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2021-2022学年新疆喀什地区九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年新疆喀什地区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年新疆喀什地区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每题的选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
2．（4分）关于x的方程3x2﹣2＝4x中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2 B．3，4 C．3，﹣4 D．﹣4，﹣2
3．（4分）在正面完全相同、反面印有下列四个图形的纸片中，任抽一张，则抽到的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
4．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x＝5 B．x1＝0，x2＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．以上都不对
5．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣2
3
6
7
6
…
当y＜6时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤3 C．x＜1或x＞0 D．x＜1或x＞3
6．（4分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，若∠ACD＝20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．（4分）小明打算用一张半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥形的小丑帽，则这个小丑帽的高为（ ）
A．5cm B．10cm C．5cm D．cm
8．（4分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列给出的结论：①abc＜0；②b﹣2a＝0；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数解；⑤am2+bm+c≥a﹣b+c．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卷相应位置上）
9．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为 ．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
11．（3分）抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为 ．
12．（3分）如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转30°得到△CBE，点C刚好落在边AD上，若∠CBD＝28°，则∠E＝ °．
13．（3分）矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，边长为1的小正方形组成的网格中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上边，B、C在第一象限，且A（0，2），B（4，2），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），若点B的对应点B1恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C1的坐标为 ．
三、解答题。（本大题共8小题，满分50分.解答时应在答题卷的相应位置处写出文字说明，证明过程或演绎步骤）
15．（5分）用你喜爱的方法解方程：3x2﹣2x﹣5＝0．
16．（6分）如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O，A，B都在格点上．
（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．
17．（6分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+1．
（1）用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
18．（7分）一个不透明的口袋里装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中红球和黄球各1个，白球2个．
（1）小明从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ；
（2）小明先从口袋中随机摸出一个球，记录下颜色后不放回，再从袋子里剩余的球中随机摸出一个球，记录下球的颜色．请你用列表法或画树状图法求出小明两次摸出的球中只有一个白球的概率．
19．（6分）如图，四边形APBC内接于圆，∠APB＝120°，连接AB，PC，AB＝AC．
（1）△ABC是 三角形；
（2）在PC上取一点E，使PE＝AP，若AP＝3，BP＝2，求PC的长．
20．（6分）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E．以BE为弦作⊙O，交BC于点D，圆心O恰好在BC边上．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若直径BD＝12，∠ACB＝30°，求弦BE的长．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求△APC面积的最大值．
2021-2022学年新疆喀什地区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每题的选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，故A不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故C不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
2．（4分）关于x的方程3x2﹣2＝4x中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2 B．3，4 C．3，﹣4 D．﹣4，﹣2
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定二次项系数和一次项系数．
【解答】解：∵方程3x2﹣2＝4x化为一般形式为：3x2﹣4x﹣2＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4．
故选：C．
3．（4分）在正面完全相同、反面印有下列四个图形的纸片中，任抽一张，则抽到的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：在这四个图片中第二、四幅图案既是轴对称图形又是中心对称图形，因此既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是＝．
故选：B．
4．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x＝5 B．x1＝0，x2＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．以上都不对
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x﹣5）＝0，
x＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝0，x2＝5．
故选：C．
5．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣2
3
6
7
6
…
当y＜6时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤3 C．x＜1或x＞0 D．x＜1或x＞3
【分析】由二次函数图象上点的坐标（1，6）和（3，6），利用二次函数的性质可得出二次函数图象的对称轴，进而可得出顶点坐标，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出y＜6时x的取值范围．
【解答】解：∵当x＝1时，y＝6；当x＝3时，y＝6，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，
∴二次函数图象的顶点坐标是（2，7），
∴当y＜6时，x＜1或x＞3．
故选：D．
6．（4分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，若∠ACD＝20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠B＝∠ACD，再根据圆周角的推论推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可得∠ADB＝90°，由∠BAD＝90°﹣∠B代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴∠B＝∠ACD＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°．
故选：D．
7．（4分）小明打算用一张半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥形的小丑帽，则这个小丑帽的高为（ ）
A．5cm B．10cm C．5cm D．cm
【分析】设这个圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，解方程求出r，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝5．
所以这个圆锥形小帽子的高＝＝10cm．
答：这个圆锥形小帽子的高为10cm．
故选：B．
8．（4分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列给出的结论：①abc＜0；②b﹣2a＝0；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数解；⑤am2+bm+c≥a﹣b+c．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】先由开口方向得到a的正负，由对称轴的位置得到b的正负，由图象与y轴的交点得到c的正负，判断①；由对称轴为直线x＝﹣1得到a与b的关系判断②；由图象可知当x＝1时，y＞0，判断③；由函数图象与x轴的交点个数判断④；由对称轴为直线x＝﹣1和开口向上得到当x＝﹣1时，函数有最小值判定⑤．
【解答】解：由图可知，开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，图象与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴a＞0，b＞0，c＜0，且＝﹣1，
∴abc＜0，故①正确，符合题意；
b﹣2a＝0，故②正确，符合题意；
由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故③错误，不符合题意；
由函数图象与x轴由2个交点得，ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数解，故④正确，符合题意；
∵对称轴为直线x＝﹣1和开口向上，
∴当x＝﹣1时，函数有最小值a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，故⑤正确，符合题意；
∴正确的结论有4个，
故选：A．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卷相应位置上）
9．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为 （2，﹣5） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为（2，﹣5），
故答案为：（2，﹣5）．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣ ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（﹣3k）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣3k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（﹣3k）＞0．
解得k＞﹣．
故答案是：k＞﹣．
11．（3分）抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣3 ．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝2（x+1）2﹣3．
故答案为y＝2（x+1）2﹣3．
12．（3分）如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转30°得到△CBE，点C刚好落在边AD上，若∠CBD＝28°，则∠E＝ 47 °．
【分析】由旋转的性质可得AB＝BC，∠ABC＝30°，∠D＝∠E，由等腰三角形的性质可求∠BAC＝∠BCA＝75°，由外角的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABD绕顶点B顺时针旋转30°得到△CBE，
∴AB＝BC，∠ABC＝30°，∠D＝∠E，
∴∠BAC＝∠BCA＝75°，
∵∠ACB＝∠D+∠DBC，
∴∠D＝75°﹣28°＝47°＝∠E，
故答案为：47．
13．（3分）矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是 y＝﹣x2+6x（0＜x＜6） ．
【分析】根据矩形的周长及其中一边长度得出另外一边长度为米，再由矩形的面积公式可得函数解析式，根据长、宽均为正数可得x的取值范围．
【解答】解：根据题意知，y与x的函数关系式y＝x•＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x，
由得0＜x＜6，
所以y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是y＝﹣x2+6x（0＜x＜6），
故答案为：y＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．
14．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，边长为1的小正方形组成的网格中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上边，B、C在第一象限，且A（0，2），B（4，2），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），若点B的对应点B1恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C1的坐标为 （2+2，2）或（4，﹣2） ．
【分析】分两种情形：如图1中，当B落在x轴的正半轴上时，过点C1作C1H⊥x轴于点H．利用全等三角形的性质求解．当点B1落在y轴的负半轴上时，C1（4，﹣2）．
【解答】解：如图1中，当B落在x轴的正半轴上时，过点C1作C1H⊥x轴于点H．
∵A（0，2），B（4，2），
∴AB＝4，OA＝2，
∴OB1＝＝＝2，
∵∠AOB1＝∠AB1C∠CHB1＝90°，
∴∠AB1O+∠C1B1H＝90°，∠C1B1H+∠HC1B1＝90°，
∴∠AB1O＝∠HC1B1，
∴△AOB1≌△B1HC1（AAS），
∴OA＝HB1＝2，OB1＝HC1＝2，
∴OH＝2+2，
∴C1（2+2，2）；
当点B1落在y轴的负半轴上时，C1（4，﹣2）．
综上所述，满足条件的点C的坐标为（2+2，2）或（4，﹣2）；
三、解答题。（本大题共8小题，满分50分.解答时应在答题卷的相应位置处写出文字说明，证明过程或演绎步骤）
15．（5分）用你喜爱的方法解方程：3x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（3x﹣5）（x+1）＝0，
3x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝，x2＝﹣1．
16．（6分）如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O，A，B都在格点上．
（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）根据扇形面积公式即可求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求；
（2）线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积＝＝π．
17．（6分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+1．
（1）用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）利用完全平方公式进行配方即可；
（2）依据配方后的解析式即可得到结论．
【解答】解：（1）y＝﹣3x2+6x+1＝﹣3（x﹣1）2+4．
（2）∵y＝﹣3x2+6x+1＝﹣3（x﹣1）2+4．
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，4）．
18．（7分）一个不透明的口袋里装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中红球和黄球各1个，白球2个．
（1）小明从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ；
（2）小明先从口袋中随机摸出一个球，记录下颜色后不放回，再从袋子里剩余的球中随机摸出一个球，记录下球的颜色．请你用列表法或画树状图法求出小明两次摸出的球中只有一个白球的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有4个球，其中红球和黄球各1个，白球2个，
∴小明从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是＝；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
白
白
红
黄
白
白、白
白、红
白、黄
白
白、白
白、红
白、黄
红
红、白
红、白
红、黄
黄
黄、白
黄、白
黄、红
分析可得，共12种等可能的情况数，其中两次摸出的球中只有一个白球的有2种，
则小明两次摸出的球中只有一个白球的概率是＝．
19．（6分）如图，四边形APBC内接于圆，∠APB＝120°，连接AB，PC，AB＝AC．
（1）△ABC是 等边 三角形；
（2）在PC上取一点E，使PE＝AP，若AP＝3，BP＝2，求PC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定定理即可证出△ABC是等边三角形；
（2）利用全等三角形的性质证明PC＝PA+PB，可得结论．
【解答】解：（1）∵∠APB＝120°，
∴∠ACB＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边；
（2）由（1）知，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠APC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠PAB＝∠CAE，
∴△PAB≌△EAC（SAS），
∴PB＝EC＝2，
∵PE＝PA＝3，
∴PC＝PE+CE＝3+2＝5．
20．（6分）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？
【分析】设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40﹣2x）米，宽为（28﹣x）米的矩形，根据6个矩形区域的面积为128×6平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40﹣2x）米，宽为（28﹣x）米的矩形，
依题意得：（40﹣2x）（28﹣x）＝128×6，
整理得：x2﹣48x+176＝0，
解得：x1＝4，x2＝44（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应为4米．
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E．以BE为弦作⊙O，交BC于点D，圆心O恰好在BC边上．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若直径BD＝12，∠ACB＝30°，求弦BE的长．
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠BEO＝∠OBE，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，推出OE∥AB，得到∠OEC＝∠CAB＝90°，于是得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到AB＝BD＝6，∠ABC＝60°，根据角平分线的定义得到ABE＝∠CBE＝30°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）AC与⊙O相切，
理由：连接OE，
∵OE＝OB，
∴∠BEO＝∠OBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BEO，
∴OE∥AB，
∴∠OEC＝∠CAB＝90°，
∵OE是半径，
∴AC与⊙O相切；
（2）∵∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，BD＝12，
∴AB＝BD＝6，∠ABC＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴BE＝2AE，
∵AE2+AB2＝BE2，
∴（BE）2+62＝BE2，
∴BE＝4（负值舍去）．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求△APC面积的最大值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法确定直线解析式；
（3）由S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），C（﹣2，3），得，
解得，
故抛物线为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线为y＝kx+n过点A（1，0），C（﹣2，3），则，
解得，
故直线AC为y＝﹣x+1；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，﹣x+1），则P（x，﹣x2﹣2x+3），
∴PQ＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2，
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG＝（﹣x2﹣x+2）×3＝﹣（x+）2+，
∴△APC面积的最大值为．
2021-2022学年新疆喀什地区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每题的选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
2．（4分）关于x的方程3x2﹣2＝4x中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2 B．3，4 C．3，﹣4 D．﹣4，﹣2
3．（4分）在正面完全相同、反面印有下列四个图形的纸片中，任抽一张，则抽到的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
4．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x＝5 B．x1＝0，x2＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．以上都不对
5．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣2
3
6
7
6
…
当y＜6时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤3 C．x＜1或x＞0 D．x＜1或x＞3
6．（4分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，若∠ACD＝20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．（4分）小明打算用一张半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥形的小丑帽，则这个小丑帽的高为（ ）
A．5cm B．10cm C．5cm D．cm
8．（4分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列给出的结论：①abc＜0；②b﹣2a＝0；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数解；⑤am2+bm+c≥a﹣b+c．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卷相应位置上）
9．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为 ．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
11．（3分）抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为 ．
12．（3分）如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转30°得到△CBE，点C刚好落在边AD上，若∠CBD＝28°，则∠E＝ °．
13．（3分）矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，边长为1的小正方形组成的网格中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上边，B、C在第一象限，且A（0，2），B（4，2），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），若点B的对应点B1恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C1的坐标为 ．
三、解答题。（本大题共8小题，满分50分.解答时应在答题卷的相应位置处写出文字说明，证明过程或演绎步骤）
15．（5分）用你喜爱的方法解方程：3x2﹣2x﹣5＝0．
16．（6分）如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O，A，B都在格点上．
（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．
17．（6分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+1．
（1）用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
18．（7分）一个不透明的口袋里装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中红球和黄球各1个，白球2个．
（1）小明从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ；
（2）小明先从口袋中随机摸出一个球，记录下颜色后不放回，再从袋子里剩余的球中随机摸出一个球，记录下球的颜色．请你用列表法或画树状图法求出小明两次摸出的球中只有一个白球的概率．
19．（6分）如图，四边形APBC内接于圆，∠APB＝120°，连接AB，PC，AB＝AC．
（1）△ABC是 三角形；
（2）在PC上取一点E，使PE＝AP，若AP＝3，BP＝2，求PC的长．
20．（6分）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E．以BE为弦作⊙O，交BC于点D，圆心O恰好在BC边上．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若直径BD＝12，∠ACB＝30°，求弦BE的长．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求△APC面积的最大值．
2021-2022学年新疆喀什地区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每题的选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，故A不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故C不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
2．（4分）关于x的方程3x2﹣2＝4x中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，﹣2 B．3，4 C．3，﹣4 D．﹣4，﹣2
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定二次项系数和一次项系数．
【解答】解：∵方程3x2﹣2＝4x化为一般形式为：3x2﹣4x﹣2＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4．
故选：C．
3．（4分）在正面完全相同、反面印有下列四个图形的纸片中，任抽一张，则抽到的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：在这四个图片中第二、四幅图案既是轴对称图形又是中心对称图形，因此既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是＝．
故选：B．
4．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x＝5 B．x1＝0，x2＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．以上都不对
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x﹣5）＝0，
x＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝0，x2＝5．
故选：C．
5．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣2
3
6
7
6
…
当y＜6时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤3 C．x＜1或x＞0 D．x＜1或x＞3
【分析】由二次函数图象上点的坐标（1，6）和（3，6），利用二次函数的性质可得出二次函数图象的对称轴，进而可得出顶点坐标，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出y＜6时x的取值范围．
【解答】解：∵当x＝1时，y＝6；当x＝3时，y＝6，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，
∴二次函数图象的顶点坐标是（2，7），
∴当y＜6时，x＜1或x＞3．
故选：D．
6．（4分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，若∠ACD＝20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠B＝∠ACD，再根据圆周角的推论推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可得∠ADB＝90°，由∠BAD＝90°﹣∠B代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴∠B＝∠ACD＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°．
故选：D．
7．（4分）小明打算用一张半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥形的小丑帽，则这个小丑帽的高为（ ）
A．5cm B．10cm C．5cm D．cm
【分析】设这个圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，解方程求出r，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝5．
所以这个圆锥形小帽子的高＝＝10cm．
答：这个圆锥形小帽子的高为10cm．
故选：B．
8．（4分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列给出的结论：①abc＜0；②b﹣2a＝0；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数解；⑤am2+bm+c≥a﹣b+c．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】先由开口方向得到a的正负，由对称轴的位置得到b的正负，由图象与y轴的交点得到c的正负，判断①；由对称轴为直线x＝﹣1得到a与b的关系判断②；由图象可知当x＝1时，y＞0，判断③；由函数图象与x轴的交点个数判断④；由对称轴为直线x＝﹣1和开口向上得到当x＝﹣1时，函数有最小值判定⑤．
【解答】解：由图可知，开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，图象与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴a＞0，b＞0，c＜0，且＝﹣1，
∴abc＜0，故①正确，符合题意；
b﹣2a＝0，故②正确，符合题意；
由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故③错误，不符合题意；
由函数图象与x轴由2个交点得，ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数解，故④正确，符合题意；
∵对称轴为直线x＝﹣1和开口向上，
∴当x＝﹣1时，函数有最小值a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，故⑤正确，符合题意；
∴正确的结论有4个，
故选：A．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接写在答题卷相应位置上）
9．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为 （2，﹣5） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为（2，﹣5），
故答案为：（2，﹣5）．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣ ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（﹣3k）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣3k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（﹣3k）＞0．
解得k＞﹣．
故答案是：k＞﹣．
11．（3分）抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣3 ．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝2（x+1）2﹣3．
故答案为y＝2（x+1）2﹣3．
12．（3分）如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转30°得到△CBE，点C刚好落在边AD上，若∠CBD＝28°，则∠E＝ 47 °．
【分析】由旋转的性质可得AB＝BC，∠ABC＝30°，∠D＝∠E，由等腰三角形的性质可求∠BAC＝∠BCA＝75°，由外角的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABD绕顶点B顺时针旋转30°得到△CBE，
∴AB＝BC，∠ABC＝30°，∠D＝∠E，
∴∠BAC＝∠BCA＝75°，
∵∠ACB＝∠D+∠DBC，
∴∠D＝75°﹣28°＝47°＝∠E，
故答案为：47．
13．（3分）矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是 y＝﹣x2+6x（0＜x＜6） ．
【分析】根据矩形的周长及其中一边长度得出另外一边长度为米，再由矩形的面积公式可得函数解析式，根据长、宽均为正数可得x的取值范围．
【解答】解：根据题意知，y与x的函数关系式y＝x•＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x，
由得0＜x＜6，
所以y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是y＝﹣x2+6x（0＜x＜6），
故答案为：y＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．
14．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，边长为1的小正方形组成的网格中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上边，B、C在第一象限，且A（0，2），B（4，2），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），若点B的对应点B1恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C1的坐标为 （2+2，2）或（4，﹣2） ．
【分析】分两种情形：如图1中，当B落在x轴的正半轴上时，过点C1作C1H⊥x轴于点H．利用全等三角形的性质求解．当点B1落在y轴的负半轴上时，C1（4，﹣2）．
【解答】解：如图1中，当B落在x轴的正半轴上时，过点C1作C1H⊥x轴于点H．
∵A（0，2），B（4，2），
∴AB＝4，OA＝2，
∴OB1＝＝＝2，
∵∠AOB1＝∠AB1C∠CHB1＝90°，
∴∠AB1O+∠C1B1H＝90°，∠C1B1H+∠HC1B1＝90°，
∴∠AB1O＝∠HC1B1，
∴△AOB1≌△B1HC1（AAS），
∴OA＝HB1＝2，OB1＝HC1＝2，
∴OH＝2+2，
∴C1（2+2，2）；
当点B1落在y轴的负半轴上时，C1（4，﹣2）．
综上所述，满足条件的点C的坐标为（2+2，2）或（4，﹣2）；
三、解答题。（本大题共8小题，满分50分.解答时应在答题卷的相应位置处写出文字说明，证明过程或演绎步骤）
15．（5分）用你喜爱的方法解方程：3x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（3x﹣5）（x+1）＝0，
3x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝，x2＝﹣1．
16．（6分）如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O，A，B都在格点上．
（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；
（2）根据扇形面积公式即可求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求；
（2）线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积＝＝π．
17．（6分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+1．
（1）用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）利用完全平方公式进行配方即可；
（2）依据配方后的解析式即可得到结论．
【解答】解：（1）y＝﹣3x2+6x+1＝﹣3（x﹣1）2+4．
（2）∵y＝﹣3x2+6x+1＝﹣3（x﹣1）2+4．
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，4）．
18．（7分）一个不透明的口袋里装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中红球和黄球各1个，白球2个．
（1）小明从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ；
（2）小明先从口袋中随机摸出一个球，记录下颜色后不放回，再从袋子里剩余的球中随机摸出一个球，记录下球的颜色．请你用列表法或画树状图法求出小明两次摸出的球中只有一个白球的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有4个球，其中红球和黄球各1个，白球2个，
∴小明从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是＝；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
白
白
红
黄
白
白、白
白、红
白、黄
白
白、白
白、红
白、黄
红
红、白
红、白
红、黄
黄
黄、白
黄、白
黄、红
分析可得，共12种等可能的情况数，其中两次摸出的球中只有一个白球的有2种，
则小明两次摸出的球中只有一个白球的概率是＝．
19．（6分）如图，四边形APBC内接于圆，∠APB＝120°，连接AB，PC，AB＝AC．
（1）△ABC是 等边 三角形；
（2）在PC上取一点E，使PE＝AP，若AP＝3，BP＝2，求PC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定定理即可证出△ABC是等边三角形；
（2）利用全等三角形的性质证明PC＝PA+PB，可得结论．
【解答】解：（1）∵∠APB＝120°，
∴∠ACB＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边；
（2）由（1）知，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠APC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠PAB＝∠CAE，
∴△PAB≌△EAC（SAS），
∴PB＝EC＝2，
∵PE＝PA＝3，
∴PC＝PE+CE＝3+2＝5．
20．（6分）某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？
【分析】设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40﹣2x）米，宽为（28﹣x）米的矩形，根据6个矩形区域的面积为128×6平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40﹣2x）米，宽为（28﹣x）米的矩形，
依题意得：（40﹣2x）（28﹣x）＝128×6，
整理得：x2﹣48x+176＝0，
解得：x1＝4，x2＝44（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应为4米．
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E．以BE为弦作⊙O，交BC于点D，圆心O恰好在BC边上．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若直径BD＝12，∠ACB＝30°，求弦BE的长．
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠BEO＝∠OBE，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，推出OE∥AB，得到∠OEC＝∠CAB＝90°，于是得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到AB＝BD＝6，∠ABC＝60°，根据角平分线的定义得到ABE＝∠CBE＝30°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）AC与⊙O相切，
理由：连接OE，
∵OE＝OB，
∴∠BEO＝∠OBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BEO，
∴OE∥AB，
∴∠OEC＝∠CAB＝90°，
∵OE是半径，
∴AC与⊙O相切；
（2）∵∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，BD＝12，
∴AB＝BD＝6，∠ABC＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴BE＝2AE，
∵AE2+AB2＝BE2，
∴（BE）2+62＝BE2，
∴BE＝4（负值舍去）．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求△APC面积的最大值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法确定直线解析式；
（3）由S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），C（﹣2，3），得，
解得，
故抛物线为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线为y＝kx+n过点A（1，0），C（﹣2，3），则，
解得，
故直线AC为y＝﹣x+1；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，﹣x+1），则P（x，﹣x2﹣2x+3），
∴PQ＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2，
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG＝（﹣x2﹣x+2）×3＝﹣（x+）2+，
∴△APC面积的最大值为．
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