C符合题意；

∵全等三角形的周长相等，面积也相等，正确，

∴D不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，四边形的内角和，外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质，准确相关知识是解题的关键．

10、D

【解析】

略

二、填空题

1、6

【解析】

【分析】

由AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AB的长，然后由平行四边形的性质，求得答案．

【详解】

解：∵AC⊥BC，E为AB中点，

∴AB=2CE=2×3=6，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=6．

故答案为：6．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意平行四边形的对边相等．

2、6

【解析】

略

3、

【解析】

【分析】

先根据翻折的性质得出AD′=AD=5，DP=PD′，，然后在Rt△ABF中由勾股定理求出BD′=4，D′C=1，设DP=x，则D′P=x，PC=3-x，在RtCD′P中，由勾股定理求出列方程求出x即可，然后利用三角形的面积公式求出S△ADP和的面积即可．

【详解】

解：∵AB=3，BC=5，

∴DC=3，AD=5，

又∵将△ADP折叠使点D恰好落在BC边上的点D′，

∴AD′=AD=5，DP=PD′，

在Rt△ABD′中，AB=3，AD′=5，

∴BD′==4，

∴D′C=5-4=1，

设DP=x，则D′P=x，PC=3-x，

在Rt△CD′P中，D′P2=D′C2+PC2，即x2=12+（3-x）2，解得x=，

即DP的长为，

∵AD=5，

∴S△ADP=×DP×AD=××5=，=3×5-=，

∴=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了矩形的性质以及勾股定理．

4、①③④

【解析】

【分析】

证明，结合DE＝AC，可判定结论①；假设∠ABE＝，在中，根据勾股定理得到，则假设不成立，可判断结论②；在中和中，利用勾股定理可求出AB的值，即可判断结论③；作点F关于BC对称的点F’，作于点H，与BC相交于点G，则，，根据“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”可知，此时FG＋GH有最小值．通过勾股定理分别求得FG、GH的值，相加即可判断结论④．

【详解】

解：∵∠ACB＝90°，DEBC，

∴∠CDE＝∠ACB＝90°，

∴

又∵DE＝AC，

∴四边形ACED是平行四边形；故结论①正确．

∵AD＝DB＝4，∠ADC＝30°，

∴∠ABC＝∠DAB＝，

假设∠ABE＝，则，

∴在中，，

∴，

∴假设不成立；故结论②错误．

在中，，，

∴，

∴

∴在中，，，

∴，

即AB＝；故结论③正确．

如图所示，作点F关于BC对称的点F’，作于点H，与BC相交于点G，则，，根据“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”可知，此时FG＋GH有最小值．

连接AG，与BC相交于点M，

∵，∠ABC＝，

∴，

∴，

∵四边形ACED是平行四边形，

∴，

∴，

∴

又∵点F是AD中点，点F与点F’关于BC对称，AD＝4，

∴，

∴，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，，

∴，

又∵∠DAB＝，

∴，

∴在中，，

∵点F是AD中点，点F与点F’关于BC对称，,

∴，,

∴，

∵，

∴，

∴在中，，

∴，

即FG＋GH的最小值为；故结论④正确．

故答案为：①③④．

【点睛】

本题考查勾股定理的应用．其中涉及平行线的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，“一定两动”求线段最小值等问题．综合性较强．

5、49

【解析】

【分析】

延长FE交AB于点M，则，，由正方形的性质得，推出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出CM，故得出BC，由正方形的面积公式即可得出答案．

【详解】

如图，延长FE交AB于点M，则，，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

在中，，

∴，

∴．

故答案为：49．

【点睛】

本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)-3，3，1，3，-3，-1

(2)①-2；②

(3)或

【解析】

【分析】

（1）分别以、、为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点，，的坐标；

（2）①根据平行公理得，、在同一直线上，、、在同一直线上，可得是等腰三角形△的中位线，求出，即可得的值；

②由①求得的的值可得，的坐标，分别求出直线过点，时的值即可求解；

（3）由题意用表示出点，，的坐标，画出图形，求出直线与△交于点，时的值即可求解．

(1)

解：，，

，轴．

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

，，

将向左平移2个单位长度可得，即；

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

，，

将向右平移2个单位长度可得，即；

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

对角线的中点与的中点重合，

的中点为，，

．

故答案为：，，；

(2)

解：①如图，若△是以为底的等腰三角形，

四边形，，是平行四边形，

，，，

、、在同一直线上，、、在同一直线上，，

是等腰三角形△的中位线，

，，

，，，

，

；

②由①得，

，．

当直线过点时，，解得：，

当直线过点时，，解得：，

的取值范围为；

(3)

解：如图，，，，

，．

连接、交于点，

四边形是平行四边形，

点、关于点对称，

，

直线与△有公共点，

当直线与△交于点，，解得：，

时，直线与△有公共点；

当直线与△交于点，，解得：，

时，直线与△有公共点；

综上，的取值范围为或．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．

2、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；

（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．

(1)

∵BE＝CF，

∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，

∵ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD为矩形．

(2)

∵四边形AEFD为矩形，

∴AF＝DE＝4，DF=AE，

∵，，，

∴AB2+AF2＝BF2，

∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，

∴，

∴AE=，

∴．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

3、10cm

【解析】

【分析】

根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．

【详解】

解：∵∠BOC＝120°，

∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OB，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝5cm，

∴OA＝OB＝AB＝5cm，

∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．

【点睛】

本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．

4、见解析

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质可得∠BAE＝∠CFE，根据中点的定义可得EB＝EC，利用AAS可证明△ABE≌△FCE，可得AB＝CF，进而可得结论．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BAE＝∠CFE；

∵E为BC中点，

∴EB＝EC，

在△ABE与△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（AAS），

∴AB＝CF，

∴DC＝CF．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

5、 (1)见解析；

(2)①3；②

【解析】

【分析】

（1）根据三角形中位线的性质得到DEAB，BD=CD，即可证得四边形ABDF是平行四边形，得到AF=BD=CD，由此得到结论；

（2）①由点D、E分别是边BC、AC的中点，得到DE=AB，由四边形是平行四边形，得到DF=2DE=AB=3，再根据矩形的性质得到AC=DF=3；

②根据菱形的性质得到DF⊥AC，推出AB⊥AC，利用勾股定理求出AC，得到CE，利用面积法求出答案．

(1)

证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DEAB，BD=CD，

∵，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴AF=BD=CD，

∴四边形是平行四边形；

(2)

解：①∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE=AB，

∵四边形是平行四边形，

∴DF=2DE=AB=3，

∵四边形是矩形,

∴AC=DF=3，

故答案为：3；

②∵四边形是菱形，

∴DF⊥AC，

∵DEAB，

∴AB⊥AC，

∴AD=BC=2.5，

∴AE=EC=2，

∵

∴

∴，

故答案为：．

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．