2021-2022学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共35页。试卷主要包含了选择题，四象限，，作图题用圆规，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、错选或选出的标号超过一个的不得分）
1．（3分）如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．（3分）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
4．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
5．（3分）已知函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3）是函数y＝图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
6．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使它与△ABC的相似比为2，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）

A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的点，∠EAF＝45°，则下列结论中正确的有（　　）
①BE+DF＝EF；
②tan∠AMD＝；
③BM2+DN2＝MN2；
④若EF＝1.5，△AEF的面积是3，则正方形ABCD的面积为4．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：sin30°+cos45°＝　 　．
10．（3分）儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 　 　个．
11．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 　 　．
12．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 　 　．

13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝9，AB＝6，点E是边CD上一点，DE＝2，连接AE，交对角线BD于点G，将△ADE沿AE翻折，点D落在点F处，O是对角线BD的中点，连接OF并延长交DC于点H，则线段FH的长为 　 　．

14．（3分）已知菱形ABCD两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，则菱形EFGH两条对角线的长分别是 　 　．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
15．（4分）已知：线段m．
求作：矩形ABCD，使矩形宽AB＝m，对角线AC＝m．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．（6分）2022年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花样滑冰”和D．“跳台滑雪”．小明和小刚计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．
（1）小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．
18．（6分）如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG＝20米，与地面的高度EF＝6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB＝3米．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求点O到训练墙AB的距离OA的长度．

19．（6分）小明和小华约定一同去中山公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东37°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150来到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游 乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同，求公园北门A与游乐场D之间的距离．（结果取整数，参考数据：sin22.6°＝，cos22.6°＝，tan22.6°＝，sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）

20．（8分）如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，已知A（﹣2，1），点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求直线AB和双曲线的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b＜的解集．

21．（8分）已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．
（1）求证：AF＝CG；
（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？

22．（10分）红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10万件，现公司决定提价销售，设销售单价为x元，每月销售量为y元．
（1）请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润w最大？最大利润是多少万元？
（3）若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，则每月的销售量最多应为多少万件？
23．（10分）【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为 　 　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若CE⊥BD，则的值为 　 　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；
【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，AB＝3，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处，得到△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为 　 　．

24．（12分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F．当直线EF停止运动，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段EF：　 　；
（2）当t为何值时，四边形ADFP是平行四边形；
（3）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得PF与EF的夹角为45°？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．


2021-2022学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、错选或选出的标号超过一个的不得分）
1．（3分）如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形，结合各个选项中图形进行判断即可
【解答】解：从上面看该几何体，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，因此所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．
2．（3分）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图作PA⊥x轴于A，利用勾股定理求出OP，根据正弦定义计算即可．
【解答】解：作PA⊥x轴于A，如右图．
∵P（3，4），
∴OA＝3，AP＝4，
∴OP＝＝5，
∴sinα＝．
故选：D．

3．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．
故选：B．
5．（3分）已知函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3）是函数y＝图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
【分析】先根据一次函数y＝kx过一、二、四象限判断出k的符号，再根据反比例函数的图象与系数的关系判断出反比例函数y＝图象所在的象限及其增减性，再根据三点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
∴k﹣3＜0，
∴反比例函数y＝图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3）是函数y＝图象上的三个点，
∴点（﹣2，y1）在第二象限、点（1，y2）、（2，y3）在第四象限，
∴y1＞y3＞y2．
故选：A．
6．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使它与△ABC的相似比为2，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）

A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．
【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象可判断abc的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，由对称轴及x＝﹣2时的函数值即可判断③，由x＝﹣3和对称轴即可判断④．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法正确，
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴②错误，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＝4a﹣2（﹣2a）+c＝8a+c＜0，
∴③正确，
由题意可知x＝﹣3是ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的一个根，
∵对称轴是x＝1，
∴另一个根为x＝5，
∴④正确，
∴正确的有①③④，
故选：C．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的点，∠EAF＝45°，则下列结论中正确的有（　　）
①BE+DF＝EF；
②tan∠AMD＝；
③BM2+DN2＝MN2；
④若EF＝1.5，△AEF的面积是3，则正方形ABCD的面积为4．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①将△ADF绕点A顺时针旋转90°使AD与AB重合，得△ABQ，根据正方形的性质及会等三角形的性质可得答案；②根据三角形的外角性质及三角函数可得答案；③在AQ上取一点H，使AH＝AN．连接BH，利用全等三角形的性质及勾股定理可得答案；④过点A作AR⊥EF于点R，根据全等三角形的性质、角平分线的性质可得AR＝AB，然后由三角形面积公式及正方形的面积公式可得答案．
【解答】解：①将△ADF绕点A顺时针旋转90°使AD与AB重合，得△ABQ，

∴△ABQ≌△ADF，
∴∠QAB＝∠DAF，AQ＝AF，∠ABQ＝∠ADF，BQ＝DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠EAB+∠DAF+∠EAF＝∠BAD＝90°，且∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠QAB+∠EAB＝45°，
∴∠QAE＝∠FAE＝45°，
∵∠ABQ+∠ABE＝90°+90°＝180°，
∴点Q、B、E共线，
在△AEQ和△AEF中，
，
△AEQ≌△AEF（SAS）
∴EQ＝EF，
∵EQ＝BE+BQ＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF，故①正确；
②∵∠AND＝∠EAF+∠AMD＝∠BDC+∠AFD
∴∠AMD＝∠AFD，
∴tan∠AMD＝tan∠AFD，
在Rt△AFD中，
tan∠AFD＝，
∴tan∠AMD＝，故②正确；
③在AQ上取一点H，使AH＝AN．连接BH，
在△AMH和△AMN中，
，
∴△AMH≌△AMN（SAS），
∴MH＝MN，
同理，△ABH≌△ADN（SAS），
∴BH＝DN，∠ABH＝∠ADN＝45°，
∴∠HBM＝∠ABH+∠ABD＝90°，
在Rt△BMH中，MH2＝BH2+BM2，
∴MN2＝DN2+BM2，故③正确；
④过点A作AR⊥EF于点R，
∵△AER≌△AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∵AB⊥BC，AR⊥EF，
∴AR＝AB，
∵S△AEF＝EF•AR，
∴3＝×1.5•AR，
∴AR＝4，
∴S正方形ABCD＝42＝16，
故④错误，
∴①②③正确，
故选：C．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：sin30°+cos45°＝　　．
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式＝+＝．
故答案为：．
10．（3分）儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 　24　个．
【分析】设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
【解答】解：设袋中共有m个红球，则摸到红球的概率P（红球）＝，
∴≈．（5分）
解得m≈24，
故答案为：24．
11．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 　65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50　．
【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润＝售价﹣成本价结合半年以后的销售利润为（65﹣50）元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，
依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
12．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 　8　．

【分析】连接OA、OB，由反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC＝6，S△BOC＝，又S△AOB＝S△APB＝2，所以S△AOC﹣S△BOC＝2，代入计算即可得出k的值．
【解答】
解：连接OA、OB，
∵AC⊥x轴，
∴AC∥y轴，
∴S△AOB＝S△APB，
∵S△APB＝2，
∴S△AOB＝2，
由反比例函数系数k的几何意义可得：
S△AOC＝6，S△BOC＝，
∴6﹣＝2，
解得：k＝8，
故答案为8．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝9，AB＝6，点E是边CD上一点，DE＝2，连接AE，交对角线BD于点G，将△ADE沿AE翻折，点D落在点F处，O是对角线BD的中点，连接OF并延长交DC于点H，则线段FH的长为 　　．

【分析】连接DF交AE于P，由翻折可知，AE垂直平分DF，P为DF中点，根据△ABG∽△EDG，可得DG＝BD，从而G为OD中点，PG是△DOF的中位线，可得PE是△DFH的中位线，FH＝2PE，在Rt△ADE中，AE＝＝，根据AD•DE＝AE•DP，得DP＝，在Rt△DPE中，PE＝，故FH＝2PE＝．
【解答】解：连接DF交AE于P，如图：

由翻折可知，AE垂直平分DF，P为DF中点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△EDG，
∴＝＝＝，
∴DG＝BD，
∵O为BD中点，
∴OD＝BD，
∴DG＝OD，
∴G为OD中点，
而P为DF中点，
∴PG是△DOF的中位线，
∴PG∥OF，即PE∥FH，
∴PE是△DFH的中位线，
∴FH＝2PE，
在Rt△ADE中，AE＝＝，
∵2S△ADE＝AD•DE＝AE•DP，
∴DP＝＝，
在Rt△DPE中，PE＝＝，
∴FH＝2PE＝，
故答案为：．
14．（3分）已知菱形ABCD两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，则菱形EFGH两条对角线的长分别是 　2﹣2，2+2　．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA＝4，OB＝3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
∴菱形ABCD的周长是：5×4＝20，面积是：×6×8＝24．
∵另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，
∴菱形EFGH的周长和面积分别是40，48，
∴菱形EFGH的边长是10，
设菱形EFGH的对角线为2a，2b，
∴a2+b2＝100，×2a×2b＝48，
∴a＝﹣，b＝+，
∴菱形EFGH两条对角线的长分别是2﹣2，2+2，
故答案为：2﹣2，2+2．

三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
15．（4分）已知：线段m．
求作：矩形ABCD，使矩形宽AB＝m，对角线AC＝m．

【分析】作线段m的垂直平分线，得MP＝，然后作一条线段的垂直平分线得到直角，顶点记为A，然后再确定其它三个点的位置即可．
【解答】解：①作线段m的垂直平分线，得MP＝，

②作一条线段的垂直平分线得到直角，顶点记为A，再截取AB＝MP＝，
③以B为圆心，m为半径画弧，交直线a于点D，
④以A为圆心，m为半径画弧，以D为圆心，为半径画弧，交点记为C，

∴矩形ABCD就是所求的矩形．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）先将二次项系数化为1，然后配方再开方求解．
（2）将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：（1）2x2﹣3x﹣1＝0
x2﹣x﹣＝0
x2﹣x＝
x2﹣x+＝+
（x﹣）2＝
x﹣＝±
x1＝，x2＝．
（2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣9）．
17．（6分）2022年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花样滑冰”和D．“跳台滑雪”．小明和小刚计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．
（1）小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是；
（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有4种，
∴小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为＝．
18．（6分）如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG＝20米，与地面的高度EF＝6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB＝3米．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求点O到训练墙AB的距离OA的长度．

【分析】（1）根据抛物线的顶点设关系式为y＝a（x﹣20）2+6，再根据点C的坐标可得关系式；
（2）把y＝3代入可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，E（20，6）和C（0，2），
设抛物线的关系式为y＝a（x﹣20）2+6，
∴2＝a（0﹣20）2+6，
解得a＝﹣0.01，
∴抛物线的关系式为y＝﹣0.01（x﹣20）2+6；
（2）当y＝3时，3＝﹣0.01（x﹣20）2+6，
解得x1＝20+10，x2＝20﹣10（舍去），
答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
19．（6分）小明和小华约定一同去中山公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东37°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150来到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游 乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同，求公园北门A与游乐场D之间的距离．（结果取整数，参考数据：sin22.6°＝，cos22.6°＝，tan22.6°＝，sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）

【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，易得四边形BCFE是矩形，则BE＝CF，EF＝BC＝150 m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝m，在Rt△DCF中，CD＝m，根据两人所走的路程相同得到关于x的方程，求得x的值，进而求得AD．
【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，

∵BC⊥AB，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m，
设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，
在Rt△ADE中，∠BAD＝37°，
∴AD＝＝m，
在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，
∴CD＝ m，
∵AD＝CD+BC，
∴＝+150，
解得x＝（m），
即DF＝m，
∴AD＝m，
故公园北门A与游乐场D之间的距离约为429米．
20．（8分）如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，已知A（﹣2，1），点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求直线AB和双曲线的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b＜的解集．

【分析】（1）利用待定系数法求出双曲线的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（2）连接OB，PO，PC，先求出OD，利用三角形面积公式求出S△ODB，进而得出S△OCP，再求出OC，设点P的纵坐标为n，再由△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，得到关于n的方程，解方程即可求得求出点P的纵坐标，即可得出结论；
（3）直接利用图象即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A在双曲线y＝上，A（﹣2，1），
∴k2＝﹣2×1＝﹣2，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点B在双曲线上，且纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝﹣，
∴x＝，
∴B（，﹣3），
将点A（﹣2，1），B（，﹣3）代入直线y＝k1x+b中得，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2；

（2）如图2，连接OB，PO，PC；
∵D（0，﹣2），
∴OD＝2，
∴S△ODB＝OD•xB＝×2×＝，
∵△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，
∴S△OCP＝2S△ODB＝2×＝，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，则﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣，
∴OC＝，
设点P的纵坐标为n，
∴S△OCP＝OC•yP＝×n＝，
∴n＝2，
∵点P在双曲线y＝﹣上，
∴2＝﹣，
∴x＝﹣1，
∴P（﹣1，2）；

（3）由图象知，不等式k1x+b＜的解集为﹣2＜x＜0或x＞．

21．（8分）已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．
（1）求证：AF＝CG；
（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？

【分析】（1）要证明AF＝CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；
（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2＝AD2时，∠BED＝90°，四边形BEDH是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEF＝∠CHG，
∵BE＝2AB，DH＝2CD，
∴BE＝DH，
∴BE﹣AB＝DH﹣DC，
∴AE＝CH，
∵∠BAD+∠EAF＝180°，∠BCD+∠GCH＝180°，
∴∠EAF＝∠GCH，
∴△EAF≌△HCG（ASA），
∴AF＝CG；
（2）当AD＝AB时，四边形BEDH是正方形，
理由：∵BE∥DH，BE＝DH，
∴四边形EBHD是平行四边形，
∵EH⊥BD，
∴四边形EBHD是菱形，
∴ED＝EB＝2AB，
当AE2+DE2＝AD2时，
则∠BED＝90°，
∴四边形BEDH是正方形，
即AB2+（2AB）2＝AD2，
∴AD＝AB，
∴当AD＝AB，四边形BEDH是正方形．
22．（10分）红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10万件，现公司决定提价销售，设销售单价为x元，每月销售量为y元．
（1）请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润w最大？最大利润是多少万元？
（3）若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，则每月的销售量最多应为多少万件？
【分析】（1）根据题意可得y与x的函数关系式；
（2）计算利润W＝销量×每件的利润﹣支付的费用，化为顶点式，可得结论；
（3）根据题意列出一元二次方程，再结合x的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740（44≤x≤60），
答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤60）；
（2）设当销售单价定为x元时，该公司每月销售利润为w万元，
则w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10x2+1140x−29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
答：当销售单价定为57元时，该公司每月销售利润最大，最大是2890万元；
（3）由题意得，﹣10x2+1140x−29600＝2400，
解得x1＝64（舍去），x2＝50，
∵44≤x≤60，
∴每月的销售量最多应为60万件．
23．（10分）【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为 　1　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若CE⊥BD，则的值为 　　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；
【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，AB＝3，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处，得到△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为 　　．

【分析】（1）通过证明△AED≌△DFC得到ED＝FC，结论可得；
（2）通过证明△EDC∽△DCB，得到，利用矩形的性质结论可得；
（3）过点F作FH⊥BC于点H，则四边形ABHF为矩形；类比（2）的方法证明△AED∽△HCF，即可得出结论；
（4）过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD 与点H，利用勾股定理和相似三角形的性质求得AH，BH，AC，DH的长度，利用三角形的面积公式求得CM的长度，类比（2）的方法证明△AED∽△FMC，利用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD．
∴∠ADE+∠EDC＝90°．
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠DFC＝90°．
∴∠AED＝∠DFC．
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS）．
∴ED＝FC．
∴＝1．
故答案为：1．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°．
∴∠ADB+∠BDC＝90°．
∵CE⊥BD，
∴∠ADB+∠DEC＝90°．
∴∠BDC＝∠DEC．
∵∠EDC＝∠DCB＝90°，
∴△EDC∽△DCB，
∴．
∵AD＝BC＝7，CD＝4，
∴＝．
故答案为：．
（3）证明：过点F作FH⊥BC于点H，如图，

∵∠A＝∠B＝90°，FH⊥BC，
∴四边形ABHF为矩形．
∴AB＝FH，∠AFH＝90°．
∴∠HFC+∠DFG＝90°．
∵∠CFH+∠HCF＝90°，
∴∠HCF＝∠DFG．
∵CG⊥DG，∠A＝90°，
∴∠A＝∠G＝90°．
∵∠ADE＝∠GDF，
∴∠AED＝∠DFG，
∴∠AED＝∠HCF．
∵∠A＝∠FHC＝90°，
∴△AED∽△HCF．
∴．
∴．
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）解：过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD 与点H，如图，

由题意：△ABD与△CBD关于BD轴对称，
∴BD垂直平分AH，
即AH＝HC，AH⊥BD．
∵∠BAD＝90°，BD⊥AH，
∴△ABH∽△BDA．
∴．
∴AB2＝BH•BD．
∵BD2＝AB2+AD2，
∴BD＝，
∴BH＝．
∴DH＝BD﹣BH＝．
∵AH＝，
∴AC＝2AH＝．
∵，
∴×＝9×CM．
∴CM＝．
∵∠BAD＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝90°．
∵CF⊥DE，
∴∠CFD+∠EDA＝90°．
∴∠AED＝∠CFD．
∵∠EAD＝∠FMC＝90°，
∴△AED∽△FMC．
∴．
故答案为：．
24．（12分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F．当直线EF停止运动，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段EF：　cm　；
（2）当t为何值时，四边形ADFP是平行四边形；
（3）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得PF与EF的夹角为45°？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

【分析】（1）证明△DEF∽△DAC，进而求得结果；
（2）证明并根据△DQF∽△DOC表示出DF，根据DF＝AP求得结果；
（3）根据S四边形APFE＝﹣S梯形APFD﹣S△DEF，分别计算出梯形ADFP和三角形DEF的面积，进而求得结果；
（4）设PF与BD交于点H，作PG⊥BD于G，依次表示出PG，BG，QF，HQ，BH＝BD﹣DQ﹣HQ，根据H＝BG+GH列出方程求得结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD＝，OC＝，
∵EF⊥BD，
∴EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴，
∴，
∴EF＝．
故答案是： cm；
（2）在Rt△COD中，OC＝3，OD＝4，
∴CD＝5，
∵EF∥AC，
∴△DQF∽△DOC，
∴，
∴，
∴DF＝，
∵AP∥DF，
∴当AP＝DF时，四边形ADFP是平行四边形，
∴5﹣t＝，
∴t＝；
（3）如图1，

作CG⊥AB于G，
∵得，
5•CG＝6×8，
∴CG＝，
∵S梯形APFD＝＝＝12，
＝＝，
∴S四边形APFE＝﹣S梯形APFD﹣S△DEF＝﹣++12，
∴y＝﹣++12；
（4）如图2，

假设存在t，使∠PFE＝45°，设PF与BD交于点H，作PG⊥BD于G，
∴PG＝BP•sinABD＝t•＝，BG＝BP•cos∠ABD＝t＝，
QF＝DQ•tan∠CDB＝t＝，
∵∠PQH＝90°，∠PFE＝45°，
∴∠FHQ＝45°，
∴HQ＝QF＝，
∴BH＝BD﹣DQ﹣HQ＝8﹣t﹣＝8﹣，
∵∠PGH＝90°，∠PHG＝∠FHQ＝45°，
∴PG＝GH＝，
由BH＝BG+GH得，
8﹣＝+，
∴t＝，
∴当t＝时，PF与EF的夹角为45°．