高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第3章三角函数、解三角形 3.5（教师版）

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[重点保分 两级优选练]A级一、选择题1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.故选A.2.＝(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　C解析　sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°，∴原式＝＝sin30°＝.故选C.3．已知过点(0,1)的直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝(　　)A．－  B.  C.  D．1答案　D解析　由题意知tanα＝2，tanβ＝－.∴tan(α＋β)＝＝＝1.故选D.4．cos·cos·cos＝(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　A解析　cos·cos·cos＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.故选A.5．－＝(　　)A．4  B．2  C．－2  D．－4答案　D解析　－＝－＝＝＝＝－4.故选D.6．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos－＝，则cos＝(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　C解析　cos＝cos＝coscos＋sinsin，由0<α<，得<α＋<，则sin＝.由－<β<0，得<－<，则sin＝，代入上式，得cos＝.故选C.7．已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝，则的值为(　　)A.  B．－  C．3  D．－3答案　A解析　＝＝＝＝.故选A.  8．若将函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数g(x)＝cos(x＋φ)在上的最小值是(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　D解析　∵f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin2x＋φ＋，∴将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数解析式为y＝2sin＝2cos的图象．∵该图象关于点对称，对称中心在函数图象上，∴2cos＝2cos＝0，解得π＋φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.∵0<φ<π，∴φ＝，∴g(x)＝cos，∵x∈，∴x＋∈，∴cos∈，则函数g(x)＝cos(x＋φ)在上的最小值是.故选D.9．在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanBtanC＝1－，则角A的值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　由题意知，－cosBcosC＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，等式－cosBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC两边同除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.故选A.10．已知θ∈，且sinθ－cosθ＝－，则等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　由sinθ－cosθ＝－，得sin＝，∵θ∈，∴－θ∈，∴cos＝，∴＝＝＝＝2cos＝.故选D.二、填空题11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________.答案　解析　∵(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝，∴cos2αcos2β－sin2αsin2β＝.∴cos2α(1－sin2β)－(1－cos2α)sin2β＝.∴cos2α－sin2β＝.12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β 的值为________．答案　－解析　∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，又α∈(0，π)，∴0<α<，又∵tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.13．已知α，β为三角形的两个内角，cosα＝，sin(α＋β)＝，则β＝________.答案　解析　因为0<α<π，cosα＝，所以sinα＝＝，故<α<，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝<，所以0<α＋β<或<α＋β<π.由<α<，知<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－＝－，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝，又0<β<π，所以β＝.14．已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为____．答案　－解析　∵sinα＝＋cosα，∴sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝.∵α∈，∴sinα＋cosα＝＝ ＝，∴＝＝－(sinα＋cosα)＝－.B级三、解答题15．已知a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函数f(x)＝a·b＋.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．解　(1)f(x)＝a·b＋＝(sinx，cosx)·(cosx，－cosx)＋＝sinx·cosx－cos2x＋＝sin2x－cos2x＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．(2)由条件知sin＝sin＝>0，设x1<x2，则0<x1<<x2<，易知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于直线x＝对称，则x1＋x2＝，∴cos(x1－x2)＝cos＝cos＝cos＝sin＝.16．已知函数f(x)＝2cos2x－sin.(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，b＋c＝2.求实数a的取值范围．解　(1)f(x)＝2cos2x－sin＝(1＋cos2x)－＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin.∴函数f(x)的最大值为2.当且仅当sin＝1，即2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋，k∈Z时取到．∴函数f(x)的最大值为2时x的取值集合为{x.(2)由题意，f(A)＝sin＋1＝，化简得sin＝.∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，∴2A＋＝，∴A＝.在△ABC中，根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc.由b＋c＝2，知bc≤2＝1，即a2≥1.∴当且仅当b＝c＝1时，取等号．又由b＋c>a得a<2.所以a的取值范围是[1,2)．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB＋acosB＝c.(1)求角A的大小；(2)已知函数f(x)＝λcos2－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y＝f(x)的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍后便得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)的最小正周期为π.当x∈时，求函数f(x)的值域．解　(1)∵asinB＋acosB＝c，∴sinAsinB＋sinAcosB＝sinC.∵C＝π－(A＋B)，∴sinAsinB＋sinAcosB＝sin(A＋B)＝(sinAcosB＋cosAsinB)．即sinAsinB＝cosAsinB.∵sinB≠0，∴tanA＝，∵0<A<π，∴A＝.(2)由A＝，得f(x)＝λcos2－3＝λ·－3＝cos＋－3，∴λ－3＝2，λ＝5.∴f(x)＝5cos2－3＝cos－，从而g(x)＝cos－，∴＝π，得ω＝，∴f(x)＝cos－.当x∈时，≤3x＋≤，∴－1≤cos≤，从而－3≤f(x)≤，∴f(x)的值域为.   18．已知函数f(x)＝sin－2sincos.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若x∈，且F(x)＝－4λf(x)－cos的最小值是－，求实数λ的值．解　(1)∵f(x)＝sin－2sincos＝cos2x＋sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin.∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)F(x)＝－4λf(x)－cos＝－4λsin－＝2sin2－4λsin－1＝22－1－2λ2.∵x∈，∴0≤2x－≤，∴0≤sin≤1.①当λ<0时，当且仅当sin＝0时，F(x)取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin＝λ时，F(x)取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝－(舍)或λ＝；③当λ>1时，当且仅当sin＝1时，F(x)取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝.