2022届初中数学二轮复习 58分大题练(二)

58分大题练(二)

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.为了测量山坡上的信号塔PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ的高度.

20.如图，点P在☉O外，PC是☉O的切线，C为切点，直线PO与☉O相交于点A，B.

(1)若∠A=30°，求证：PA=3PB；

(2)小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP=(90°-∠P)成立.请你写出推理过程.

六、(本题满分12分)

21.在某校举办的课外活动中，有一项是小制作评比.作品上交时限为3月1日至30日，组委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的件数进行统计，绘制成如图所示的统计图.已知从左到右各矩形的高度比为2∶3∶4∶6∶4∶1.第三组的件数是12.

请你回答：

(1)本次活动共有　　　　件作品参赛，各组作品件数的中位数是　　　　件； 

(2)经评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高?为什么?

(3)小制作评比结束后，组委会决定从4件最优秀的作品A，B，C，D中选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示B，D的概率.

七、(本题满分12分)

22.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元.

(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

(2)在遵循“薄利多销”的原则下，每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9 000元?

(3)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.

八、(本题满分14分)

23.如图1，在锐角△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M.

(1)证明：DM=DA；

(2)如图2，点G在BE上，且∠BDG=∠C.求证：△DEG∽△ECF；

(3)在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=3，求EH的长.

图1

图2

参考答案

19.解 延长PQ交直线AB于点M，如图所示：

则∠PMA=90°，

设PM的长为x米，

在Rt△PAM中，∠PAM=45°，

∴AM=PM=x米，

∴BM=x-100(米)，

在Rt△PBM中，∵tan∠PBM=，

∴tan 60°=，

解得x=50(3+)，

在Rt△QAM中，∵tan∠QAM=，

∴QM=AM·tan∠QAM=50(3+)×tan 30°=50(+1)(米)，

∴PQ=PM-QM=100(米).

答：信号塔PQ的高度约为100米.

20.解 (1)连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，

∵∠A=30°，∴AB=2BC.

∵PC是☉O切线，∴∠BCP=90°-∠OCB=∠A=30°，

∴∠P=30°，

∴PB=BC，AB=2PB，

∴PA=3PB；

(2)由(1)证：∠BCP=∠A，

∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°，且∠ACB=90°，

∴2∠BCP=90°-∠P.

∴∠BCP=(90°-∠P).

21.解 (1)60　10.5

(2)第四组有作品60×=18(件)；

第六组有作品60×=3(件).

∴第四组的获奖率为，第六组的获奖率为.

∵，∴第六组的获奖率较高.

(3)画树状图如下.

或列表如下.

由图(表)知，所有等可能的结果有12种，其中刚好是展示B，D的结果有2种，

所以刚好展示B，D的概率P=.

22.解 (1)当每吨售价是240元时，此时的月销售量为：45+×7.5=60(吨).

(2)设当售价定为每吨x元时，由题意，可列方程(x-100)(45+×7.5)=9 000.

化简得x2-420x+44 000=0，解得x1=200，x2=220.当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元.

(3)我认为小静说的不对.理由如下：

∵设总利润为w，

则w=(x-100)

=-x2+315x-24 000，

∴当月利润最大时，x=-=210(元).

方法一：当月利润最大时，x为210元，

而对于月销售额w=x

=-(x-160)2+19 200来说，

当x为160元时，月销售额w最大.

∴当x为210元时，月销售额w不是最大.∴小静说的不对.

方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17 325元，

而当x为200元时，月销售额为18 000元.

∵17 325元<18 000元，

∴当月利润最大时，月销售额w不是最大.

∴小静说的不对.

23.(1)证明 ∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE，

∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，

∴DM=DA.

(2)证明 ∵D，E分别是AB，BC的中点，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，

∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，

∴△DEG∽△ECF.

(3)解 ∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴，∴BD2=BG·BE，

∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，

∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH，

又∠FEH=∠CEF，

∴△EFH∽△ECF，∴，

∴EF2=EH·EC，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四边形DEFM是平行四边形，

∴EF=DM=DA=BD，

∴BG·BE=EH·EC.

∵BE=EC，∴EH=BG=3.