天津市红桥区2021届高三下学期5月第二次质量调查（二模）数学试题含答案

红桥区2021届高三下学期5月第二次质量调查

数学

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号。

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分。

参考公式：

如果事件与事件互斥，那么.

如果事件与事件相互独立，那么.

棱锥的体积，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2设，则“”是“”的（    ）

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

3函数（其中为自然对数的底）的图象大致是（    ）

A. B.

C. D.

4.2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立100周年。比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如下图所示，则该校获得复赛资格的人数为

A.650  B.660

C.680  D.700

5.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，，则棱锥的体积为

A.  B.

C.  D.

6.已知奇函数在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

7.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

8.设函数，给出下列结论：

①的最小正周期为；

②在单调递减；

③的图象关于直线对称；

④把函数图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象.

其中正确的结论有（    ）

A.1个  B.2个

C.3个  D.4个

9.已知函数，若函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.

10.为虚数单位，复数，则______.

11.在代数式的展开式中，的系数是______.（用数字作答）

12.过点的直线，截圆所得弦长为，则直线的方程为______.

13.在抗击新冠肺炎疫情期间，甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生，乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生。现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为______.

14.已知正实数，满足，则的最小值为______.

15.如图，在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点0，点在上，且满足，则的值为______.

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，.

（Ⅰ）求边及角的值；

（Ⅱ）求的值.

17.如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.

18.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过的直线交椭圆于另一点，过作轴的垂线交椭圆于点（点异于点），连接交轴于点.如果，求直线的方程

19.已知等比数列的公比为3，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式，及前项和；

（Ⅱ）若数列满足，且

（i）求数列的通项公式；

（ii）求.

20.函数，

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

高三数学答案

一、选择题

二、填空题

10. 11.21 12.或

13. 14.10 15.

三、解答题

16.解：（Ⅰ）由余弦定理，可得

由正弦定理，可得.

，所以

（Ⅱ）由于，

所以，

所以

17.解：（Ⅰ）证明：过作，垂足为，则，

如图，以为坐标原点，分別以，，为，，轴建立空间直角坐标系

则，，，，，

由为的中点，，则

设平面的一个法向量为，，

则，令，解得：

，

又平面，所以平面.

（Ⅱ）设平面的一个法向量为证，，

，令，解得

即平面与平面所成二面角的余弦值为

18.解：（Ⅰ）当为椭圆的短轴端点时，取得最大值，

即，

又因为，，

解得：，，，

所以椭圆方程为

（Ⅱ），根据题意，直线斜率存在且不为0，

设直线，，

联立，得，

所以，解得

所以.

由题意，直线，令，则

即，解得：（舍）

所以：

直线或

19.解：（Ⅰ）由等比数列的公比为3，

，解得

所以，

（Ⅱ）（i）由，且，

当，，即

当时，，又，

两式相减可得

方法一：化为

（方法二：化为，累乘）

所以，上式对也成立，所以，.

（ii）

，

，

上面两式相减可得

，

化简可得

20.解：（1）由题意

当时，，在单调递增；

当时，由得：；由得：，

在单调递减，在单调递增

综上：当时，在单调递增；

当时，在单调递减，在单调递增.

（Ⅱ）由题意：当时，不等式，

即

即在恒成立

令，则

令，则

在单调递增

又，，所以，有唯一零点，

所以，，即

令，则方程※等价于

又易知单调递增，所以，

当时，即，单调递减；

时，即，单调递增，

所以为在定义域内的最小值.

所以，即

所以实数的取值范围是