高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第3章三角函数、解三角形 3.3（教师版）

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[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　依题意得3cos＝0，＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－π(k∈Z)，因此|φ|的最小值是.故选A.2．已知函数y＝sinωx在上是增函数，则实数ω的取值范围是(　　)A.   B．[－3,0)C.   D．(0,3]答案　C解析　由于y＝sinx在上是增函数，为保证y＝sinωx在上是增函数，所以ω>0，且ω≤，则0<ω≤.故选C. 3．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)A．2－  B．0  C．－1  D．－1－答案　A解析　因为0≤x≤9，所以－≤x－≤，所以sin∈.所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.选A.4．设函数f(x)＝sin的最小正周期为π，且是偶函数，则(　　)A．f(x)在内单调递减B．f(x)在内单调递减C．f(x)在内单调递增D．f(x)在内单调递增答案　A解析　由条件，知ω＝2.因为f(x)是偶函数，且|φ|<，所以φ＝，这时f(x)＝sin＝cos2x.因为当x∈时，2x∈(0，π)，所以f(x)在内单调递减．故选A.5．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为πC．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称D．y＝f(x)的图象关于点对称答案　D解析　由题意知，f(x)＝cosx，所以它是偶函数，A错误；它的周期为2π，B错误；它的对称轴是直线x＝kπ，k∈Z，C错误；它的对称中心是点，k∈Z，D正确．故选D.6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象的一个对称中心为，则函数f(x)的单调递减区间是(　　)A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)答案　D解析　由题意得f＝sin＝0，则2×＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，又因为0<φ<，所以φ＝，则f(x)＝sin，则由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)＝sin的单调递减区间为，k∈Z.故选D.7．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是(　　)A．6  B．7  C．8  D．9答案　C解析　由y＝sin可得T＝6，则由图象可知≤t，即≤t，∴tmin＝8.故选C.8．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　A解析　将f(x)＝sin(2x＋φ)的图象左移个单位长度得y＝sin＝sin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，且|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin，当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－.选A.9．若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上(　　)A．是增函数   B．是减函数C．可以取得最大值M   D．可以取得最小值－M答案　C解析　T＝，g(x)＝Mcos(ωx＋φ)＝Msin＝Msin，∴g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移得到的．由b－a＝，可知，g(x)的图象由f(x)的图象向左平移得到的．∴得到g(x)图象如图所示．选C.10．已知函数f(x)＝|sinx|cosx，给出下列五个结论：①f＝－；②若|f(x1)|＝|f(x2)|，则x1＝x2＋kπ(k∈Z)；③f(x)在区间上单调递增；④函数f(x)的周期为π；⑤f(x)的图象关于点成中心对称．其中正确的结论是(　　)A．①⑤  B．①②⑤  C．②④  D．②⑤答案　A解析　①f＝cos＝×＝－，∴①正确；②若|f(x1)|＝|f(x2)|，则＝，当x1＝0，x2＝时也成立，∴②不正确；③∵当x∈时，f(x)＝|sinx|cosx＝∴f(x)在上不是单调函数，∴③不正确；④∵f(x＋π)≠f(x)，∴函数f(x)的周期不是π，∴④不正确；⑤∵f(x)＝|sinx|cosx＝k∈Z，∴结合图象可知f(x)的图象关于点成中心对称，∴⑤正确．故选A.二、填空题11．设函数f(x)＝sin(x＋φ)(0<φ<π)，若函数f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.答案　解析　由题意得f(x)＝sin(x＋φ)＝sinxcosφ＋cosxsinφ，f′(x)＝cos(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝sin是奇函数，因此φ＋＝kπ(其中k∈Z)，φ＝kπ－.又0<φ<π，所以φ＝.12．将函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，仅向右平移，或仅向左平移，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案　解析　注意到函数的两条相邻对称轴之间的距离是函数周期的一半，即有＝－＝2π，T＝4π，即＝4π，ω＝.  13．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f＝________.答案　－2解析　∵函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝，f(x)＝－4sinωx.A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则·＝1，∴ω＝π，f(x)＝－4sinπx，则f＝－4sin＝－2.14．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数．所有正确结论的编号为________．答案　②④解析　∵y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝＝2.又其图象关于直线x＝对称，得＋φ＝＋kπ(k∈Z)．令k＝0，得φ＝.∴y＝sin.当x＝时，f＝0，∴函数图象关于点对称．所以②正确．解不等式－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以④正确．三、解答题15．已知函数f(x)＝2sinx＋1.(1)设ω为大于0的常数，若f(ωx)在区间上单调递增，求实数ω的取值范围；解16．已知函数f (x)＝sin2x＋acosx＋a，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)的最大值；(2)如果对于区间上的任意一个x，都有f(x)≤1成立，求a的取值范围．解　(1)当a＝1时，f(x)＝－cos2x＋cosx＋2＝－2＋，∵cosx∈[－1,1]，∴当cosx＝，即x＝2kπ±(k∈Z)时，f(x)max＝.(2)依题意sin2x＋acosx＋a≤1，即sin2x＋a(cosx＋1)≤1对任意x∈恒成立．当x∈时，0≤cosx≤1，则1≤cosx＋1≤2，∴a≤ 对任意x∈恒成立．令t＝cosx＋1，则1≤t≤2，∴a≤＝＝t＋－2对任意1≤t≤2恒成立，于是a≤min.又∵t＋－2≥0，当且仅当t＝1，即x＝时取等号，∴a≤0.