2022高考数学一轮复习专题05 分段函数研究（解析卷）

专题05 分段函数研究

一、题型选讲

题型一 、分段函数的求值问题

由于分段函数的解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的解析式。

含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）

例1、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设函数，则（    ）

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】C

【解析】∵函数，

∴，

.

故选：C.

例2、(2019南京三模）若函数f(x)＝，则f(log23)＝   ▲   ．

【答案】．

【解析】因为1＜＜2，所以f(log23)＝f(log23－2)＝.

例3、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）对于给定正数k，定义，设，对任意和任意恒有，则（    ）

A．k的最大值为2 B．k的最小值为2 C．k的最大值为1 D．k的最小值为1

【答案】B

【解析】因为对任意和任意恒有，

根据已知条件可得：对任意恒成立，

即，

，

，

当时有，即

故选：B

题型二、与分段函数有关的方程或不等式

   含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式

例4、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【答案】(1,4)；

【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.

例5、(2019苏锡常镇调研）. 已知函数f(x)＝若f(a－1)＝，则实数a＝________．

【答案】 log23　

【解析】当a－1≤0，即a≤1时，f(a－1)＝log2(4－a)＝，解得a＝4－(舍)；当a－1>0，即a>1时，f(a－1)＝2a－1－1＝，解得a＝log23.

 本题以分段函数为背景，考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想．

例6、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知函数 则不等式的解集为  ▲  ．

 【答案】

  【解析】：若，则，由得：

          ，故.

         若，则，由得：

          ，故.

综上，不等式的解集为 .

题型三、分段函数的单调性

分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

例7、已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________

【答案】

【解析】思路：若在单调增，则在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情况，所以可得要想在上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得： ，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为不在同一段取值，若也满足，均有，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入，有左段右端，即

综上所述可得：

例8、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）函数为定义在上的奇函数，则____________________，_________________.

【答案】       

【解析】根据题意，为定义在上的奇函数，

则有，解可得：，

则，

则；

故答案为：；.

题型四 分段函数的零点问题

分段函数的零点，有时需要对新函数如何构建是关键，通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像，二是一个函数图像是定的，另一个函数图像是动的，三是参数放在直线型中，即定曲线动直线，这样便于解决问题，基于这三点

例8、【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则

A．a<–1，b<0   B．a<–1，b>0   

C．a>–1，b<0   D．a>–1，b>0

【答案】C

【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，

则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；

当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，

，

当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，

y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，

则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；

当a+1＞0，即a>﹣1时，

令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，

令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，

则函数最多有2个零点.

根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，

如图：

∴0且，

解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，

则a>–1，b<0.

故选C．

例9、(2017苏锡常镇调研）若函数f(x)＝则函数y＝|f(x)|－的零点个数为________．

【答案】. 4　

【解析】设g(x)＝，则由g′(x)＝＝＝0，可得x＝，所以g(x)在(1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，当x→＋∞时，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值为g()＝＞.在同一平面直角坐标系中画出y＝|f(x)|与y＝的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．

例10、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0）     B．[0，+∞）

C．[–1，+∞）     D．[1，+∞）

【答案】C

【解析】画出函数的图象，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，（公众号：高中数学最新试题）

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，

此时满足，即.

故选C．

二、达标训练

1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若,则__________．

【答案】

【解析】

因为，所以，应填答案.

2、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知，若，则_______，______；

【答案】       

【解析】

，

，

，

，

，

故答案为：；

2、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知函数，若，则实数_____；若存在最小值，则实数的取值范围为_____.

【答案】       

【解析】，

，

，

.

易知时，；

又时，递增，故，

要使函数存在最小值，只需，

解得：.

故答案为：，.

3、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令,画出与的图象,

平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故

故选：A

4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设．

（1）当时，f（x）的最小值是_____；

（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_____．

【答案】    [0，]   

【解析】

（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，

当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，

则函数的最小值为，

（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，

若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．

若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，

则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，

要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，

即实数a的取值范围是[0，]

5、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知函数若，则实数的取值范围为___．

【答案】

【解析】，

令，即或，

解得或，

，或，

或 或 或 ，

解得或，

故答案为：.

6、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（        ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先作图象，由图象可得

因此为，

从而，选A.

7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．

B． 在区间上是增函数

C．若方程恰有3个实根，则

D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是

【答案】BCD

【解析】函数的图象如图所示：

对A，，，所以，故A错误；

对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；

对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；

对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则

，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.

故选：BCD.

8、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

函数的图象如下图所示，
作出直线l：，平移直线l至与之间时，方程有三个不同的实根，

而由得，当时，即（舍去）时，得直线，

当直线l：，过点时，得直线，此时，

所以要使方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是：，

故答案为：.