2022届新教材北师大版圆锥曲线单元测试含答案4
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2022届新教材北师大版 圆锥曲线 单元测试
1、已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为( )
A． B． C． D．
2、抛物线上的点到直线的最短距离为，则正数的值为（ ）
A. B.4 C.5 D.6
3、若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.4
4、已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为( )
A． B．
C． D．
5、已知过椭圆的右焦点F作倾斜角120°的直线交椭圆为A，B，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6、已知双曲线的两个焦点分别为、，则满足的周长为的动点的轨迹方程为（ ）
A. B.（）
C. D.（）
7、椭圆的一个焦点是，那么等于（ ）
A. -1 B. C. 1 D.
8、分别是双曲线的左、右焦点， 为双曲线右支上一点，且，则的周长为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
9、如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A. 3 B. 2 C. D.
10、若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
11、 是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
12、过点作斜率为的直线与椭圆: 相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
13、
椭圆的左、右顶点分别为、，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
14、直线与椭圆分别交于点，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为__________．
15、以、为焦点的椭圆＝１（）上顶点P，当=120°时，则此椭圆离心率e的大小为_____________.
16、已知双曲线C：=1（a>0,b>0）的离心率为2，C的焦点到其渐近线的距离是，则双曲线C的方程为
17、设椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；
(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足．
18、如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为．
（I）求在，的条件下，的最大值；
（II）当，时，求直线的方程．
19、设椭圆方程 (),为椭圆右焦点,为椭圆在短轴上的一个顶点,的面积为6,(为坐标原点);
(1)求椭圆方程;
(2)在椭圆上是否存在一点,使的中垂线过点？若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
20、求经过点且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.
参考答案
1、答案D
分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。
详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D
名师点评：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。
2、答案D
设出抛物线上任意一点的坐标，求得该点到直线的距离，利用距离的最小值为，求得的值.
详解
设抛物线上任意一点的坐标为，由点到直线距离公式得，故当时，距离取得最小值为，解得.
故选D.
名师点评
本小题主要考查抛物线上点到直线的距离，考查二次型函数最值有关问题的求解策，属于中档题.
3、答案本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质.双曲线的左焦点坐标为:
,抛物线的准线方程为,所以,
解得:,故选C.
4、答案B
由已知椭圆的焦点为(，0)，∴．
又∵椭圆的离心率为，∴．
∴a＝5．∴b2＝a2－c2＝20．
∴所求椭圆的标准方程为．
5、答案D
6、答案B
由双曲线得、，的周长为，>所以点的轨迹是以、，长轴长为6的椭圆，故但应满足，所以轨迹方程为（）.
考查目的：椭圆与双曲线的定义.
7、答案C
根据焦点坐标可得椭圆的焦点在轴，所以化为标准形式为，，，所以，解得：，故选C.
考查目的：椭圆的简单几何性质
8、答案D
由双曲线的方程可知： ，
则，
据此可知的周长为.
本题选择D选项.
名师点评：双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验
9、答案B
是双曲线的两顶点， 将椭圆长轴四等分
椭圆的长轴长是双曲线实轴长的倍
双曲线与椭圆有公共焦点，
的离心率的比值是
故答案选
10、答案D
11、答案B
根据椭圆的定义可判断，平方得出，再利用余弦定理求解即可．
详解
是椭圆上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，
，
，
，
，
在中，，
，
故选： ．
名师点评
本题考查了椭圆的定义，焦点三角形的问题，结合余弦定理整体求解是运算的技巧，属于中档题．
12、答案B
设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=2，y1+y2=1，又因为，，将A,B两点代入椭圆得，，
两式相减可得，，所以
所以
考查目的：直线与圆锥曲线的关系．
方法名师点评本题考查考生的运算求解能力，属中档题．正确应用点差法是本题的关键，注意解题方法的积累．与弦的中点的问题常用到点差法，在椭圆中，设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，，两式相减可得，，将弦的中点代入即可求得直线的斜率．本题中利用直线的斜率求得的关系，从而求得椭圆的标准方程．
考查目的：椭圆的离心率．
13、答案
如图，当在上顶点时， 最大，
此时， 即可，
， ，即，
， ， ， ，
．
故答案为：
名师点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
14、答案.
分析：设点，代入椭圆的方程，利用点差法，结合线段的中点的坐标，即可得到答案.
详解：设，中点，则，
把点代入椭圆的方程，
整理得，
两式相减得，整理得，
即.
名师点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中合理应用直线与圆锥曲线的点差法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
15、答案
16、答案
17、答案解：设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x0，y0)，
则有
解得，．
∵P在圆x2＋y2＝4上，∴．
∴a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4．
故椭圆C的方程为，点P的坐标为．
设点P的坐标为(x0，y0)．
由题意，有．①
由A(－a,0)，B(a,0)，得，．
由kAP·kBP＝，可得x02＝a2－2y02，代入①并整理得(a2－2b2)y02＝0．
由于y0≠0，故a2＝2b2．于是，
所以椭圆的离心率．
解：证明：(方法一)
依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得
消去y0并整理得．②
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，
得(x0＋a)2＋k2x02＝a2．整理得
(1＋k2)x02＋2ax0＝0．而x0≠0，
于是，代入②，整理得
(1＋k2)2＝．
由a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，
即k2＋1＞4，因此k2＞3．所以．
(方法二)
依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)，由点P在椭圆上，有．
因为a＞b＞0，kx0≠0，
所以，即(1＋k2)x02＜a2．③
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，
得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，
整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，于是x0＝．
代入③，得(1＋k2)＜a2，解得k2＞3，
所以．
18、答案（Ⅰ）解：设点的坐标为，
点的坐标为，………1分
由，代入方程：
解得，…………… 3分
所以．（基本不等式）…………… 5分
当且仅当时，取到最大值．……………6分
（Ⅱ）由得，
，
． …… 8分 ②
设到的距离为，则，…………… 10分
又因为 所以，代入②式并整理，得，
解得，，代入①式检验，，均符合题意
故直线的方程是或
或，或…………… 12分
19、答案(1)设 ∵为椭圆在短轴上的一个顶点,且的面积为6,∴.
又∵.∴或.∴椭圆方程为或.
(2)假设存在点,使的中垂线过点.若椭圆方程为,则,由题意, ∴点的轨迹是以为圆心,以3为半径的圆. 设,则其轨迹方程为.显然与椭圆无交点.即假设不成立,点不存在.若椭圆方程为,则, ∴点的轨迹是以为圆心,以4为半径的圆. 则其轨迹方程为.则,∴,.
故满足题意的点坐标分别为,,,
20、答案
试题分析：设双曲线的方程为，将P，Q的坐标代入，可求得A，B的值，进而得双曲线的标准方程.
详解：依题意,设双曲线的方程为,
∵双曲线过点和,
∴
解得,,
故双曲线的标准方程为.
名师点评
本题考查了待定系数法求双曲线的标准方程；解答本题的关键是根据焦点在x轴或在y轴上时，双曲线的方程的共同特征，设出双曲线的方程.
