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2021-2022学年重庆市两江新区八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年重庆市两江新区八年级（上）期末数学试卷 解析版，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市两江新区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）计算（﹣2）0的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
2．（4分）下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）计算：（﹣2x2）3＝（ ）
A．﹣6x6 B．﹣8x5 C．8x6 D．﹣8x6
4．（4分）若的值等于0，则x的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（4分）（﹣）2021×（﹣2.6）2022＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣ D．﹣2.6
7．（4分）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
8．（4分）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，已知AB＝CD，在不添加辅助线的情况下，若再添一个条件就可以证明△ABC≌△CDA，下列条件中符合要求的有（ ）个．
①BC＝AD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；④AB∥DC；
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（4分）如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠FAC＝40°，则∠BFE＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
11．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
12．（4分）若关于x的方程＝1无解，则a＝（ ）
A．3 B．0或8 C．﹣2或3 D．3或8
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）将0.000000123用科学记数法表示为 ．
14．（4分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，用a和b表示圆形容器的壁厚是 ．
15．（4分）若am＝2，an＝3，则am+2n＝ ．
16．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC边上的一点，过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分别交AD于E，F，若BE＝5，CF＝3，则EF＝ ．
17．（4分）已知x+y＝3，x2+y2＝23，（x﹣y）2的值为 ．
18．（4分）如图，在等腰Rt△BCD中BC＝DC，∠BCD＝90°，CF是BD边上的高，CF＝4．点E是BC的中点，点P是平面内一点，CP＝3，连接EP，以点E为直角顶点，EP为直角边作等腰Rt△EPQ，连接DQ，则DQ的最小值为 ．
三、解答题：（本大题共2个小题，其中19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）分解因式：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）（x+y）2﹣（x﹣z）2．
20．（10分）计算：
（1）（x+y）2+y（x﹣2y）；
（2）÷．
四、解答题：（本大题共6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．（10分）如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠EDB＝∠FDC．
（1）求证：DE＝DF；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中△ABC顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣5，2）．△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，且点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'．
（1）在图中画出△A'B'C'；
（2）点M从点A'出发，先沿适当的路径运动到x轴上的点D处，再沿适当的路径运动到点C处停止，请画出点M的最短路径．
23．（10分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且建造这90个摊位的总费用不超过12500元，则A类摊位的数量最多为多少个？
24．（10分）已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD＝m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S1，长方形BEFG的面积记作S2．
（1）用含m，a，b的式子表示S1和S2；
（2）若S1﹣S2的值与m的取值无关，求a，b满足的数量关系．
25．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
26．（10分）阅读下列材料：
1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“x＝a是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x﹣a）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
例如：分解因式x3+2x2﹣3．
∵x＝1是x3+2x2﹣3＝0的一个解，
∴x3+2x2﹣3可以分解为（x﹣1）与另一个整式的乘积．
设x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（ax2+bx+c），
而（x﹣1）（ax2+bx+c）＝ax3+（b﹣a）x2+（c﹣b）x﹣c，则有，得，从而x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）．
运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）①运用上述方法分解因式x3+2x+3时，猜想出x3+2x+3＝0的一个解为 （只填写一个即可），则x3+2x+3可以分解为 与另一个整式的乘积；
②分解因式x3+2x+3；
（2）若x﹣1与x+2都是多项式x3+mx2+mx+p的因式，求m﹣n的值．
2021-2022学年重庆市两江新区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）计算（﹣2）0的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据非0数的零指数幂的定义可得（﹣2）0＝1．
【解答】解：原式＝1．
故选：A．
2．（4分）下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：是轴对称图形，
故选：B．
3．（4分）计算：（﹣2x2）3＝（ ）
A．﹣6x6 B．﹣8x5 C．8x6 D．﹣8x6
【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
【解答】解：（﹣2x2）3＝（﹣2）3•（x2）3＝﹣8x6．
故选：D．
4．（4分）若的值等于0，则x的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣2＝0且x+2≠0，再解即可．
【解答】解：若的值等于0，则|x|﹣2＝0且x+2≠0，
所以x＝2．
故选：A．
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD＝CD，进而得出△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，相减即可得到周长差．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB+BD+AD﹣AC﹣CD﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2；
故选：A．
6．（4分）（﹣）2021×（﹣2.6）2022＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣ D．﹣2.6
【分析】利用积的乘方的法则对所求的式子进行运算即可．
【解答】解：（﹣）2021×（﹣2.6）2022
＝（﹣）2021×（﹣2.6）2021×（﹣2.6）
＝[﹣×（﹣）]2021×（﹣2.6）
＝12021×（﹣2.6）
＝1×（﹣2.6）
＝﹣2.6，
故选：D．
7．（4分）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【分析】根据高线的定义可得∠AEC＝90°，然后根据∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1＝∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°，
故选：A．
8．（4分）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质可求解．
【解答】解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，
故选：C．
9．（4分）如图，已知AB＝CD，在不添加辅助线的情况下，若再添一个条件就可以证明△ABC≌△CDA，下列条件中符合要求的有（ ）个．
①BC＝AD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；④AB∥DC；
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：①根据BC＝AD、AB＝CD和AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SSS）；
②∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴根据AB＝CD、AC＝AC和∠BCA＝∠DAC不能推出△ABC≌△CDA；
③根据AB＝CD，AC＝AC和∠B＝∠D不能推出△ABC≌△CDA；
④∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
根据AB＝CD，∠BAC＝∠DCA和AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SAS）；
故选：B．
10．（4分）如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠FAC＝40°，则∠BFE＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得∠C＝∠AFE，由外角的性质可求解．
【解答】解：在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠AFE，
∵∠AFB＝∠FAC+∠C＝∠AFE+∠EFB，
∴∠BFE＝∠FAC＝40°，
故选：B．
11．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】先根据△AEH的面积算出AE的长度，再根据全等三角形的知识算出CE的长度，由CE﹣HE即可求出CH的长度．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴S△AEH＝×AE×EH＝AE＝6，
∴AE＝4，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠EAH＝∠ECB，
在△BEC和△HEA中，
，
∴△BEC≌△HEA（AAS），
∴AE＝CE＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1，
故选：A．
12．（4分）若关于x的方程＝1无解，则a＝（ ）
A．3 B．0或8 C．﹣2或3 D．3或8
【分析】分两种情况，整式方程无解，分式方程无解．
【解答】解＝1，
x（x+a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
x2+ax﹣5x+10＝x2﹣2x，
（a﹣3）x＝﹣10，
当a﹣3＝0时，方程（a﹣3）x＝﹣10无解，
∴a＝3，
∵关于x的分式方程＝1无解，
∴x﹣2＝0或x＝0，
∴x＝2或x＝0，
把x＝2代入（a﹣3）x＝﹣10中得：
2（a﹣3）＝﹣10，
∴a＝﹣2，
把x＝0代入（a﹣3）x＝﹣10中得：
0≠﹣10，
综上所述：若关于x的方程＝1无解，则a的值为3或﹣2，
故选：C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）将0.000000123用科学记数法表示为 1.23×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000123＝1.23×10﹣7；
故答案为：1.23×10﹣7．
14．（4分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，用a和b表示圆形容器的壁厚是 （b﹣a） ．
【分析】连接AB，只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
【解答】解：连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝a，
∵EF＝b，
∴圆柱形容器的壁厚是（b﹣a），
故答案为：（b﹣a）．
15．（4分）若am＝2，an＝3，则am+2n＝ 18 ．
【分析】指数相加可以化为同底数幂的乘法，故am+2n＝am•a2n，指数相乘化为幂的乘方a2n＝（an）2，再根据已知条件可得到答案．
【解答】解：am+2n＝am•a2n＝am•（an）2＝2×9＝18．
故答案为：18．
16．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC边上的一点，过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分别交AD于E，F，若BE＝5，CF＝3，则EF＝ 2 ．
【分析】利用AAS证明△ABE≌△CAF，得BE＝AF＝5，AE＝CF＝3，从而得出答案．
【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAF＝90°，
∴∠ABE＝∠CAF，
在△ABE与△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE＝AF＝5，AE＝CF＝3，
∴EF＝AF﹣AE＝2，
故答案为：2．
17．（4分）已知x+y＝3，x2+y2＝23，（x﹣y）2的值为 37 ．
【分析】先根据式子2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）计算出xy的值，再由式子（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy计算出（x﹣y）2的值即可．
【解答】解：∵x+y＝3，x2+y2＝23，
∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝32﹣23＝﹣14，
∴xy＝﹣7；
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝32﹣4×（﹣7）＝37．
故答案为：37．
18．（4分）如图，在等腰Rt△BCD中BC＝DC，∠BCD＝90°，CF是BD边上的高，CF＝4．点E是BC的中点，点P是平面内一点，CP＝3，连接EP，以点E为直角顶点，EP为直角边作等腰Rt△EPQ，连接DQ，则DQ的最小值为 4﹣3 ．
【分析】由“SAS”可证△QEF≌△PEC，可得QE＝CP＝3，由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：如图，连接EF，QF，
∵BC＝DC，∠BCD＝90°，CF⊥BD，
∴CF＝BF＝DF＝4，
∵点E是BC的中点，
∴EF＝CE，EF⊥BC，
∵QE⊥EP，
∴∠QEP＝90°＝∠FEC，
∴∠FEQ＝∠CEP，
在△QEF和△PEC中，
，
∴△QEF≌△PEC（SAS），
∴QE＝CP＝3，
在△DQF中，DQ＞DF﹣QF，
∴当点Q在DF上时，DQ有最小值为4﹣3，
故答案为：4﹣3．
三、解答题：（本大题共2个小题，其中19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）分解因式：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）（x+y）2﹣（x﹣z）2．
【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可；
（2）利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2；
（2）（x+y）2﹣（x﹣z）2
＝（x+y+x﹣z）（x+y﹣x+z）
＝（2x+y﹣z）（y+z）．
20．（10分）计算：
（1）（x+y）2+y（x﹣2y）；
（2）÷．
【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式将式子展开，然后合并同类项即可；
（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：（1）（x+y）2+y（x﹣2y）
＝x2+2xy+y2+xy﹣2y2
＝x2+3xy﹣y2；
（2）÷
＝﹣
＝﹣
＝
＝．
四、解答题：（本大题共6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．（10分）如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠EDB＝∠FDC．
（1）求证：DE＝DF；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
【分析】（1）根据已知条件证明△DEB≌△DFC，即可解决问题；
（2）由（1）△DEB≌△DFC，可得∠EBD＝∠FCD，根据BD＝CD，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC，
在△DEB和△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE＝DF；
（2）∵△DEB≌△DFC，
∴∠EBD＝∠FCD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠EBD+∠DBC＝∠FCD+∠DCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中△ABC顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣5，2）．△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，且点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'．
（1）在图中画出△A'B'C'；
（2）点M从点A'出发，先沿适当的路径运动到x轴上的点D处，再沿适当的路径运动到点C处停止，请画出点M的最短路径．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）作点A'关于x轴的对称点A''，连接CA''交x轴于D．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
（2）如图所示，A'D→DC即为点M的最短路径．
23．（10分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且建造这90个摊位的总费用不超过12500元，则A类摊位的数量最多为多少个？
【分析】（1）设每个A类摊位占地面积为x平方米，则每个B类摊位占地面积为（x﹣2）平方米，由题意：用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．列出分式方程，解方程即可；
（2）设A类摊位的数量为m个，则B类摊位的数量为（90﹣m）个，由题意：建造这90个摊位的总费用不超过12500元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每个A类摊位占地面积为x平方米，则每个B类摊位占地面积为（x﹣2）平方米，
依题意得：＝×，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意，
则x﹣2＝5﹣2＝3．
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积3平方米．
（2）设A类摊位的数量为m个，则B类摊位的数量为（90﹣m）个，
由题意得：40×5m+30×3×（90﹣m）≤12500，
解得：m≤40，
答：A类摊位的数量最多为40个．
24．（10分）已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD＝m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S1，长方形BEFG的面积记作S2．
（1）用含m，a，b的式子表示S1和S2；
（2）若S1﹣S2的值与m的取值无关，求a，b满足的数量关系．
【分析】（1）根据图形可得出长方形MNPD的长MD的长MD为m﹣3b，宽MN为a，即可得出S1的面积，长方形BEFG的长EF为m﹣a，宽FG为4a，即可得出S2的面积；
（2）根据（1）计算S1﹣S2的值与m的取值无关，即a﹣4b＝0，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵MD＝AD﹣AM＝m﹣3b；MN＝a，
∴S1＝MD•MN＝（m﹣3b）•a＝ma﹣3ab，
∵EF＝EP﹣FP＝m﹣a，FG＝4b，
∴S2＝EF•FG＝（m﹣a）•4b＝4bm﹣4ab；
（2）S1﹣S2＝ma﹣3ab﹣4bm+4ab
＝ab+ma﹣4bm
＝ab+m（a﹣4b），
∵S1﹣S2的值与m的取值无关，
∴a﹣4b＝0，
即a＝4b，
所以a，b满足的数量关系a＝4b．
25．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；
（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．
【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），
∴AB＝BD，
（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，
∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，
∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，
∵∠ABF＝∠DBG＝45°
∴∠MBD＝∠GBD，
在△BMK和△BGK中，
，
∴△BMK≌△BGK（ASA），
∴BM＝BG，MK＝KG，
在△ABM和△DBG中，
，
∴△ABM≌△DBG（SAS），
∴AM＝DG，
∵AK＝AM+MK，
∴AK＝DG+KG．
26．（10分）阅读下列材料：
1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“x＝a是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x﹣a）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
例如：分解因式x3+2x2﹣3．
∵x＝1是x3+2x2﹣3＝0的一个解，
∴x3+2x2﹣3可以分解为（x﹣1）与另一个整式的乘积．
设x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（ax2+bx+c），
而（x﹣1）（ax2+bx+c）＝ax3+（b﹣a）x2+（c﹣b）x﹣c，则有，得，从而x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）．
运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）①运用上述方法分解因式x3+2x+3时，猜想出x3+2x+3＝0的一个解为 x＝﹣1 （只填写一个即可），则x3+2x+3可以分解为 （x+1） 与另一个整式的乘积；
②分解因式x3+2x+3；
（2）若x﹣1与x+2都是多项式x3+mx2+mx+p的因式，求m﹣n的值．
【分析】（1）①计算当x＝﹣1时，方程成立，则x3+2x+3必有一个因式为（x+1）即可作答；
②根据待定系数法原理先设号一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算印可求得结论；
（2）设x3+mx2+mx+p＝（x﹣1）（x+2）⋅M（其中M为二次整式），由材料可知，x＝1，x＝﹣2是方程x3+mx2+nx+p＝0的解，然后列方程坦求解即可．
【解答】解：（1）①x3+2x+3，
观察知，x＝﹣1时，原式＝0，
则x3+2x+3的一个解为x＝﹣1，
∴原式可分解为（x+1）与另一个整式的积，
故答案为：x＝﹣1，（x+1）；
②设另一个因式为（x2+ax+b），
则（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b
＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b，
∴a+1＝0，a＝﹣1，b＝3，
∴多项式的另一因式为x2﹣x+3，
∴x3+2x+3＝（x+1）（x2﹣x+3），
（2）设x3+mx2+mx+p＝（x﹣1）（x+2）•M（其中M为二次整式），
由材料可知，x＝1，x＝﹣2是方程x2+mx2+nx+p＝0的解，
∴，得m﹣n＝3，
∴m﹣n的值为3．
2021-2022学年重庆市两江新区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）计算（﹣2）0的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
2．（4分）下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）计算：（﹣2x2）3＝（ ）
A．﹣6x6 B．﹣8x5 C．8x6 D．﹣8x6
4．（4分）若的值等于0，则x的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（4分）（﹣）2021×（﹣2.6）2022＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣ D．﹣2.6
7．（4分）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
8．（4分）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，已知AB＝CD，在不添加辅助线的情况下，若再添一个条件就可以证明△ABC≌△CDA，下列条件中符合要求的有（ ）个．
①BC＝AD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；④AB∥DC；
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（4分）如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠FAC＝40°，则∠BFE＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
11．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
12．（4分）若关于x的方程＝1无解，则a＝（ ）
A．3 B．0或8 C．﹣2或3 D．3或8
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）将0.000000123用科学记数法表示为 ．
14．（4分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，用a和b表示圆形容器的壁厚是 ．
15．（4分）若am＝2，an＝3，则am+2n＝ ．
16．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC边上的一点，过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分别交AD于E，F，若BE＝5，CF＝3，则EF＝ ．
17．（4分）已知x+y＝3，x2+y2＝23，（x﹣y）2的值为 ．
18．（4分）如图，在等腰Rt△BCD中BC＝DC，∠BCD＝90°，CF是BD边上的高，CF＝4．点E是BC的中点，点P是平面内一点，CP＝3，连接EP，以点E为直角顶点，EP为直角边作等腰Rt△EPQ，连接DQ，则DQ的最小值为 ．
三、解答题：（本大题共2个小题，其中19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）分解因式：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）（x+y）2﹣（x﹣z）2．
20．（10分）计算：
（1）（x+y）2+y（x﹣2y）；
（2）÷．
四、解答题：（本大题共6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．（10分）如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠EDB＝∠FDC．
（1）求证：DE＝DF；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中△ABC顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣5，2）．△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，且点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'．
（1）在图中画出△A'B'C'；
（2）点M从点A'出发，先沿适当的路径运动到x轴上的点D处，再沿适当的路径运动到点C处停止，请画出点M的最短路径．
23．（10分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且建造这90个摊位的总费用不超过12500元，则A类摊位的数量最多为多少个？
24．（10分）已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD＝m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S1，长方形BEFG的面积记作S2．
（1）用含m，a，b的式子表示S1和S2；
（2）若S1﹣S2的值与m的取值无关，求a，b满足的数量关系．
25．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
26．（10分）阅读下列材料：
1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“x＝a是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x﹣a）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
例如：分解因式x3+2x2﹣3．
∵x＝1是x3+2x2﹣3＝0的一个解，
∴x3+2x2﹣3可以分解为（x﹣1）与另一个整式的乘积．
设x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（ax2+bx+c），
而（x﹣1）（ax2+bx+c）＝ax3+（b﹣a）x2+（c﹣b）x﹣c，则有，得，从而x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）．
运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）①运用上述方法分解因式x3+2x+3时，猜想出x3+2x+3＝0的一个解为 （只填写一个即可），则x3+2x+3可以分解为 与另一个整式的乘积；
②分解因式x3+2x+3；
（2）若x﹣1与x+2都是多项式x3+mx2+mx+p的因式，求m﹣n的值．
2021-2022学年重庆市两江新区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）计算（﹣2）0的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据非0数的零指数幂的定义可得（﹣2）0＝1．
【解答】解：原式＝1．
故选：A．
2．（4分）下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：是轴对称图形，
故选：B．
3．（4分）计算：（﹣2x2）3＝（ ）
A．﹣6x6 B．﹣8x5 C．8x6 D．﹣8x6
【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
【解答】解：（﹣2x2）3＝（﹣2）3•（x2）3＝﹣8x6．
故选：D．
4．（4分）若的值等于0，则x的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣2＝0且x+2≠0，再解即可．
【解答】解：若的值等于0，则|x|﹣2＝0且x+2≠0，
所以x＝2．
故选：A．
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD＝CD，进而得出△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，相减即可得到周长差．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB+BD+AD﹣AC﹣CD﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2；
故选：A．
6．（4分）（﹣）2021×（﹣2.6）2022＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣ D．﹣2.6
【分析】利用积的乘方的法则对所求的式子进行运算即可．
【解答】解：（﹣）2021×（﹣2.6）2022
＝（﹣）2021×（﹣2.6）2021×（﹣2.6）
＝[﹣×（﹣）]2021×（﹣2.6）
＝12021×（﹣2.6）
＝1×（﹣2.6）
＝﹣2.6，
故选：D．
7．（4分）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【分析】根据高线的定义可得∠AEC＝90°，然后根据∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1＝∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°，
故选：A．
8．（4分）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质可求解．
【解答】解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，
故选：C．
9．（4分）如图，已知AB＝CD，在不添加辅助线的情况下，若再添一个条件就可以证明△ABC≌△CDA，下列条件中符合要求的有（ ）个．
①BC＝AD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；④AB∥DC；
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：①根据BC＝AD、AB＝CD和AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SSS）；
②∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴根据AB＝CD、AC＝AC和∠BCA＝∠DAC不能推出△ABC≌△CDA；
③根据AB＝CD，AC＝AC和∠B＝∠D不能推出△ABC≌△CDA；
④∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
根据AB＝CD，∠BAC＝∠DCA和AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SAS）；
故选：B．
10．（4分）如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠FAC＝40°，则∠BFE＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得∠C＝∠AFE，由外角的性质可求解．
【解答】解：在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠AFE，
∵∠AFB＝∠FAC+∠C＝∠AFE+∠EFB，
∴∠BFE＝∠FAC＝40°，
故选：B．
11．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】先根据△AEH的面积算出AE的长度，再根据全等三角形的知识算出CE的长度，由CE﹣HE即可求出CH的长度．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴S△AEH＝×AE×EH＝AE＝6，
∴AE＝4，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠EAH＝∠ECB，
在△BEC和△HEA中，
，
∴△BEC≌△HEA（AAS），
∴AE＝CE＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1，
故选：A．
12．（4分）若关于x的方程＝1无解，则a＝（ ）
A．3 B．0或8 C．﹣2或3 D．3或8
【分析】分两种情况，整式方程无解，分式方程无解．
【解答】解＝1，
x（x+a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
x2+ax﹣5x+10＝x2﹣2x，
（a﹣3）x＝﹣10，
当a﹣3＝0时，方程（a﹣3）x＝﹣10无解，
∴a＝3，
∵关于x的分式方程＝1无解，
∴x﹣2＝0或x＝0，
∴x＝2或x＝0，
把x＝2代入（a﹣3）x＝﹣10中得：
2（a﹣3）＝﹣10，
∴a＝﹣2，
把x＝0代入（a﹣3）x＝﹣10中得：
0≠﹣10，
综上所述：若关于x的方程＝1无解，则a的值为3或﹣2，
故选：C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）将0.000000123用科学记数法表示为 1.23×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000123＝1.23×10﹣7；
故答案为：1.23×10﹣7．
14．（4分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，用a和b表示圆形容器的壁厚是 （b﹣a） ．
【分析】连接AB，只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
【解答】解：连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝a，
∵EF＝b，
∴圆柱形容器的壁厚是（b﹣a），
故答案为：（b﹣a）．
15．（4分）若am＝2，an＝3，则am+2n＝ 18 ．
【分析】指数相加可以化为同底数幂的乘法，故am+2n＝am•a2n，指数相乘化为幂的乘方a2n＝（an）2，再根据已知条件可得到答案．
【解答】解：am+2n＝am•a2n＝am•（an）2＝2×9＝18．
故答案为：18．
16．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC边上的一点，过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分别交AD于E，F，若BE＝5，CF＝3，则EF＝ 2 ．
【分析】利用AAS证明△ABE≌△CAF，得BE＝AF＝5，AE＝CF＝3，从而得出答案．
【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAF＝90°，
∴∠ABE＝∠CAF，
在△ABE与△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE＝AF＝5，AE＝CF＝3，
∴EF＝AF﹣AE＝2，
故答案为：2．
17．（4分）已知x+y＝3，x2+y2＝23，（x﹣y）2的值为 37 ．
【分析】先根据式子2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）计算出xy的值，再由式子（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy计算出（x﹣y）2的值即可．
【解答】解：∵x+y＝3，x2+y2＝23，
∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝32﹣23＝﹣14，
∴xy＝﹣7；
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝32﹣4×（﹣7）＝37．
故答案为：37．
18．（4分）如图，在等腰Rt△BCD中BC＝DC，∠BCD＝90°，CF是BD边上的高，CF＝4．点E是BC的中点，点P是平面内一点，CP＝3，连接EP，以点E为直角顶点，EP为直角边作等腰Rt△EPQ，连接DQ，则DQ的最小值为 4﹣3 ．
【分析】由“SAS”可证△QEF≌△PEC，可得QE＝CP＝3，由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：如图，连接EF，QF，
∵BC＝DC，∠BCD＝90°，CF⊥BD，
∴CF＝BF＝DF＝4，
∵点E是BC的中点，
∴EF＝CE，EF⊥BC，
∵QE⊥EP，
∴∠QEP＝90°＝∠FEC，
∴∠FEQ＝∠CEP，
在△QEF和△PEC中，
，
∴△QEF≌△PEC（SAS），
∴QE＝CP＝3，
在△DQF中，DQ＞DF﹣QF，
∴当点Q在DF上时，DQ有最小值为4﹣3，
故答案为：4﹣3．
三、解答题：（本大题共2个小题，其中19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）分解因式：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）（x+y）2﹣（x﹣z）2．
【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可；
（2）利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2；
（2）（x+y）2﹣（x﹣z）2
＝（x+y+x﹣z）（x+y﹣x+z）
＝（2x+y﹣z）（y+z）．
20．（10分）计算：
（1）（x+y）2+y（x﹣2y）；
（2）÷．
【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式将式子展开，然后合并同类项即可；
（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：（1）（x+y）2+y（x﹣2y）
＝x2+2xy+y2+xy﹣2y2
＝x2+3xy﹣y2；
（2）÷
＝﹣
＝﹣
＝
＝．
四、解答题：（本大题共6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．（10分）如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠EDB＝∠FDC．
（1）求证：DE＝DF；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
【分析】（1）根据已知条件证明△DEB≌△DFC，即可解决问题；
（2）由（1）△DEB≌△DFC，可得∠EBD＝∠FCD，根据BD＝CD，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC，
在△DEB和△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE＝DF；
（2）∵△DEB≌△DFC，
∴∠EBD＝∠FCD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠EBD+∠DBC＝∠FCD+∠DCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中△ABC顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣5，2）．△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，且点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'．
（1）在图中画出△A'B'C'；
（2）点M从点A'出发，先沿适当的路径运动到x轴上的点D处，再沿适当的路径运动到点C处停止，请画出点M的最短路径．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）作点A'关于x轴的对称点A''，连接CA''交x轴于D．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
（2）如图所示，A'D→DC即为点M的最短路径．
23．（10分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且建造这90个摊位的总费用不超过12500元，则A类摊位的数量最多为多少个？
【分析】（1）设每个A类摊位占地面积为x平方米，则每个B类摊位占地面积为（x﹣2）平方米，由题意：用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．列出分式方程，解方程即可；
（2）设A类摊位的数量为m个，则B类摊位的数量为（90﹣m）个，由题意：建造这90个摊位的总费用不超过12500元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每个A类摊位占地面积为x平方米，则每个B类摊位占地面积为（x﹣2）平方米，
依题意得：＝×，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意，
则x﹣2＝5﹣2＝3．
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积3平方米．
（2）设A类摊位的数量为m个，则B类摊位的数量为（90﹣m）个，
由题意得：40×5m+30×3×（90﹣m）≤12500，
解得：m≤40，
答：A类摊位的数量最多为40个．
24．（10分）已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD＝m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S1，长方形BEFG的面积记作S2．
（1）用含m，a，b的式子表示S1和S2；
（2）若S1﹣S2的值与m的取值无关，求a，b满足的数量关系．
【分析】（1）根据图形可得出长方形MNPD的长MD的长MD为m﹣3b，宽MN为a，即可得出S1的面积，长方形BEFG的长EF为m﹣a，宽FG为4a，即可得出S2的面积；
（2）根据（1）计算S1﹣S2的值与m的取值无关，即a﹣4b＝0，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵MD＝AD﹣AM＝m﹣3b；MN＝a，
∴S1＝MD•MN＝（m﹣3b）•a＝ma﹣3ab，
∵EF＝EP﹣FP＝m﹣a，FG＝4b，
∴S2＝EF•FG＝（m﹣a）•4b＝4bm﹣4ab；
（2）S1﹣S2＝ma﹣3ab﹣4bm+4ab
＝ab+ma﹣4bm
＝ab+m（a﹣4b），
∵S1﹣S2的值与m的取值无关，
∴a﹣4b＝0，
即a＝4b，
所以a，b满足的数量关系a＝4b．
25．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；
（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．
【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），
∴AB＝BD，
（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，
∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，
∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，
∵∠ABF＝∠DBG＝45°
∴∠MBD＝∠GBD，
在△BMK和△BGK中，
，
∴△BMK≌△BGK（ASA），
∴BM＝BG，MK＝KG，
在△ABM和△DBG中，
，
∴△ABM≌△DBG（SAS），
∴AM＝DG，
∵AK＝AM+MK，
∴AK＝DG+KG．
26．（10分）阅读下列材料：
1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“x＝a是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x﹣a）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
例如：分解因式x3+2x2﹣3．
∵x＝1是x3+2x2﹣3＝0的一个解，
∴x3+2x2﹣3可以分解为（x﹣1）与另一个整式的乘积．
设x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（ax2+bx+c），
而（x﹣1）（ax2+bx+c）＝ax3+（b﹣a）x2+（c﹣b）x﹣c，则有，得，从而x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）．
运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）①运用上述方法分解因式x3+2x+3时，猜想出x3+2x+3＝0的一个解为 x＝﹣1 （只填写一个即可），则x3+2x+3可以分解为 （x+1） 与另一个整式的乘积；
②分解因式x3+2x+3；
（2）若x﹣1与x+2都是多项式x3+mx2+mx+p的因式，求m﹣n的值．
【分析】（1）①计算当x＝﹣1时，方程成立，则x3+2x+3必有一个因式为（x+1）即可作答；
②根据待定系数法原理先设号一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算印可求得结论；
（2）设x3+mx2+mx+p＝（x﹣1）（x+2）⋅M（其中M为二次整式），由材料可知，x＝1，x＝﹣2是方程x3+mx2+nx+p＝0的解，然后列方程坦求解即可．
【解答】解：（1）①x3+2x+3，
观察知，x＝﹣1时，原式＝0，
则x3+2x+3的一个解为x＝﹣1，
∴原式可分解为（x+1）与另一个整式的积，
故答案为：x＝﹣1，（x+1）；
②设另一个因式为（x2+ax+b），
则（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b
＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b，
∴a+1＝0，a＝﹣1，b＝3，
∴多项式的另一因式为x2﹣x+3，
∴x3+2x+3＝（x+1）（x2﹣x+3），
（2）设x3+mx2+mx+p＝（x﹣1）（x+2）•M（其中M为二次整式），
由材料可知，x＝1，x＝﹣2是方程x2+mx2+nx+p＝0的解，
∴，得m﹣n＝3，
∴m﹣n的值为3．
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