高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第3章三角函数、解三角形 3.6（教师版）

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[重点保分 两级优选练]A级一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝(　　)A．1  B．2  C．4  D．6答案　C解析　a2＝c2＋b2－2cbcosA⇒13＝c2＋9－6ccos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．故选C.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则(　　)A．a>bB．a<bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定答案　A解析　据题意由余弦定理可得a2＋b2－2abcos120°＝c2＝(a)2，化简整理得a2＝b2＋ab，变形得a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝ab>0，故有a－b>0，即a>b.故选A.3．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于(　　)A．2  B．3  C.  D.答案　A解析　由2bsin2A＝asinB，得4bsinAcosA＝asinB，由正弦定理得4sinBsinAcosA＝sinAsinB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA＝，由余弦定理得a2＝b2＋4b2－b2，∴a2＝4b2，∴＝2.故选A.4．在△ABC中，三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则＝(　　)A．1  B．2  C．－2  D.答案　B解析　不妨设a＝2，b＝3，c＝4，故cosC＝＝－，故＝＝＝2.故选B.5．在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2＋c2＝a2＋bc.若sinBsinC＝，△ABC的形状(　　)A．等边三角形   B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形   D．直角三角形答案　A解析　在△ABC中，由余弦定理，可得cosA＝，由已知，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝.∵0<A<π，故A＝.∵A＋B＋C＝π，A＝，∴C＝－B.由sinBsinC＝，得sinBsin＝.即sinB＝.sinBcosB＋sin2B＝，sin2B＋(1－cos2B)＝，sin2B－cos2B＝1，∴sin＝1.又∵－<2B－<，∴2B－＝，即B＝.∴C＝，也就是△ABC为等边三角形．故选A.6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)A．3  B.  C.  D．3答案　C解析　c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.故选C.7．设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为(　　)A．(，)  B．(1，)  C．(，2)  D．(0,2)答案　A解析　由＝＝，得b＝2cosA.<A＋B＝3A<π，从而<A<.又2A<，所以A<，所以<A<，<cosA<，所以<b<.故选A.8．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)A．5  B.  C．2  D．1答案　B解析　S△ABC＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝45°或135°.若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2×1××＝5，∴AC＝.故选B.9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，则△ABC一定是(　　)A．锐角三角形  B．等腰三角形C．直角三角形  D．等腰或者直角三角形答案　C解析　由两直线平行可得bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即sin2A＝sin2B，又A，B∈(0，π)，且A＋B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A＋B＝，则△ABC是直角三角形．故选C.10．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2bsinC，则tanA＋tanB＋tanC的最小值是(　　)A．4  B．3  C．8  D．6答案　C解析　a＝2bsinC⇒sinA＝2sinBsinC⇒sin(B＋C)＝2sinBsinC⇒tanB＋tanC＝2tanBtanC，又根据三角形中的三角恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC(注：tanA＝tan(π－B－C)＝－tan(B＋C)＝－，即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC)⇒tanBtanC＝，∴tanAtanBtanC＝tanA·＝(tanA＝m)，令m－2＝t⇒＝t＋＋4≥8，当且仅当t＝，即t＝2，tanA＝4时，取等号．故选C.二、填空题11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.答案　4解析　由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cosC＝，得－＝，解得c＝4.12．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝________.答案　解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.∴2sinB＝sinA＋sinC.∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC.∴2sinB＝cosC＋sinC.∴2sinB＝sin(C＋45°)．①∵A＋B＋C＝180°且A－C＝90°，∴C＝45°－，代入①式中，2sinB＝sin.∴2sinB＝cos.∴4sincos＝cos.∴sin＝.∴cosB＝1－2sin2＝1－＝.13．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为________．答案　8解析　由题意得4×bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，又a2＝b2＋c2－2bccosA，代入上式得2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，即sinA＋cosA＝1，sin＝1，又0<A<π，∴<A＋<，∴A＋＝，∴A＝，S＝bcsinA＝bc，又b＋c＝8≥2，当且仅当b＝c时取“＝”，∴bc≤16，∴S的最大值为8.14．已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.答案　　解析　依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC.由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC＝×2×2×＝.因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝＝，所以CD＝.由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.B级三、解答题15．已知△ABC的外接圆直径为，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°.(1)求的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．解　(1)因为＝＝＝2R＝，所以a＝sinA，b＝sinB，c＝sinC.所以＝＝.(2)由c＝sinC，得c＝×＝2，c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)，所以S△ABC＝absinC＝×4×＝.16．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0.(1)求的值；(2)若cosC＝，求sinB的值．解　(1)因为sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0，sinB≠0，所以2＋－6＝0，得＝2或＝－3(舍去)．由正弦定理得＝＝2.(2)由余弦定理得cosC＝＝.①将＝2，即a＝2b代入①，得5b2－c2＝3b2，得c＝b.由余弦定理cosB＝，得cosB＝＝，则sinB＝＝.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.满足2acosC＋ccosA＝b.(1)求角C的大小；(2)求sinAcosB＋sinB的最大值．解　(1)由正弦定理及2acosC＋ccosA＝b，得2sinAcosC＋sinCcosA＝sinB.在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B，即sin(A＋C)＝sinB.∴2sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＋sinAcosC＝sinB＋sinAcosC＝sinB，∴sinAcosC＝0，又∵0<A<π，0<C<π，∴sinA>0.∴cosC＝0，∴C＝.(2)由(1)得C＝，∴A＋B＝，即A＝－B.∵sinAcosB＋sinB＝cos2B＋sinB＝－sin2B＋sinB＋1＝－2＋.∵0<B<，∴当sinB＝，即B＝时，sinAcosB＋sinB取得最大值.18．已知等腰三角形ABC满足AB＝AC，BC＝2AB，点D为BC边上一点且AD＝BD.(1)求tan∠ADB的值；(2)若CD＝，求S△ABC. 解　(1)如图，设AB＝AC＝a，AD＝BD＝b，由BC＝2AB得，BC＝a.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC＝＝＝，∴∠ABC是锐角，则sin∠ABC＝＝.在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，得b2＝a2＋b2－ab，解得a＝b.由正弦定理＝，得＝，解得sin∠ADB＝，又2b2>a2，∴∠ADB为锐角，∴cos∠ADB＝＝，tan∠ADB＝2.(2)由已知可得＝2a，①由(1)可知a＝b，②联立①②得a＝2，b＝.过A作AH⊥BC于H，则H为BC的中点，易求得DH＝.则tan∠ADB＝＝2.∴AH＝，∴S△ABC＝××＝.