初中数学湘教版七年级下册2.2.1平方差公式复习练习题

平方差公式（提高） 知识讲解

【学习目标】

1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.

2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；

3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.

【要点梳理】

要点一、公式法——平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：

要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.

         （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.

（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.

【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】

要点二、因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．

要点三、因式分解注意事项

（1）因式分解的对象是多项式；

（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．

【典型例题】

类型一、公式法——平方差公式

【高清课堂400108 因式分解之公式法 例1】

1、分解因式：

（1）；   （2）；  （3）．

【思路点拨】（1）把看做整体，变形为后分解．（2）可写成，可写成，和分别相当于公式里的和．（3）把、看作一个整体进行分解．

【答案与解析】

解：（1）．

（2）

．

（3）

．

【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式.

举一反三：

【变式】将下列各式分解因式：

（1）；     （2）

（3）；               （4）；

【答案】

解：（1）原式

（2）原式＝

         ＝

（3）原式

（4）原式

2、分解因式：

 （1）；   （2）；   （3）；    （4）

【答案与解析】

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止．

举一反三：

【变式】（2015•杭州模拟）先化简，再求值：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2，其中a=．

【答案】

解：原式=（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b）

=4a×6b=24ab，

当a=，即ab=时，

原式=24ab=4．

类型二、平方差公式的应用

3、

【答案与解析】

解：

【总结升华】本题考查了因式分解的应用，先利用平方差公式，再两两约分即可求解，解题的关键是应用平方差公式简便计算．

4、（2015春•成武县期末）阅读下面的计算过程：

（2+1）（22+1）（24+1）

=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）

=（22﹣1）（22+1）（24+1）

=（24﹣1）（24+1）

=（28﹣1）．

根据上式的计算方法，请计算：

（1）

（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．

【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；

（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．

【答案与解析】

解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）

=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）

=2（1﹣）（1+）…（1+）

=2（1﹣）

=；

（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣

=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣

=（364﹣1）﹣

=﹣．

【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

【巩固练习】

一.选择题

1．是下列哪一个多项式的分解结果（   ）

    A．    B．    C．    D．

2. （2015春•东平县校级期末）下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（　　）

　  A.（﹣2y﹣x）（x+2y） B.（x﹣2y）（﹣x﹣2y） 

C.（x﹣2y）（2y+x）     D.（2y﹣x）（﹣x﹣2y）

3. 下列因式分解正确的是(　　).

A. B.

C.     D.

4. 下列各式，其中因式分解正确的是（    ）

   ①；②

   ③

④

A.1个          B.2个          C.3个          D.4个

5. 若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（   ）

    A．61，63    B．61，65    C．63，65    D．63，67

6. 乘积应等于（   ）

A．    B．    C．    D．

二.填空题

7. ；　　　　　　. 

8. 若，将分解因式为__________.

9. 分解因式：_________.   

10. 若，则是_________.

11. （2015春•深圳期末）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A的末位数字是　    　．

12. 已知，，的值为___________.

三.解答题

13. 用简便方法计算下列各式：

（1） －1998×2000      （2）

（3）

14.（2014秋•蓟县期末）已知（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=72，求a+b的值．

15.设，，……，（为大于0的自然数）

   （1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；

   （2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出，，……，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数.

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】D；

【解析】.

2. 【答案】A；

   【解析】解：A、两项都是互为相反数，不符合平方差公式．

B、C、D中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．

故选：A．

3. 【答案】C；

   【解析】；

          ；

          .

4. 【答案】C；

   【解析】①②③正确.

          .

5. 【答案】C；

【解析】

6. 【答案】C；

【解析】

二.填空题

7. 【答案】；

   【解析】.

8. 【答案】；

   【解析】.

9. 【答案】；

   【解析】原式＝.

10.【答案】4；

   【解析】.

11.【答案】6；

   【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，

=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，

=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1，

=（28﹣1）（28+1）+1，

=216﹣1+1，

=216

因为216的末位数字是6，

所以原式末位数字是6．

12. 【答案】；

【解析】

将，代入得：.

三.解答题

13.【解析】

解：（1）－1998×2000 ＝

   （2）

   （3）

14.【解析】

解：已知等式变形得：[2（a+b）+3][2（a+b）﹣3]=72，

即4（a+b）2﹣9=72，

整理得：（a+b）2=，

开方得：a+b=±．

15.【解析】

解：（1）

        又为非零的自然数，

        ∴是8的倍数．

        这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数.

（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．

为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数.