2022届新教材北师大版圆锥曲线单元测试含答案1

2022届新教材北师大版  圆锥曲线      单元测试

1、方程x2cosθ-y2sinθ=1(其中θ在第四象限)所表示的曲线是（  ）

A．焦点在X轴上的双曲线             B．焦点在Y轴上的双曲线

C．焦点在X轴或Y轴上的椭圆         D．以上答案都不对

2、过抛物线的焦点作倾斜角为直线，直线与抛物线相交与，两点，则弦的长是  （   ）

A． 8    B． 16    C． 32    D． 64

3、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（  ）

A．    B．2    C．4    D．

4、是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（       ）

A．6    B．7    C．8    D．9

5、.已知F1、F2是椭圆+=1(5<a<10)的两个焦点，B是短轴的一个端点，则△F1BF2的面积的最大值是（    ）

A.                  B.          C.100（3-2）       D.a2

6、

若双曲线 （ ）的离心力为 ，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

7、方程表示椭圆，则的取值范围是（  ）

A．          B．或

C．             D．或

8、已知双曲线的左，右焦点分别为，右顶点为，为其右支上一点，与渐近线交于点，与渐近线交于点，的中点为，若，且，则双曲线的离心率为（   ）

A．    B．2    C．    D．

9、如图所示，椭圆中心在坐标原点， 为左焦点，当，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比黄金椭圆，可推算出黄金双曲线的离心率等于（   ）

A.     B.     C.     D.

10、已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为H，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．

11、若的两个顶点坐标分别为，，的周长为18。则顶点满足的一个方程是（    ）

A．     B． C．     D．

12、

已知命题：平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆；命题：空间内若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行，则下列命题为真命题的是（   ）

A．     B．     C．     D．

13、已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点P满足 ，则  的面积为_______.

14、已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于　　　　.

15、已知是椭圆的左右焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为______．

16、

双曲线的渐近线为，一个焦点为，则________.

17、一个椭圆，其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为．一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．

18、设椭圆的两个焦点是， ，且椭圆上存在点使得直线与直线垂直.

(1)求椭圆离心率的取值范围；

(2)若直线与椭圆另一个交点为，当，且的面积为时，求椭圆方程..

19、设椭圆方程 (),为椭圆右焦点,为椭圆在短轴上的一个顶点,的面积为6,(为坐标原点);

(1)求椭圆方程;

(2)在椭圆上是否存在一点,使的中垂线过点？若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.

20、求经过点且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.

参考答案

1、答案D

2、答案B

10.若关于的不等式内有解，则实数的取值范围是

A．     B．     C．     D．

答案A

由题意得

，选A.

名师点评：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.

3、答案C

由题可知，抛物线的焦点为，双曲线化成标准形式为，它的右焦点为（2,0），因此有，解得；

考查目的：圆锥曲线的性质

4、答案D

要求的最大值，也即是求的最大值减去的最小值.根据点和圆的位置关系，求得的最大值和的最小值的表达式，由此求得的最大值.

详解

双曲线，故焦点为，圆心分别为，半径分别为.画出图像如下图所示. 要求的最大值，也即是求的最大值减去的最小值.由图可知的最大值为，的最小值为，故的最大值为.故选D.

名师点评

本小题主要考查双曲线的几何性质，考查圆的标准方程及几何性质，考查点和圆上的点的距离的最大值以及最小值.属于中档题.

5、答案B

∵5<a<10,∴a>10-a.故=c·b=·(10-a)=

.

令t=a3-25a2+200a-500.

则t′=3a2-50a+200，

令t′=0,则a=或a=10,又5<a<10,

故当a=时，t取最大值，故△F1BF2的最大值为.

6、答案C

双曲线 （ ）的，则离心率，解得，则双曲线的渐近线方程为，即为，故选C.

7、答案D

由题意可知，所以的取值范围是或．

考查目的：椭圆的标准方程．

8、答案B

先求的坐标，利用直线的方程得到的坐标后再求的坐标，最后利用得到的关系，从这个关系式中可求得双曲线离心率.

详解

因为，所以的坐标可看做圆与渐进线的交点，由解得，

所以直线，由，

解得 所以，

由，可得，即，

整理得到，故，故选B.

名师点评

圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．

9、答案B

类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中， ， ，

当时，

整理可得：

解得或（舍去）

故黄金双曲线的离心率为

故选

10、答案A

双曲线右支取一点P并延长，交于Q，由角平分线的性质知，结合双曲线的焦半径关系即，进而利用三角形中位线的性质即可求

详解：不妨在双曲线右支上取点P，延长，，交于点Q，由角平分线性质可知

根据双曲线的定义得，，从而

在△中，OH为其中位线，故

故选：A

名师点评

本题考查了双曲线，利用角平分线性质及垂直关系可知存在等腰三角形，结合双曲线焦半径的关系以及中位线性质求线段的长度

11、答案D

根据三角形周长可知，可知顶点C的轨迹是椭圆，即可写出方程.

详解

由题意，得，

所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点，且的椭圆，

又因为A，B，C三点不共线，所以顶点C的轨迹方程为．

故选D.

名师点评

本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，属于中档题.

12、答案D

命题为假命题，命题为假命题，因此为真命题，选D

13、答案

由椭圆定义得，由得，

因为 ，所以 ，即为直角三角形，其面积为

14、答案

15、答案

根据椭圆的定义及条件求出点的坐标，然后根据点在椭圆上可得，进而可求得椭圆的离心率．

详解

如图，不妨设点是椭圆短轴的上端点，则点D在第四想象内，设点．

由题意得为等腰三角形，且．

由椭圆的定义得，，

又，

∴，解得．

作轴于，

则有，，

∴，

∴点的坐标为．

又点在椭圆上，

∴，整理得，

所以．

故答案为：．

名师点评

求椭圆离心率或其范围的方法

(1)根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．

(2)由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．

16、答案2

分析

由题意布列关于a的方程即可得到结果.

详解

由题意可得：，又

∴

故答案为：2

名师点评

本题考查了双曲线的标准方程，渐近线方程及基本性质，属于基础题.

17、答案解：①焦点在x轴上，椭圆为，且，设双曲线为，m＝a－4，∵，易得a＝7，m＝3．∵椭圆和双曲线的焦距为，∴b2＝36，n2＝4．∴椭圆方程为，双曲线方程为．

②焦点在y轴上，椭圆方程为，双曲线方程为．

18、答案(1)由是直角三角形知，，即，故

(2)设椭圆方程为，

由　得：．直线的斜率，

设直线的方程为：，于是椭圆方程可化为：

把①代入②，得：，

整理得：，

设．则x1、x2是上述方程的两根，且，

．

点到直线的距离为，

所以：  得：，．

所求椭圆方程为：

19、答案(1)设 ∵为椭圆在短轴上的一个顶点,且的面积为6,∴.

又∵.∴或.∴椭圆方程为或.

(2)假设存在点,使的中垂线过点.若椭圆方程为,则,由题意, ∴点的轨迹是以为圆心,以3为半径的圆. 设,则其轨迹方程为.显然与椭圆无交点.即假设不成立,点不存在.若椭圆方程为,则, ∴点的轨迹是以为圆心,以4为半径的圆. 则其轨迹方程为.则,∴,.

故满足题意的点坐标分别为,,,

20、答案

试题分析：设双曲线的方程为，将P，Q的坐标代入，可求得A，B的值，进而得双曲线的标准方程.

详解：依题意,设双曲线的方程为,

∵双曲线过点和,

∴

解得,,

故双曲线的标准方程为.

名师点评

本题考查了待定系数法求双曲线的标准方程；解答本题的关键是根据焦点在x轴或在y轴上时，双曲线的方程的共同特征，设出双曲线的方程.