湘教版七年级下册第1章 二元一次方程组1.2 二元一次方程组的解法1.2.2 加减消元法导学案

二元一次方程组解法（提高）知识讲解

责编：康红梅

【学习目标】

1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；

2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；

3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．

【要点梳理】

要点一、加减消元法解二元一次方程组

    两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

 (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；

(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．

要点二、选择适当的方法解二元一次方程组

    解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．

【典型例题】

类型一、加减法解二元一次方程组

1. （2015春•澧县期末）用加减消元法解方程组

【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.

【答案与解析】

解：此式可化为：

由(1)：3x+4y=18   (1)

由(2)：6x+5y=27   (2)

(1)×2：6x+8y=36  (3)

(3)－(2)：3y=9

        y=3

代入(1)：3x+12=18

           3x=6

            x=2

∴

【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c的形式再消元.

举一反三：

【变式】方程组的解为：          .

【答案】

2.已知关于x、y的方程组的解为，求关于x、y的方程组的解．

【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把x-y，x+y看作一个整体，则两个方程同解．

【答案与解析】

 解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(x-y)与(x+y)分别看成一个整体当作未知数，可得  解得：

【总结升华】本例采用了类比的方法，若把其中的x+y和x-y分别看作整体，则第二个方程组与第一个方程组相同，即x+y＝1，x-y＝3．

举一反三：

【变式】三个同学对问题“若方程组的解是，

求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是：          ．

【答案】

解：由方程组的解是，得，

上式可写成，与比较，

可得：．

类型二、用适当方法解二元一次方程组

3. 解方程组

【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单.

【答案与解析】

解：设，则

原方程组可化为

解得

即 ，所以

解得

所以原方程组的解为．

【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法.

举一反三：

【变式】

【答案】

解：去分母，整理化简得，，

②×3－①×2得，，即，

将代入①得，，即，

所以原方程组的解为.

4.  试求方程组的解．

【答案与解析】

解：

①－②，整理得   ③

∵，∴13－y≥0，即y≤13，

当时，③可化为，解得；

当时，③可化为，无解.

将代入②，得，解得.

综上可得，原方程组的解为：或.

【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.

举一反三：

【变式】（2015春•杭锦后旗校级期末）若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．

【答案】

解：方程组，

①×3+②得：11x=22，

解得：x=2，

将x=2代入①得：6﹣y=7，

解得：y=﹣1，

∴方程组的解为，

将代入y=kx+9得：k=﹣5，

则当k=﹣5时，（k+1）2=16．

【巩固练习】

一、选择题

1．如果x:y＝3:2，并且x+3y＝27，则x与y中较小的值是（   ）.

    A．3    B．6     C．9    D．12

2．（2015春•玉田县期末）下列各组数是二元一次方程组的解的是（　　）

A． B． C． D．

3．已知方程组中，x、y的值相等，则m等于（   ）.

    A．1或-1    B．1    C．5    D．-5

4.如果的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）.       

A．a<2； B.； C. ； D. 

5．小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果．后来发现、处被墨水污损了，请你帮他计算出、处的值分别是（   ）.

    A．1、1    B．2、1    C．1、2    D．2、2

6. 已知方程组有无数多个解，则a、b 的值等于（ ）.  

A．a=-3,b=-14    B. a=3,b=-7   C. a=-1,b=9   D.a=-3,b=14

二、填空题

7．若是二元一次方程，则a＝________，b＝________．

8．已知等腰三角形的周长是18，腰长比底边大3，则这个三角形的腰长_____，底边长___．

9．已知是关于x、y的二元一次方程，则m＝_______，n＝_______；在自然数范围内，该方程的解是________．

10．若|x-y-5|与|2x+3y-15|互为相反数，则x+y＝________．

11．对于实数x和y，定义一种新的运算“△”：x△y＝ax+by，其中a、b是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，已知3△5＝25，4△7＝38，那么1△5＝_________．

12. （2015春•沛县期末）已知方程组的解满足x+y=3，则k的值为　　．

三、解答题

13．解下列方程组：

（1）     （2）

14.（2015春•建昌县期末）解关于x、y的二元一次方程组时，小虎同学把c看错而得到，而正确的解是，试求a+b+c的值．

15．阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题．

解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是非常麻烦的，而采用下面的解法则是轻而易举的.①－②，得2x+2y＝2，所以x+y＝1．③

③×16，得16x+16y＝16   ④，

②－④，得x＝-1，从而y＝2．所以原方程组的解是．

请你用上述方法解方程组，

并猜测关于x、y的方程组的解是什么？并加以验证．

【答案与解析】

一、选择题

1. 【答案】B；

   【解析】，解得，所以较小的数为6.

2.【答案】A．

3. 【答案】B；

   【解析】解方程组得解为，因为x、y的值相等，所以，解得.

4. 【答案】C；

5. 【答案】B；

【解析】将代入得，解之得.

6. 【答案】A；

【解析】方程组有无穷多解，说明方程组中的方程对应项的系数成比例.

二、填空题

7. 【答案】1， 0；

   【解析】 由二元一次方程的定义得，解得.

8.【答案】7，4；

【解析】设等腰三角形的底边长为，则腰长为，所以，解得.

9.【答案】1， 2，  ；

10．【答案】7；

11.【答案】55；

【解析】根据新运算的定义可得，3a+5b＝25，4a+7b＝38，联立方程组，可解得a，b的值，再代入计算.

12.【答案】8．

【解析】解方程组，

①﹣②得：x=﹣2，

把x=﹣2代入②得：﹣2+y=3，解得：y=5

则方程组的解是：，

代入x+2y=k得：﹣2+10=k，则k=8.

三、解答题

13.【解析】

解：（1）将“”看作整体:

由①得，   ③

将③代入②得 ，即，    ④

将④代入③，化简得，即，

将代入④得，

所以原方程组的解为 .

（2）

由①得，   ③

将③代入②，整理得，解得，

将代入③得，

所以原方程组的解为.

14.【解析】

解：∵方程组的正确解为，

∴把代入方程cx﹣7y=8，可得3c+14=8，解得c=﹣2；

把小虎求得的解和正确解分别代入方程ax+by=2，可得，

解得，

∴a+b+c=10+11﹣2=19．

15.【解析】

解：，①－②，得2x+2y＝2，即x+y＝1  ③．

③×2005，得2005x+2005y＝2005  ④．

②－④，得x＝-1，把x＝-1代入③得y＝2．

所以原方程组的解是，可以猜测关于x，y的方程组的解是．

验证如下：将x＝-1，y＝2，代入方程(a+2)x+(a+1)y＝a中满足方程左、右两边的值相等，将x＝-1，y＝2，代入方程(b+2)x+(b+1)y＝b中满足方程左、右两边的值相等，

所以是方程组的解．