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2021-2022学年河南省南阳市方城县八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年河南省南阳市方城县八年级（上）期末数学试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省南阳市方城县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上。每小题3分，共30分。）
1．（3分）在实数0，﹣，，﹣2中，最小的是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
2．（3分）下列运算结果错误的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a6 C．a5÷a5＝a D．（ab）3＝a3b3
3．（3分）以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果a＝0，b＝0，那么ab＝0
C．若a＞b，则a2＞b2
D．同旁内角互补，两直线平行
4．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
5．（3分）观察图中的两个图形，利用它们之间的关系可以验证的等式是（ ）
A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
7．（3分）右图是某种学生快餐（共400g）营养成分扇形统计图，已知其中表示脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，蛋白质含量比碳水化合物多40g．有关这份快餐，下列说法正确的是（ ）
A．表示维生素和矿物质的扇形的圆心角为20°
B．脂肪有44g，含量超过10%
C．表示碳水化合物的扇形的圆心角为135°
D．蛋白质的含量为维生素和矿物质的9倍
8．（3分）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
9．（3分）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是长方形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA．若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是（ ）
A．7° B．21° C．23° D．24°
10．（3分）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分。）
11．（3分）16的平方根是 ．
12．（3分）分解因式：x3﹣4x2+4x＝ ．
13．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是 度．
14．（3分）有60个数据，共分成4组，第1、2组的频数分别为25，19，第4组的频率是0.15，则第3组的频数是 ．
15．（3分）如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕BD，展开后再折叠，使点A落在对角线BD上的点E处，展开后得折痕DG，若AB＝4，BC＝3，则AG的长为 ．
三、解答题（本题含8个小题，共75分。）
16．（8分）计算：
（1）（6x2）2+（﹣3x）3•x；
（2）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．
17．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）按要求尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①作线段AB的垂直平分线，交AB于点F，交BC于点D；
②作∠CAD的平分线，交CD于点E．
（2）求∠DAE的度数．
18．（9分）先化简，再求值：
（2x+1）2﹣x（x+4）+（x﹣2）（x+2），其中x＝﹣1．
19．（9分）如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝3m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE＝1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A'B⊥AB．
（1）求A′到BD的距离；
（2）求A′到地面的距离．
20．（9分）2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频率分布表
分数段
频数
频率
50.5﹣60.5
16
0.08
60.5﹣70.5
40
0.2
70.5﹣80.5
50
0.25
80.5﹣90.5
m
0.35
90.5﹣100.5
24
n
（1）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
21．（10分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
22．（10分）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
23．（11分）（1）提出问题：如图1，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＝∠OEC＝90°，求证：CD＝CE．
思路梳理：（请根据思路梳理的过程填空）
证法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得① ≌ ，则CD＝CE．
证法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，则CD＝CE，其理论依据是② ．
（2）类比探究：如图2，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC+∠OEC＝180°，求证：CD＝CE．
（3）拓展迁移：如图3，已知OC平分∠AOB，点D在OA的反向延长线上，点E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，点C到OB的距离是3，则OD+OE的值是 ．（直接写出结果，不说明理由）
2021-2022学年河南省南阳市方城县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上。每小题3分，共30分。）
1．（3分）在实数0，﹣，，﹣2中，最小的是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
【解答】解：∵正数大于0和一切负数，
所以只需比较和﹣2的大小，
因为|﹣|＜|﹣|，
所以最小的数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）下列运算结果错误的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a6 C．a5÷a5＝a D．（ab）3＝a3b3
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方法则逐一判断即可得出正确选项．
【解答】解：a2•a3＝a5，故选项A不合题意；
（a3）2＝a6，故选项B不合题意；
a5÷a5＝1，故选项C符合题意；
（ab）3＝a3b3，故选项D不合题意．
故选：C．
3．（3分）以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果a＝0，b＝0，那么ab＝0
C．若a＞b，则a2＞b2
D．同旁内角互补，两直线平行
【分析】写出各个命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B、逆命题为如果ab＝0，那么a＝0，b＝0，错误，为假命题，不符合题意；
C、逆命题为a2＞b2，则a＞b，错误，为假命题，不符合题意；
D、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
4．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，
∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）观察图中的两个图形，利用它们之间的关系可以验证的等式是（ ）
A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】先用两种方法表示阴影部分的面积，再根据面积相等得到代数恒等式．
【解答】解：S阴影＝4×ab＝2ab，还可以表示成：S阴影＝（a+b）2﹣（a2+b2）．
∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
故选：C．
6．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
【分析】过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根据勾股定理求出BM＝4，进而求出．
【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在Rt△BCM中，
∵BC＝5，CM＝3，
∴BM＝＝＝4，
∴CN＝4，
∴CE＝2CN＝2×4＝8，
故选：D．
7．（3分）右图是某种学生快餐（共400g）营养成分扇形统计图，已知其中表示脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，蛋白质含量比碳水化合物多40g．有关这份快餐，下列说法正确的是（ ）
A．表示维生素和矿物质的扇形的圆心角为20°
B．脂肪有44g，含量超过10%
C．表示碳水化合物的扇形的圆心角为135°
D．蛋白质的含量为维生素和矿物质的9倍
【分析】根据脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，可求出维生素和矿物质含量所对应扇形的圆心角为18°，进而求出各个部分所占整体的百分比，各个部分的具体数量是多少克，均可以求出，然后做出选项判断，
【解答】解：∵脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，
∴维生素和矿物质含量所对应扇形的圆心角为18°，
因此A选项不符合题意；
∵脂肪的扇形的圆心角为36°，占整体的＝10%，400×10%＝40克，
∴B选项不符合题意，
∵400×（1﹣10%﹣5%）＝340g，蛋白质含量比碳水化合物多40g，
∴蛋白质190g，碳水化合物为150g，
∴碳水化合物对应圆心角为360°×＝135°
因此C选项符合题意，
维生素和矿物质的含量为400×5%＝20g，蛋白质190g，9倍多，
因此D选项不符合题意，
故选：C．
8．（3分）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
9．（3分）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是长方形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA．若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是（ ）
A．7° B．21° C．23° D．24°
【分析】由矩形的性质得出∠BCD＝90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°，由三角形的外角性质得出∠ACF＝2∠FEA，设∠ECD＝x，则∠ACF＝2x，∠ACD＝3x，由互余两角关系得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°，
∵∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA，
∴∠ACF＝2∠FEA，
设∠ECD＝x，则∠ACF＝2x，
∴∠ACD＝3x，
∴3x+21°＝90°，
解得：x＝23°，
故选：C．
10．（3分）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；则可求出答案．
【解答】解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，
∴a+b＝5．
∵小正方形的面积为（b﹣a）2＝1，
∴b＝3，a＝2，
∴．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分。）
11．（3分）16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
12．（3分）分解因式：x3﹣4x2+4x＝ x（x﹣2）2 ．
【分析】首先提取公因式x，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
【解答】解：x3﹣4x2+4x
＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2，
故答案为x（x﹣2）2．
13．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是 18 度．
【分析】由∠C＝90°，∠A＝36°，求得∠ABC＝54°，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线
∴AE＝BE
∵∠C＝90°，∠A＝36°
∴∠EBA＝∠A＝36°
∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°．
14．（3分）有60个数据，共分成4组，第1、2组的频数分别为25，19，第4组的频率是0.15，则第3组的频数是 7 ．
【分析】直接利用表格得出频数÷总数＝频率，进而得出答案．
【解答】解：∵有60个数据，共分成4组，第4组的频率是0.15，
∴第4组的频数是：60×0.15＝9，
故第3组的频数是：60﹣25﹣19﹣9＝7．
故答案为：7．
15．（3分）如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕BD，展开后再折叠，使点A落在对角线BD上的点E处，展开后得折痕DG，若AB＝4，BC＝3，则AG的长为 ．
【分析】由折叠即可得∠GDA＝∠GDB，AD＝ED，然后过点G作GE⊥BD于E，即可得AG＝EG，设AG＝x，则GE＝x，BE＝BD﹣DE＝5﹣3＝2，BG＝AB﹣AG＝4﹣x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．
【解答】解：根据题意可得：∠GDA＝∠GDB，AD＝ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，
∴AG＝EG，ED＝3，
∵AB＝4，BC＝3，∠A＝90°，
∴BD＝5，
设AG＝x，则GE＝x，BE＝BD﹣DE＝5﹣3＝2，BG＝AB﹣AG＝4﹣x，
在Rt△BEG中，EG2+BE2＝BG2，
即：x2+4＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AG＝．
故答案为：．
三、解答题（本题含8个小题，共75分。）
16．（8分）计算：
（1）（6x2）2+（﹣3x）3•x；
（2）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项；
（2）先算括号内的完全平方、平方差、及单项式乘多项式，再合并，最后算除法．
【解答】解：（1）原式＝36x4+（﹣27x3）•x
＝36x4﹣27x4
＝9x4；
（2）原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x
＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x
＝﹣x﹣y．
17．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）按要求尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①作线段AB的垂直平分线，交AB于点F，交BC于点D；
②作∠CAD的平分线，交CD于点E．
（2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）①根据线段垂直平分线的作法即可完成作图；
②根据角平分线的作法即可作∠CAD的平分线，交CD于点E．
（2）根据三角形内角和定理可得∠BAC＝90°，然后根据DF是AB的垂直平分线，可得∠DAB＝∠B＝40°，再根据AE平分∠DAC，即可求∠DAE的度数．
【解答】解：（1）①如图，FD即为所求；
②如图，AE即为所求；
（2）在△ABC中，
∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∵DF是AB的垂直平分线，
∴∠DAB＝∠B＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝DAC＝25°，
答：∠DAE的度数为25°．
18．（9分）先化简，再求值：
（2x+1）2﹣x（x+4）+（x﹣2）（x+2），其中x＝﹣1．
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2x+1）2﹣x（x+4）+（x﹣2）（x+2）
＝4x2+4x+1﹣x2﹣4x+x2﹣4
＝4x2﹣3，
当x＝﹣1时，原式＝4×（﹣1）2﹣3＝4﹣3＝1．
19．（9分）如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝3m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE＝1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A'B⊥AB．
（1）求A′到BD的距离；
（2）求A′到地面的距离．
【分析】（1）作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.8；
∴BC＝BD﹣CD＝3﹣1.8＝1.2，
∴A'F＝1.2，即A'到BD的距离是1.2m．
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'
∴BF＝AC＝2m，
作A'H⊥DE，垂足为H．
∵A'F∥DE，
∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝3﹣2＝1，即A'到地面的距离是1m．
20．（9分）2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频率分布表
分数段
频数
频率
50.5﹣60.5
16
0.08
60.5﹣70.5
40
0.2
70.5﹣80.5
50
0.25
80.5﹣90.5
m
0.35
90.5﹣100.5
24
n
（1）这次抽取了 200 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m＝ 70 ，n＝ 0.12 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
【分析】（1）利用50.5﹣﹣60.5的人数除以频率即可得到抽取总人数；m＝总人数减去各分数段的人数；n＝24除以抽取的总人数；
（2）根据（1）中计算的m的值补图即可；
（3）利用样本估计总体的方法，用总人数1500×抽取的学生中成绩在70分以下（含70分）的学生所占的抽取人数的百分比计算即可．
【解答】解：（1）抽取的学生数：16÷0.08＝200（名），
m＝200﹣16﹣40﹣50﹣24＝70；
n＝24÷200＝0.12；
（2）如图所示：
（3）1500×＝420（人），
答：该校安全意识不强的学生约有420人．
21．（10分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ 25° ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
【分析】（1）根据三角形内角和定理计算求出∠BAD，根据点D从点B向点C运动可以得出∠BDA逐渐变小；
（2）当DC＝2时，AB＝DC，根据∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，得到∠ADB＝∠DEC，利用AAS定理证明△ABD≌△DCE即可；
（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
由图形可知，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25°；小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB＝2，
∴AB＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，
当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
22．（10分）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 C ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣1）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
【分析】（1）根据完全平方公式得出即可；
（2）根据完全平方公式得出即可；
（3）先换元，再分解因式，再代入，最后求出即可．
【解答】解：（1）运用了两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）原式＝[（x﹣1）2]2＝（x﹣1）4，
故答案为：不彻底，（x﹣1）4；
（3）设x2﹣4x＝y，
原式＝y（y+8）+16
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4，
即（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4．
23．（11分）（1）提出问题：如图1，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＝∠OEC＝90°，求证：CD＝CE．
思路梳理：（请根据思路梳理的过程填空）
证法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得① △COD ≌ △COE ，则CD＝CE．
证法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，则CD＝CE，其理论依据是② 角平分线上的点到角的两边距离相等 ．
（2）类比探究：如图2，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC+∠OEC＝180°，求证：CD＝CE．
（3）拓展迁移：如图3，已知OC平分∠AOB，点D在OA的反向延长线上，点E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，点C到OB的距离是3，则OD+OE的值是 8 ．（直接写出结果，不说明理由）
【分析】（1）方法1：利用全等三角形的性质证明；
方法2：利用角平分线的性质定理证明即可；
（2）过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，证明△CQD≌△CPE（ASA），可得结论；
（3）过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，利用全等三角形的性质证明OD+OE＝2PE，利用勾股定理求出PE即可．
【解答】（1）证法1：如图1中，∵OC平分∠AOB，
∴∠COD＝∠COE，
在△COD和△COE中，
，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴CD＝CE．
故答案为：△COD，△COE；
证法2：∵OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴CD＝CE（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）证明：如图2，过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，
∵∠ODC+∠OEC＝180°，
∴∠DOE+∠DCE＝180°
∴∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴∠AOB+∠PCQ＝180°，
∴∠PCQ＝∠DCE，
∴∠DCQ＝∠ECP，
∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，
∴CQ＝CP，
∵∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴△CQD≌△CPE（ASA），
∴CD＝CE；
（2）解：过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，
∴∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴∠AOB+∠PCQ＝180°，
∵∠ODC＝∠CEO，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠DOE+∠AOB＝180°，
∴∠AOB+∠DCE＝180°，
∴∠PCQ＝∠DCE，
∴∠DCQ＝∠ECP，
∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，
∴CQ＝CP，
∵∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴△CQD≌△CPE（ASA），
∴DQ＝PE，
∵OD＝DQ﹣OQ，OE＝OP+PE，
∴OE+OD＝OP+PE+（DQ﹣OQ）＝PE+DQ＝2PE，
∵EC＝5，CP＝3，
∴PE＝＝＝4，
∴OE+OD＝8．
故答案为：8．
2021-2022学年河南省南阳市方城县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上。每小题3分，共30分。）
1．（3分）在实数0，﹣，，﹣2中，最小的是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
2．（3分）下列运算结果错误的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a6 C．a5÷a5＝a D．（ab）3＝a3b3
3．（3分）以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果a＝0，b＝0，那么ab＝0
C．若a＞b，则a2＞b2
D．同旁内角互补，两直线平行
4．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
5．（3分）观察图中的两个图形，利用它们之间的关系可以验证的等式是（ ）
A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
7．（3分）右图是某种学生快餐（共400g）营养成分扇形统计图，已知其中表示脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，蛋白质含量比碳水化合物多40g．有关这份快餐，下列说法正确的是（ ）
A．表示维生素和矿物质的扇形的圆心角为20°
B．脂肪有44g，含量超过10%
C．表示碳水化合物的扇形的圆心角为135°
D．蛋白质的含量为维生素和矿物质的9倍
8．（3分）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
9．（3分）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是长方形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA．若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是（ ）
A．7° B．21° C．23° D．24°
10．（3分）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分。）
11．（3分）16的平方根是 ．
12．（3分）分解因式：x3﹣4x2+4x＝ ．
13．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是 度．
14．（3分）有60个数据，共分成4组，第1、2组的频数分别为25，19，第4组的频率是0.15，则第3组的频数是 ．
15．（3分）如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕BD，展开后再折叠，使点A落在对角线BD上的点E处，展开后得折痕DG，若AB＝4，BC＝3，则AG的长为 ．
三、解答题（本题含8个小题，共75分。）
16．（8分）计算：
（1）（6x2）2+（﹣3x）3•x；
（2）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．
17．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）按要求尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①作线段AB的垂直平分线，交AB于点F，交BC于点D；
②作∠CAD的平分线，交CD于点E．
（2）求∠DAE的度数．
18．（9分）先化简，再求值：
（2x+1）2﹣x（x+4）+（x﹣2）（x+2），其中x＝﹣1．
19．（9分）如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝3m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE＝1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A'B⊥AB．
（1）求A′到BD的距离；
（2）求A′到地面的距离．
20．（9分）2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频率分布表
分数段
频数
频率
50.5﹣60.5
16
0.08
60.5﹣70.5
40
0.2
70.5﹣80.5
50
0.25
80.5﹣90.5
m
0.35
90.5﹣100.5
24
n
（1）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
21．（10分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
22．（10分）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
23．（11分）（1）提出问题：如图1，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＝∠OEC＝90°，求证：CD＝CE．
思路梳理：（请根据思路梳理的过程填空）
证法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得① ≌ ，则CD＝CE．
证法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，则CD＝CE，其理论依据是② ．
（2）类比探究：如图2，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC+∠OEC＝180°，求证：CD＝CE．
（3）拓展迁移：如图3，已知OC平分∠AOB，点D在OA的反向延长线上，点E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，点C到OB的距离是3，则OD+OE的值是 ．（直接写出结果，不说明理由）
2021-2022学年河南省南阳市方城县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上。每小题3分，共30分。）
1．（3分）在实数0，﹣，，﹣2中，最小的是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
【解答】解：∵正数大于0和一切负数，
所以只需比较和﹣2的大小，
因为|﹣|＜|﹣|，
所以最小的数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）下列运算结果错误的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a6 C．a5÷a5＝a D．（ab）3＝a3b3
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方法则逐一判断即可得出正确选项．
【解答】解：a2•a3＝a5，故选项A不合题意；
（a3）2＝a6，故选项B不合题意；
a5÷a5＝1，故选项C符合题意；
（ab）3＝a3b3，故选项D不合题意．
故选：C．
3．（3分）以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果a＝0，b＝0，那么ab＝0
C．若a＞b，则a2＞b2
D．同旁内角互补，两直线平行
【分析】写出各个命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B、逆命题为如果ab＝0，那么a＝0，b＝0，错误，为假命题，不符合题意；
C、逆命题为a2＞b2，则a＞b，错误，为假命题，不符合题意；
D、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
4．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，
∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）观察图中的两个图形，利用它们之间的关系可以验证的等式是（ ）
A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】先用两种方法表示阴影部分的面积，再根据面积相等得到代数恒等式．
【解答】解：S阴影＝4×ab＝2ab，还可以表示成：S阴影＝（a+b）2﹣（a2+b2）．
∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
故选：C．
6．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
【分析】过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根据勾股定理求出BM＝4，进而求出．
【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在Rt△BCM中，
∵BC＝5，CM＝3，
∴BM＝＝＝4，
∴CN＝4，
∴CE＝2CN＝2×4＝8，
故选：D．
7．（3分）右图是某种学生快餐（共400g）营养成分扇形统计图，已知其中表示脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，蛋白质含量比碳水化合物多40g．有关这份快餐，下列说法正确的是（ ）
A．表示维生素和矿物质的扇形的圆心角为20°
B．脂肪有44g，含量超过10%
C．表示碳水化合物的扇形的圆心角为135°
D．蛋白质的含量为维生素和矿物质的9倍
【分析】根据脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，可求出维生素和矿物质含量所对应扇形的圆心角为18°，进而求出各个部分所占整体的百分比，各个部分的具体数量是多少克，均可以求出，然后做出选项判断，
【解答】解：∵脂肪的扇形的圆心角为36°，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，
∴维生素和矿物质含量所对应扇形的圆心角为18°，
因此A选项不符合题意；
∵脂肪的扇形的圆心角为36°，占整体的＝10%，400×10%＝40克，
∴B选项不符合题意，
∵400×（1﹣10%﹣5%）＝340g，蛋白质含量比碳水化合物多40g，
∴蛋白质190g，碳水化合物为150g，
∴碳水化合物对应圆心角为360°×＝135°
因此C选项符合题意，
维生素和矿物质的含量为400×5%＝20g，蛋白质190g，9倍多，
因此D选项不符合题意，
故选：C．
8．（3分）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
9．（3分）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是长方形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA．若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是（ ）
A．7° B．21° C．23° D．24°
【分析】由矩形的性质得出∠BCD＝90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°，由三角形的外角性质得出∠ACF＝2∠FEA，设∠ECD＝x，则∠ACF＝2x，∠ACD＝3x，由互余两角关系得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°，
∵∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA，
∴∠ACF＝2∠FEA，
设∠ECD＝x，则∠ACF＝2x，
∴∠ACD＝3x，
∴3x+21°＝90°，
解得：x＝23°，
故选：C．
10．（3分）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；则可求出答案．
【解答】解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，
∴a+b＝5．
∵小正方形的面积为（b﹣a）2＝1，
∴b＝3，a＝2，
∴．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分。）
11．（3分）16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
12．（3分）分解因式：x3﹣4x2+4x＝ x（x﹣2）2 ．
【分析】首先提取公因式x，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
【解答】解：x3﹣4x2+4x
＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2，
故答案为x（x﹣2）2．
13．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是 18 度．
【分析】由∠C＝90°，∠A＝36°，求得∠ABC＝54°，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线
∴AE＝BE
∵∠C＝90°，∠A＝36°
∴∠EBA＝∠A＝36°
∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°．
14．（3分）有60个数据，共分成4组，第1、2组的频数分别为25，19，第4组的频率是0.15，则第3组的频数是 7 ．
【分析】直接利用表格得出频数÷总数＝频率，进而得出答案．
【解答】解：∵有60个数据，共分成4组，第4组的频率是0.15，
∴第4组的频数是：60×0.15＝9，
故第3组的频数是：60﹣25﹣19﹣9＝7．
故答案为：7．
15．（3分）如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕BD，展开后再折叠，使点A落在对角线BD上的点E处，展开后得折痕DG，若AB＝4，BC＝3，则AG的长为 ．
【分析】由折叠即可得∠GDA＝∠GDB，AD＝ED，然后过点G作GE⊥BD于E，即可得AG＝EG，设AG＝x，则GE＝x，BE＝BD﹣DE＝5﹣3＝2，BG＝AB﹣AG＝4﹣x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．
【解答】解：根据题意可得：∠GDA＝∠GDB，AD＝ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，
∴AG＝EG，ED＝3，
∵AB＝4，BC＝3，∠A＝90°，
∴BD＝5，
设AG＝x，则GE＝x，BE＝BD﹣DE＝5﹣3＝2，BG＝AB﹣AG＝4﹣x，
在Rt△BEG中，EG2+BE2＝BG2，
即：x2+4＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AG＝．
故答案为：．
三、解答题（本题含8个小题，共75分。）
16．（8分）计算：
（1）（6x2）2+（﹣3x）3•x；
（2）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项；
（2）先算括号内的完全平方、平方差、及单项式乘多项式，再合并，最后算除法．
【解答】解：（1）原式＝36x4+（﹣27x3）•x
＝36x4﹣27x4
＝9x4；
（2）原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x
＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x
＝﹣x﹣y．
17．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）按要求尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①作线段AB的垂直平分线，交AB于点F，交BC于点D；
②作∠CAD的平分线，交CD于点E．
（2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）①根据线段垂直平分线的作法即可完成作图；
②根据角平分线的作法即可作∠CAD的平分线，交CD于点E．
（2）根据三角形内角和定理可得∠BAC＝90°，然后根据DF是AB的垂直平分线，可得∠DAB＝∠B＝40°，再根据AE平分∠DAC，即可求∠DAE的度数．
【解答】解：（1）①如图，FD即为所求；
②如图，AE即为所求；
（2）在△ABC中，
∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∵DF是AB的垂直平分线，
∴∠DAB＝∠B＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝DAC＝25°，
答：∠DAE的度数为25°．
18．（9分）先化简，再求值：
（2x+1）2﹣x（x+4）+（x﹣2）（x+2），其中x＝﹣1．
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2x+1）2﹣x（x+4）+（x﹣2）（x+2）
＝4x2+4x+1﹣x2﹣4x+x2﹣4
＝4x2﹣3，
当x＝﹣1时，原式＝4×（﹣1）2﹣3＝4﹣3＝1．
19．（9分）如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝3m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE＝1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A'B⊥AB．
（1）求A′到BD的距离；
（2）求A′到地面的距离．
【分析】（1）作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.8；
∴BC＝BD﹣CD＝3﹣1.8＝1.2，
∴A'F＝1.2，即A'到BD的距离是1.2m．
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'
∴BF＝AC＝2m，
作A'H⊥DE，垂足为H．
∵A'F∥DE，
∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝3﹣2＝1，即A'到地面的距离是1m．
20．（9分）2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频率分布表
分数段
频数
频率
50.5﹣60.5
16
0.08
60.5﹣70.5
40
0.2
70.5﹣80.5
50
0.25
80.5﹣90.5
m
0.35
90.5﹣100.5
24
n
（1）这次抽取了 200 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m＝ 70 ，n＝ 0.12 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
【分析】（1）利用50.5﹣﹣60.5的人数除以频率即可得到抽取总人数；m＝总人数减去各分数段的人数；n＝24除以抽取的总人数；
（2）根据（1）中计算的m的值补图即可；
（3）利用样本估计总体的方法，用总人数1500×抽取的学生中成绩在70分以下（含70分）的学生所占的抽取人数的百分比计算即可．
【解答】解：（1）抽取的学生数：16÷0.08＝200（名），
m＝200﹣16﹣40﹣50﹣24＝70；
n＝24÷200＝0.12；
（2）如图所示：
（3）1500×＝420（人），
答：该校安全意识不强的学生约有420人．
21．（10分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ 25° ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
【分析】（1）根据三角形内角和定理计算求出∠BAD，根据点D从点B向点C运动可以得出∠BDA逐渐变小；
（2）当DC＝2时，AB＝DC，根据∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，得到∠ADB＝∠DEC，利用AAS定理证明△ABD≌△DCE即可；
（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
由图形可知，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25°；小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB＝2，
∴AB＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，
当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
22．（10分）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 C ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣1）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
【分析】（1）根据完全平方公式得出即可；
（2）根据完全平方公式得出即可；
（3）先换元，再分解因式，再代入，最后求出即可．
【解答】解：（1）运用了两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）原式＝[（x﹣1）2]2＝（x﹣1）4，
故答案为：不彻底，（x﹣1）4；
（3）设x2﹣4x＝y，
原式＝y（y+8）+16
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4，
即（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4．
23．（11分）（1）提出问题：如图1，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＝∠OEC＝90°，求证：CD＝CE．
思路梳理：（请根据思路梳理的过程填空）
证法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得① △COD ≌ △COE ，则CD＝CE．
证法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，则CD＝CE，其理论依据是② 角平分线上的点到角的两边距离相等 ．
（2）类比探究：如图2，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC+∠OEC＝180°，求证：CD＝CE．
（3）拓展迁移：如图3，已知OC平分∠AOB，点D在OA的反向延长线上，点E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，点C到OB的距离是3，则OD+OE的值是 8 ．（直接写出结果，不说明理由）
【分析】（1）方法1：利用全等三角形的性质证明；
方法2：利用角平分线的性质定理证明即可；
（2）过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，证明△CQD≌△CPE（ASA），可得结论；
（3）过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，利用全等三角形的性质证明OD+OE＝2PE，利用勾股定理求出PE即可．
【解答】（1）证法1：如图1中，∵OC平分∠AOB，
∴∠COD＝∠COE，
在△COD和△COE中，
，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴CD＝CE．
故答案为：△COD，△COE；
证法2：∵OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴CD＝CE（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）证明：如图2，过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，
∵∠ODC+∠OEC＝180°，
∴∠DOE+∠DCE＝180°
∴∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴∠AOB+∠PCQ＝180°，
∴∠PCQ＝∠DCE，
∴∠DCQ＝∠ECP，
∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，
∴CQ＝CP，
∵∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴△CQD≌△CPE（ASA），
∴CD＝CE；
（2）解：过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，
∴∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴∠AOB+∠PCQ＝180°，
∵∠ODC＝∠CEO，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠DOE+∠AOB＝180°，
∴∠AOB+∠DCE＝180°，
∴∠PCQ＝∠DCE，
∴∠DCQ＝∠ECP，
∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，
∴CQ＝CP，
∵∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴△CQD≌△CPE（ASA），
∴DQ＝PE，
∵OD＝DQ﹣OQ，OE＝OP+PE，
∴OE+OD＝OP+PE+（DQ﹣OQ）＝PE+DQ＝2PE，
∵EC＝5，CP＝3，
∴PE＝＝＝4，
∴OE+OD＝8．
故答案为：8．
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