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2021-2022学年四川省德阳市绵竹市八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年四川省德阳市绵竹市八年级（上）期末数学试卷 解析版，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省德阳市绵竹市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案填在答题卡上，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．（1）（4） B．（2）（4） C．（2）（3） D．（1）（2）
2．（4分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．（4分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
4．（4分）下列判断不正确的是（ ）
A．形状相同的图形是全等图形
B．能够完全重合的两个三角形全等
C．全等图形的形状和大小都相同
D．全等三角形的对应角相等
5．（4分）和点P（﹣3，2）关于y轴对称的点是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
6．（4分）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11
7．（4分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，那么添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．BF＝EC
8．（4分）从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
9．（4分）如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，（α＞β）AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（ ）
A．α﹣β B．2（α﹣β） C．α﹣2β D．（α﹣β）
11．（4分）如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
12．（4分）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题。（每小题4分，共28分）
13．（4分）生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有 性．
14．（4分）82020×（﹣0.125）2021＝ ．
15．（4分）若|a|﹣2＝（a﹣3）0，则a＝ ．
16．（4分）若分式方程：有增根，则k＝ ．
17．（4分）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，则∠BGD＝ ．
18．（4分）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝ ．
19．（4分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中正确的有 ．
三、解答题。（本大题共六小题，共74分）
20．（15分）（1）计算：5a2b÷（﹣ab）•（2ab2）2；
（2）计算：（2ab2c﹣3）﹣2÷（a﹣2b）3；
（3）分解因式：ax2+8ax+16a．
21．（10分）解方程：．
22．（10分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
23．（12分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．
求证：OC＝OD．
24．（13分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多10元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为70元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的九折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于680元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
25．（14分）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
2021-2022学年四川省德阳市绵竹市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案填在答题卡上，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．（1）（4） B．（2）（4） C．（2）（3） D．（1）（2）
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：由图可得，第一个图是轴对称图形；
第二个图是轴对称图形；
第三个图不是轴对称图形；
第四个图不是轴对称图形；
故选：D．
2．（4分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
3．（4分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等零．
【解答】解：依题意得，x+1＝0，
解得x＝﹣1．
当x＝﹣1时，分母x+2≠0，
即x＝﹣1符合题意．
故选：B．
4．（4分）下列判断不正确的是（ ）
A．形状相同的图形是全等图形
B．能够完全重合的两个三角形全等
C．全等图形的形状和大小都相同
D．全等三角形的对应角相等
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合各项说法作出判断即可．
【解答】解：A、两个形状相同的图形大小不一定相等，故本项错误；
根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，可得：B、能够完全重合的两个三角形全等正确，故本项错误；
C、全等图形的形状和大小都相同正确，故本项错误；
D、根据全等三角形的性质可得：全等三角形的对应角相等，故本选项正确；
故选：A．
5．（4分）和点P（﹣3，2）关于y轴对称的点是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【解答】解：和点P（﹣3，2）关于y轴对称的点是（3，2），故选A．
6．（4分）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10，
故选：C．
7．（4分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，那么添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．BF＝EC
【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，再利用判定两个三角形全等的一般方法结合四个选项所给条件进行分析即可．
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
A、添加AB＝DE可利用AAS判断△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加∠A＝∠D无法判断△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
C、添加AC＝DF可利用AAS判断△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D、添加BF＝EC可得BC＝EF，可利用ASA判断△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
故选：B．
8．（4分）从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
9．（4分）如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离；以及垂线段最短求解．
【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，所需管道最短．
故选：B．
10．（4分）如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，（α＞β）AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（ ）
A．α﹣β B．2（α﹣β） C．α﹣2β D．（α﹣β）
【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝90°﹣（α+β），
在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣β，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣β﹣90°+（α+β）＝（α﹣β），
故选：D．
11．（4分）如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．
12．（4分）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9．
故选：B．
二、填空题。（每小题4分，共28分）
13．（4分）生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有 稳定 性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
14．（4分）82020×（﹣0.125）2021＝ ﹣0.125 ．
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：82020×（﹣0.125）2021
＝82020×（﹣0.125）2020×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×8）2020×（﹣0.125）
＝（﹣1）2020×（﹣0.125）
＝1×（﹣0.125）
＝﹣0.125．
故答案为：﹣0.125．
15．（4分）若|a|﹣2＝（a﹣3）0，则a＝ ﹣3 ．
【分析】根据零指数幂的知识可得等式右边为1，然后进行绝对值的化简，求出a的值．
【解答】解：∵|a|﹣2＝（a﹣3）0＝1，
∴|a|＝3，
即a＝±3．
∵（a﹣3）0＝1（a≠3），
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
16．（4分）若分式方程：有增根，则k＝ 1 ．
【分析】把k当作已知数求出x＝，根据分式方程有增根得出x﹣2＝0，2﹣x＝0，求出x＝2，得出方程＝2，求出k的值即可．
【解答】解：∵，
去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，
整理得：（2﹣k）x＝2，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2，
把x＝2代入（2﹣k）x＝2得：k＝1．
故答案为：1．
17．（4分）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，则∠BGD＝ 80° ．
【分析】由多边形的内角和公式，即可求得六边形ABCDEF的内角和，由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵180°×（6﹣2）＝720°，
∴六边形ABCDEF的内角和为720°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣440°＝280°，
∴∠BGD＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝80°．
即∠BGD的度数是80°．
故答案为：80°．
18．（4分）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝ 2 ．
【分析】根据三角形的面积得出△BDG的面积＝△ADG的面积，△CFG的面积＝△AGF的面积，进而解答即可．
【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，
∴AD＝DB，AF＝CF，
∴△BDG的面积＝△ADG的面积，△CFG的面积＝△AGF的面积，
∴设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝四边形ADGF的面积，
∵△ABC的面积为6，AG：GE＝2：1，
∴四边形ADGF的面积＝，
∴S1+S2＝2，
故答案为：2
19．（4分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中正确的有 ①②③④ ．
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故答案为：①②③④
三、解答题。（本大题共六小题，共74分）
20．（15分）（1）计算：5a2b÷（﹣ab）•（2ab2）2；
（2）计算：（2ab2c﹣3）﹣2÷（a﹣2b）3；
（3）分解因式：ax2+8ax+16a．
【分析】（1）先算乘方，再从左到右依次计算乘除；
（2）先将负整数指数化为正整数指数，再算乘方，把除化为乘，约分即可得答案；
（3）先提公因式，再用完全平方公式．
【解答】解：（1）原式＝5a2b÷（﹣ab）•4a2b4
＝﹣15a•4a2b4
＝﹣60a3b4；
（2）原式＝÷a﹣6b3
＝÷
＝•
＝；
（3）原式＝a（x2+8x+16）
＝a（x+4）2．
21．（10分）解方程：．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：两边都乘（x﹣3），得
1﹣2（x﹣3）＝﹣3x，
解得x＝﹣7，
经检验x＝﹣7是原分式方程的根．
22．（10分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，而∠1+∠2+∠BAC＝180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【解答】证明：过点A作EF∥BC，如图，
∵EF∥BC
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°，
即∠A+∠B+∠C＝180°．
23．（12分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．
求证：OC＝OD．
【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等，进而利用AAS证明△AOC和△BOD全等解答即可．
【解答】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°．
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴BD＝AC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD．
24．（13分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多10元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为70元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的九折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于680元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+10）元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设甲种商品按原销售单价销售 a件，根据题意列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+10）元．
根据题意，得，，
解得x＝50．
经检验，x＝50是原方程的解．
∴x+10＝60，
答：甲种商品的每件进价为50元，乙种商品的每件进价为60元
（2）甲、乙两种商品的数量为．
设甲种商品按原销售单价销售 a件，
∵商品全部售完后共获利不少于680元，
∴（60﹣50）a+（60×0.9﹣50）（40﹣a）+（70﹣60）×40≥680，
解得a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
25．（14分）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB；
（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°．
∵∠ABC＝∠D+∠BED，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝∠BED，
∴BD＝BE．
∴AE＝DB．
（2）解：AE＝DB；
理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD．
2021-2022学年四川省德阳市绵竹市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案填在答题卡上，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．（1）（4） B．（2）（4） C．（2）（3） D．（1）（2）
2．（4分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．（4分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
4．（4分）下列判断不正确的是（ ）
A．形状相同的图形是全等图形
B．能够完全重合的两个三角形全等
C．全等图形的形状和大小都相同
D．全等三角形的对应角相等
5．（4分）和点P（﹣3，2）关于y轴对称的点是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
6．（4分）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11
7．（4分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，那么添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．BF＝EC
8．（4分）从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
9．（4分）如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，（α＞β）AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（ ）
A．α﹣β B．2（α﹣β） C．α﹣2β D．（α﹣β）
11．（4分）如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
12．（4分）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题。（每小题4分，共28分）
13．（4分）生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有 性．
14．（4分）82020×（﹣0.125）2021＝ ．
15．（4分）若|a|﹣2＝（a﹣3）0，则a＝ ．
16．（4分）若分式方程：有增根，则k＝ ．
17．（4分）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，则∠BGD＝ ．
18．（4分）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝ ．
19．（4分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中正确的有 ．
三、解答题。（本大题共六小题，共74分）
20．（15分）（1）计算：5a2b÷（﹣ab）•（2ab2）2；
（2）计算：（2ab2c﹣3）﹣2÷（a﹣2b）3；
（3）分解因式：ax2+8ax+16a．
21．（10分）解方程：．
22．（10分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
23．（12分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．
求证：OC＝OD．
24．（13分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多10元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为70元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的九折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于680元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
25．（14分）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
2021-2022学年四川省德阳市绵竹市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案填在答题卡上，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．（1）（4） B．（2）（4） C．（2）（3） D．（1）（2）
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：由图可得，第一个图是轴对称图形；
第二个图是轴对称图形；
第三个图不是轴对称图形；
第四个图不是轴对称图形；
故选：D．
2．（4分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
3．（4分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等零．
【解答】解：依题意得，x+1＝0，
解得x＝﹣1．
当x＝﹣1时，分母x+2≠0，
即x＝﹣1符合题意．
故选：B．
4．（4分）下列判断不正确的是（ ）
A．形状相同的图形是全等图形
B．能够完全重合的两个三角形全等
C．全等图形的形状和大小都相同
D．全等三角形的对应角相等
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合各项说法作出判断即可．
【解答】解：A、两个形状相同的图形大小不一定相等，故本项错误；
根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，可得：B、能够完全重合的两个三角形全等正确，故本项错误；
C、全等图形的形状和大小都相同正确，故本项错误；
D、根据全等三角形的性质可得：全等三角形的对应角相等，故本选项正确；
故选：A．
5．（4分）和点P（﹣3，2）关于y轴对称的点是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【解答】解：和点P（﹣3，2）关于y轴对称的点是（3，2），故选A．
6．（4分）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10，
故选：C．
7．（4分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，那么添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．BF＝EC
【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，再利用判定两个三角形全等的一般方法结合四个选项所给条件进行分析即可．
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
A、添加AB＝DE可利用AAS判断△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加∠A＝∠D无法判断△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
C、添加AC＝DF可利用AAS判断△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D、添加BF＝EC可得BC＝EF，可利用ASA判断△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
故选：B．
8．（4分）从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
9．（4分）如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离；以及垂线段最短求解．
【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，所需管道最短．
故选：B．
10．（4分）如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，（α＞β）AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（ ）
A．α﹣β B．2（α﹣β） C．α﹣2β D．（α﹣β）
【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝90°﹣（α+β），
在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣β，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣β﹣90°+（α+β）＝（α﹣β），
故选：D．
11．（4分）如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．
12．（4分）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9．
故选：B．
二、填空题。（每小题4分，共28分）
13．（4分）生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有 稳定 性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
14．（4分）82020×（﹣0.125）2021＝ ﹣0.125 ．
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：82020×（﹣0.125）2021
＝82020×（﹣0.125）2020×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×8）2020×（﹣0.125）
＝（﹣1）2020×（﹣0.125）
＝1×（﹣0.125）
＝﹣0.125．
故答案为：﹣0.125．
15．（4分）若|a|﹣2＝（a﹣3）0，则a＝ ﹣3 ．
【分析】根据零指数幂的知识可得等式右边为1，然后进行绝对值的化简，求出a的值．
【解答】解：∵|a|﹣2＝（a﹣3）0＝1，
∴|a|＝3，
即a＝±3．
∵（a﹣3）0＝1（a≠3），
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
16．（4分）若分式方程：有增根，则k＝ 1 ．
【分析】把k当作已知数求出x＝，根据分式方程有增根得出x﹣2＝0，2﹣x＝0，求出x＝2，得出方程＝2，求出k的值即可．
【解答】解：∵，
去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，
整理得：（2﹣k）x＝2，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2，
把x＝2代入（2﹣k）x＝2得：k＝1．
故答案为：1．
17．（4分）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，则∠BGD＝ 80° ．
【分析】由多边形的内角和公式，即可求得六边形ABCDEF的内角和，由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵180°×（6﹣2）＝720°，
∴六边形ABCDEF的内角和为720°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣440°＝280°，
∴∠BGD＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝80°．
即∠BGD的度数是80°．
故答案为：80°．
18．（4分）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝ 2 ．
【分析】根据三角形的面积得出△BDG的面积＝△ADG的面积，△CFG的面积＝△AGF的面积，进而解答即可．
【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，
∴AD＝DB，AF＝CF，
∴△BDG的面积＝△ADG的面积，△CFG的面积＝△AGF的面积，
∴设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1+S2＝四边形ADGF的面积，
∵△ABC的面积为6，AG：GE＝2：1，
∴四边形ADGF的面积＝，
∴S1+S2＝2，
故答案为：2
19．（4分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中正确的有 ①②③④ ．
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故答案为：①②③④
三、解答题。（本大题共六小题，共74分）
20．（15分）（1）计算：5a2b÷（﹣ab）•（2ab2）2；
（2）计算：（2ab2c﹣3）﹣2÷（a﹣2b）3；
（3）分解因式：ax2+8ax+16a．
【分析】（1）先算乘方，再从左到右依次计算乘除；
（2）先将负整数指数化为正整数指数，再算乘方，把除化为乘，约分即可得答案；
（3）先提公因式，再用完全平方公式．
【解答】解：（1）原式＝5a2b÷（﹣ab）•4a2b4
＝﹣15a•4a2b4
＝﹣60a3b4；
（2）原式＝÷a﹣6b3
＝÷
＝•
＝；
（3）原式＝a（x2+8x+16）
＝a（x+4）2．
21．（10分）解方程：．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：两边都乘（x﹣3），得
1﹣2（x﹣3）＝﹣3x，
解得x＝﹣7，
经检验x＝﹣7是原分式方程的根．
22．（10分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，而∠1+∠2+∠BAC＝180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【解答】证明：过点A作EF∥BC，如图，
∵EF∥BC
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°，
即∠A+∠B+∠C＝180°．
23．（12分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．
求证：OC＝OD．
【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等，进而利用AAS证明△AOC和△BOD全等解答即可．
【解答】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°．
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴BD＝AC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD．
24．（13分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多10元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为70元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的九折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于680元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+10）元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设甲种商品按原销售单价销售 a件，根据题意列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+10）元．
根据题意，得，，
解得x＝50．
经检验，x＝50是原方程的解．
∴x+10＝60，
答：甲种商品的每件进价为50元，乙种商品的每件进价为60元
（2）甲、乙两种商品的数量为．
设甲种商品按原销售单价销售 a件，
∵商品全部售完后共获利不少于680元，
∴（60﹣50）a+（60×0.9﹣50）（40﹣a）+（70﹣60）×40≥680，
解得a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
25．（14分）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB；
（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°．
∵∠ABC＝∠D+∠BED，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝∠BED，
∴BD＝BE．
∴AE＝DB．
（2）解：AE＝DB；
理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD．
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