高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第2章　函数、导数及其应用 2.3（教师版）

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[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．下列函数为奇函数的是(　　)A．y＝x3＋3x2 B．y＝C．y＝xsinx D．y＝log2答案　D解析　函数y＝x3＋3x2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A；函数y＝是偶函数，排除B；函数y＝xsinx是偶函数，排除C；函数y＝log2的定义域是(－3,3)，且f(－x)＝log2＝－f(x)，是奇函数，D正确．故选D.2．下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是(　　)A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2|x|C．f(x)＝log2 D．f(x)＝sinx答案　C解析　函数f(x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，排除A；当x∈(－∞，0)时，函数f(x)＝2|x|＝x在(－∞，0)上单调递减，排除B；当x∈(－∞，0)时，函数f(x)＝log2＝－log2(－x)在(－∞，0)上单调递增，且函数f(x)在其定义域内是偶函数，C正确；函数f(x)＝sinx是奇函数，排除D.故选C.3．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln (1＋x)．则当x<0时，f(x)＝(　　)A．－x3－ln (1－x) B．x3＋ln (1－x)C．x3－ln (1－x) D．－x3＋ln (1－x)答案　C解析　当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln (1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln (1－x)]，∴f(x)＝x3－ln (1－x)．故选C.4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝(　　)A．－0.5 B．0.5C．－2.5 D．2.5答案　D解析　∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．∴函数f(x)的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，∴f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.故选D.5．已知函数f(x)在∀x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝2x，则f(2017)等于(　　)A. B．－C．1 D．－1答案　B解析　由f(x－2)＝－f(x)，得f(x－4)＝－f(x－2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(2017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－.故选B.6．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为(　　)A．2 B．1C．－1 D．－2答案　A解析　∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，故4为函数f(x)的周期，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.故选A.7．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2018)＝(　　)A．－2 B．－1C．0 D．2答案　D解析　因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，所以当x>0时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以f(2018)＝f(1)，又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.故选D.8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2018)的值为(　　)A．2 B．0C．－2 D．±2答案　A解析　∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．即f(x＋1)＝－f(x－1)．∴f(x＋2)＝－f(x)．∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数，且周期为4.∴f(2018)＝f(2)＝2.故选A.9．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)A．(－1,4) B．(－2,0)C．(－1,0) D．(－1,2)答案　A解析　∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，解得－1<a<4.故选A.10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点所构成的集合为(　　)A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}答案　D解析　当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3x]＝－x2－3x，易求得g(x)＝当x2－4x＋3＝0时，可求得x1＝1，x2＝3；当－x2－4x＋3＝0时，可求得x3＝－2－，x4＝－2＋(舍去)．故g(x)的零点为1,3，－2－.故选D.二、填空题11．若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.答案　±1解析　∵f(－x)＝＝，∴f(－x)＋f(x)＝＝.由f(－x)＋f(x)＝0，可得k2＝1，∴k＝±1.12．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．答案　－解析　∵f(x)是周期为2的函数，∴f＝f＝f，f＝f＝f，又∵f＝f，∴f＝f，即－＋a＝，解得a＝，则f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－.13．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得取定义域内的每一个x值，都有f(x)＝－f(2a－x)，则称f(x)为准奇函数．给出下列函数：①f(x)＝(x－1)2，②f(x)＝，③f(x)＝x3，④f(x)＝cosx，其中所有准奇函数的序号是________．答案　②④解析　对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得取定义域内的每一个x值，都有f(x)＝－f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于(a,0)对称．对于①，f(x)＝(x－1)2，函数图象无对称中心；对于②，f(x)＝，函数f(x)的图象关于(－1,0)对称；对于③，f(x)＝x3，函数f(x)的图象关于(0,0)对称；对于④，f(x)＝cosx，函数f(x)的图象关于(k∈Z)对称．所以所有准奇函数的序号是②④.14．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，f(－2)＝－3，数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－1，Sn＝2an＋n(n∈N*)，则f(a5)＋f(a6)＝________.答案　3解析　∵奇函数f(x)满足f＝f(x)，∴f＝－f(－x)，∴f(x)＝－f＝f(x＋3)，∴f(x)是以3为周期的周期函数，∵Sn＝2an＋n①，∴Sn＋1＝2an＋1＋n＋1②，②－①可得an＋1＝2an－1，结合a1＝－1，可得a5＝－31，a6＝－63，∴f(a5)＝f(－31)＝f(2)＝－f(－2)＝3，f(a6)＝f(－63)＝f(0)＝0，∴f(a5)＋f(a6)＝3.  三、解答题15．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2018,2018]上的根的个数，并证明你的结论．解　(1)证明：由⇒⇒f(4－x)＝f(14－x)⇒f(x)＝f(x＋10)．∴f(x)为周期函数，T＝10.(2)∵f(3)＝f(1)＝0，f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0，故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有两个解．从而可知函数y＝f(x)在[0,2018]上有404个解，在[－2018,0]上有403个解，所以函数y＝f(x)在[－2018,2018]上有807个解．16．定义在R上的函数f(x)对任意a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋k(k为常数)．(1)判断k为何值时，f(x)为奇函数，并证明；(2)设k＝－1，f(x)是R上的增函数，且f(4)＝5，若不等式f(mx2－2mx＋3)>3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．解　(1)若f(x)在R上为奇函数，则f(0)＝0，令a＝b＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋k，所以k＝0.证明：由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝x，b＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)因为f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.所以f(mx2－2mx＋3)>3＝f(2)对任意x∈R恒成立．又f(x)是R上的增函数，所以mx2－2mx＋3>2对任意x∈R恒成立，即mx2－2mx＋1>0对任意x∈R恒成立，当m＝0时，显然成立；当m≠0时，由得0<m<1.所以实数m的取值范围是[0,1)．