2022高考数学一轮复习专题08 圆锥曲线中的离心率的问题（解析卷）

这是一份2022高考数学一轮复习专题08 圆锥曲线中的离心率的问题（解析卷），共16页。试卷主要包含了题型选讲，求离心率的范围， 由离心率求参数的范围等内容，欢迎下载使用。
专题08  圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为A．   B．  C．2  D．【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，∴，，又点在圆上，，即．，故选A．本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，又由圆，可得圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，则，可得，故选C. 例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线，为双曲线：的两条渐近线，若，与圆：相切，双曲线离心率的值为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】设渐近线方程，即，与圆：相切，圆心到直线的距离，，所以.故选：B例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线（，）的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得，所以，的周长为，当且仅当、、三点共线时，的周长取得最小值，即，解得.因此，该双曲线的离心率为.故选：D.例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中点，连接 ,由条件可知，是的中点， 又， ,根据双曲线的定义可知，，直线的方程是： ，即 ，原点到直线的距离，中，，整理为： ，即 ，解得： ，或（舍）故选：C 例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以该条渐近线方程为；所以，解得；所以 ，所以双曲线的离心率为．故选：A． 题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为(   )A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知可得，若，即，左支上的点均满足，如图所示，当点位于点时，最小，故，即,,或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .例8、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点．点在椭圆上，且．（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．① 求椭圆的方程；（2）若在轴上方存在两点，使     四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．   规范解答  （1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得 所以．所以椭圆的方程为．                                                                                                  ②由①得，焦点，准线为， （2）解法1   设，，因为FP⊥FQ，则△FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆．由题意，焦点F，原点O均在该圆上，所以消去得，所以，因为点P，Q均在x轴上方，所以，即，所以，又因为，所以．            解法2   因为O，F，P，Q四点共圆且FP⊥FQ，所以PQ为圆的直径，所以圆心必为PQ中点M，又圆心在弦OF的中垂线上，所以圆心M 的横坐标为， 所以点Q的横坐标为．（以下同方法1）例9、(2017扬州期末）如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝kx＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设＝λ.(1) 若点P(－3,0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C的方程；(2) 若λ＝3，求椭圆C的离心率e的取值范围．规范解答 (1) 由P在圆O：x2＋y2＝b2上，得b＝3.又点Q在椭圆C上，得＋＝1，解得a2＝18，所以椭圆C的方程是＋＝1.(5分)(2) 解法1 由得x＝0或xP＝－.(7分)由得x＝0或xQ＝－.(9分)因为＝λ，λ＝3，所以＝，所以·＝，即·＝，所以k2＝＝4e2－1.因为k2＞0，所以4e2＞1，即e＞，又0＜e＜1，所以＜e＜1.(16分)解法2 A(0，b)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x＋y＝b2　①，＋＝1　②.(7分)又因为＝λ，λ＝3，所以＝，即(x1，y1－b)＝(x2，y2－b)．解得x2＝x1，y2＝y1－b，代入②得＋＝1.(9分)又x＝b2－y，消去x整理得2(a2－b2)y－a2by1－b2(a2－2b2)＝0，即[2(a2－b2)y1＋b(a2－2b2)](y1－b)＝0，解得，y1＝或y1＝b(舍去)，因为－b＜y1＜b，所以－b＜＜b，解得＜.(14分)而e2＝1－＞1－＝，即e＞，又0＜e＜1，所以＜e＜1.(16分)解后反思 解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的解法1就属于设线法，解法2就属于设点法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目方法选择的不同差别会很大，注意从此题的解法中体会设点法和设线法的精妙之处．题型三、 由离心率求参数的范围由离心率求参数的范围关键是找到离心率与参数之间的关系，然后根据离心率的范围求出参数的范围。例10、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ.(1) 若点P的坐标为，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；(2) 若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈，求实数λ的取值范围．      思路分析 第1问，求椭圆的标准方程，本质就是要求a，b的值，为此，要找到两个关于a，b的方程，根据点P在椭圆上，以及椭圆的定义知△PF2Q的周长为4a，从而可求得椭圆的方程；第2问的本质就是找到实数λ与离心率e的关系，根据PF2⊥x轴，可得点P的坐标，根据条件＝λ可求得点Q的坐标，利用点Q在椭圆上，得到λ与a，b，c的关系，进而求得λ与e的关系，利用这一关系，求出λ的范围．规范解答 (1) 因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a，由题意得4a＝8，解得a＝2.(2分)因为点P的坐标为，所以＋＝1，解得b2＝3.所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)(2) 解法1 因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，所以可设P(c，y0)，y0＞0，Q(x1，y1)．因为点P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P.(7分)因为F1(－c,0)，所以＝，＝(x1＋c，y1)．由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1，解得x1＝－c，y1＝－，所以Q.(11分)因为点Q在椭圆上，所以2e2＋＝1，即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1.因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝＝－3.(14分)因为e∈，所以≤e2≤，即≤λ≤5.所以λ的取值范围为.(16分)解法2 由于PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0.因为点P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P.(7分)因为F1(－c,0)，所以直线PF1的方程为y＝(x＋c)．联立得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0.因为直线PF1与椭圆有一个交点为P，设Q(x1，y1)，则x1＋c＝－，(11分)因为＝λ，所以λ＝＝＝＝＝－3.(14分)以下同解法1.解后反思 本题考查解析几何中的范围问题，由于题中已知离心率e的范围，因此我们可以把λ表示为e的函数，为此先求得点P的坐标(这里点P是确定的，否则设出点P的坐标)，由向量的运算求得点Q的坐标，再代入椭圆方程可得关于λ，a，b，c的等式，利用e＝，a2＝b2＋c2可化此等式为关于e，λ的方程，解出λ，即把λ表示为e的函数，由函数性质可求得λ的范围．本题采用的方法是解析几何中的基本计算，考查了学生的运算能力． 二、达标训练 1、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题,离心率,解得,因为焦点在轴上,则渐近线方程为,即故选：C2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.【答案】【解析】设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，故而a＝PQ，又c＝2，∴双曲线的离心率为e．故答案为：．3、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.【答案】2【解析】由题意，一条渐近线方程为，即，∴ ，由得，∴，，∴．故答案为：2.4、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知双曲线的一条渐近线为，则离心率为（    ）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】双曲线的一条渐近线为，.
故选:A.5、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）设双曲线的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为            （）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为双曲线的两焦点之间的距离为10，所以，所以，所以.所以离心率.故选C. 6、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）已知双曲线：（）的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，即为双曲线的渐近线的方程，又渐近线方程为，∴，∴.∴离心率．故选B． 7、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）分别将椭圆的长轴、短轴和双曲线的实轴、虚轴都增加个单位长度（），得到椭圆和双曲线．记椭圆和双曲线的离心率分别是，则（    ）A．， B．，与的大小关系不确定C．， D．，与的大小关系不确定【答案】B【解析】设，则，，因为，由比例性质可知，所以；，，因为与1的大小不确定，所以和的大小也不确定，即无法判断，，大小.综上，，与的大小关系不确定.故选：B.8、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．【答案】．【解析】设，由直线的斜率为，知，且，即得，由及椭圆定义知，由余弦定理即可得，，即，化简得，故或3（舍）即．故答案为：9、（2020·浙江高三）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．【答案】【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，所以．将直线AB1方程，代入椭圆方程后，，整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，由韦达定理解得，，三式联立，可解得离心率．故答案为：．10、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】【解析】由题意可设，，线段中点为，且，可得为的重心，设，，由重心坐标公式可得，，，即有的中点，可得，，由题意可得点在椭圆内，可得，由，可得，即有.故答案为：.